\documentclass[10pt,landscape]{article}
%\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
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%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
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\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
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\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
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                                % qui est Ã  12pt par dÃ©faut
                                % faire \begin{multicols}{2} par
                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...


%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

% Pour insÃ©rer des graphiques
\usepackage{graphicx}
\usepackage{eurosym}

\usepackage{lfba}
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\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger Ã  gauche
%\marginpar[\lhdbend]



\newcommand{\exo}[2]{\begin{exerciceds}{#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exerciceds}}

% 
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\pagestyle{empty}
\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $\boldmath N^o$ 13 (1 heure)}{}{Classe de
T6S }{18 mai 2009}

\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{15pt}
\begin{multicols}{2}

\section*{Exercice 1  :  }
% pondichery juin 2007

L'espace est rapport\'e au rep\`ere orthonormal \Oijk.\\
On consid\`ere le plan $\mathcal{P}$ d'\'equation $2x + y - 2z + 4 =  0$ et les points A de coordonn\'ees (3 ; 2 ; 6), B de coordonn\'ees (1 ; 2 ; 4), et C de coordonn\'ees $(4~;~-2~;~5)$.
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  V\'erifier que les points A, B et  C d\'efinissent un plan.
\item   V\'erifier que ce plan est le plan $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}
\item   \begin{enumerate}
\item  Montrer que le triangle ABC est rectangle.

\item  \'Ecrire un syst\`eme d'\'equations param\'etriques de la droite $\Delta$ passant par O et perpendiculaire
au plan $\mathcal{P}$.

\item Soit K le projet\'e orthogonal de O sur $\mathcal{P}$. Calculer la distance OK.

\item  Calculer le volume du t\'etra\`edre OABC.
 \end{enumerate}
\item  On consid\`ere, dans cette question, le syst\`eme de points pond\'er\'es
 \[S = \left\{(\text{O},~3),~(\text{A},~1),~(\text{B},~1),~(\text{C},~1)\right\}\]
\begin{enumerate}
\item  V\'erifier que ce syst\`eme admet un barycentre, qu'on notera G.
\item   On  note I le centre de gravit\'e du triangle ABC. Montrer que G appartient \`a (OI).

\item   D\'eterminer la distance de G au plan $\mathcal{P}$.
 \end{enumerate}
\item   Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ de l'espace v\'erifiant :
\[\left\|3\vect{M\text{O}} +\vect{M\text{A}}+\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\| = 5.\]

D\'eterminer $\Gamma$. Quelle est la nature de l'ensemble des points communs \`a $\mathcal{P}$ et $\Gamma$ ?
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 :  }
%Amérique du nord juin 2003

\noindent \textit{Cet exercice est un questionnaire \`a choix multiples constitu\'e de six 
questions : chacune comporte trois r\'eponses, une et une seule étant 
exacte.}\\
\emph{Les r\'eponses \`a cet exercice sont \`a inscrire dans la feuille jointe  en annexe,  en cochant pour chaque question la case correspondante \`a la r\'eponse propos\'ee.}\\
\emph{Toute r\'eponse ambigu\"e sera consid\'er\'ee comme une absence de r\'eponse. Toute r\'eponse exacte entra\^{\i}ne une bonification, toute erreur est p\'enalis\'ee.}\\
On s'int\'eresse \`a la dur\'ee de vie, exprim\'ee en ann\'ees, d'un appareil m\'enager avant la premi\`ere panne. On peut  mod\'eliser cette situation par une loi de probabilit\'e $p$ de dur\'ee de vie sans vieillissement, d\'efinie sur  l'intervalle [0,~$ + \infty$[. Ainsi, la probabilit\'e d'un intervalle  [$0,~ t$[, not\'ee $p([0,~ t[)$, est la probabilit\'e que l'appareil m\'enager tombe en panne avant l'instant $t$.

Cette loi est telle que $p([0,~ t[) = \displaystyle\int_0^t 
\lambda \text{e}^{- \lambda x}\: \text{d}x$, o\`u $t$ est un nombre r\'eel positif repr\'esentant le nombre
d'ann\'ees (loi exponentielle de param\`etre $\lambda$, avec $\lambda~>~0$).

\begin{enumerate}\item	Pour $t \geqslant 0$, la valeur exacte de $p([t,~ 
+\infty [)$ est :

\begin{tabular}{l l l l l l}
    \hspace{2cm} \textbf{a.}& $1 - \text{e}^{-\lambda t}$& \textbf{b.}& $\text{e}^{-\lambda t}$
    &\textbf{c.}& $1 + 
    \text{e}^{-\lambda t}$\\
    \end{tabular}

\item La valeur de $t$ pour laquelle on a $p([0,~ t[) =  p 
([t,~ +\infty [)$ est :

\begin{tabular}{l l l l l l}
    \hspace{2cm} 
    \textbf{a.}& $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$&   \textbf{b.}& $\dfrac{\lambda}{\ln 2}$&	
    \textbf{c.}& $\dfrac{\lambda}{2}$\\
    \end{tabular} 

\item D'apr\`es une \'etude statistique, la probabilit\'e que l'appareil tombe en panne avant 
la fin de la premi\`ere ann\'ee est 0,18. La valeur exacte de $\lambda$ est alors :

\begin{tabular}{l l l l l l}
    \hspace{2cm} 
    \textbf{a.}&	$\ln \left(\dfrac{50}{41}\right)$&	\textbf{b.}& $\ln 
\left(\dfrac{41}{50}\right)$& \textbf{c.}&	$\dfrac{\ln (82)}{\ln (100)}$\\
    \end{tabular}

\item Sachant que cet appareil n'a connu aucune panne au cours des deux premi\`eres ann\'ees apr\`es sa mise en service, la probabilit\'e qu'il ne connaisse aucune panne 
 l'ann\'ee suivante est :

\begin{tabular}{l l l l l l}
    \hspace{2cm} 
    \textbf{a.}& $p ([1,~ + \infty[)$& \textbf{b.}& $p ([3, + \infty[)$& 
    \textbf{c.}& $p ([2~;~3 [$\\
    \end{tabular}

 Dans la suite de l'exercice on prendra $\lambda = 0,2$.

\item La probabilit\'e que l'appareil n'ait pas eu de panne au cours des
trois premi\`eres ann\'ees, arrondie \`a $10^{-4}$ pr\`es, est :

\begin{tabular}{l l l l l l}
    \hspace{2cm} 
    \textbf{a.}&	$0,552\:3$&	\textbf{b.}& $0,548\:8$& \textbf{c.}& $0,451\:2$\\
    \end{tabular}

\item Dix appareils neufs de ce type ont \'et\'e mis en service en m\^eme temps. On d\'esigne par $X$ la  variable alatoire \'egale au nombre d'appareils qui n'ont pas de panne au cours des trois premi\`eres ann\'ees.

La valeur la plus proche de la probabilit\'e de l'\'ev\`enement \og $X = 4$ \fg{} est :

\begin{tabular}{l l l l l l}
    \hspace{2cm} 
    \textbf{a.}& $0,555\:5$& \textbf{b.}& $0,802\:2$& \textbf{c.} & $0,160\:7$\\
    \end{tabular}
    
\end{enumerate}

\end{multicols}
\end{document}