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\begin{document}

\begin{center} \shadowbox{\begin{minipage}{\textwidth} Durée : 4 heures \hfill Le 29 avril 2009                                                                                                                                                                    \begin{center} {\LARGE
          \bf Devoir de mathématiques} \\ \vspace{0.3cm} {\large \bf Obligatoire et spécialité}
        \\ \vspace{0.3cm}  La calculatrice est autorisée \end{center} \end{minipage}} \end{center}
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%\begin{multicols}{2}

\section*{Exercice 1 (7 points) : Commun \`a tous les candidats }
% liban juin  2005

\textbf{Partie A}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

\[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1
(1 - t)^n \text{e}^t\: \text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f~:~t \longmapsto (2 - t)\text{e}^t$ est une primitive de $g~:~t \longmapsto (1 - t)\text{e}^t$ sur $[0~;~1]$.

En déduire la valeur de $u_1$.

\item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout $n$ non nul,

\[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\quad \text{(R)}\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

On regarde d'abord ce qu'affichent deux calculatrices différentes pour les valeurs approchées des 25 premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant pour le calcul la relation de récurrence (R) ci-dessus.

 Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
Valeur & Valeur de $u_{n}$ affichée par &  Valeur de $u_{n}$ affichée par\\ 
de $n$ & la première calculatrice & le deuxième calculatrice\\ \hline
1&\nombre{7,1828182845}E$-$01&\nombre{7,1828182846}E$-$01  \\ \hline
2&\nombre{4,3656365691}E$-$01 &\nombre{4,3656365692}E$-$01\\ \hline  
3&\nombre{3,0969097075}E$-$01 &\nombre{3,0969097076}E$-$01\\ \hline
4&\nombre{2,3876388301}E$-$01 &\nombre{2,3876388304}E$-$01\\ \hline
5&\nombre{1,9381941508}E$-$01 &\nombre{1,9381941520}E$-$01\\ \hline
6&\nombre{1,6291649051}E$-$01 &\nombre{1,6291649120}E$-$01\\ \hline
7&\nombre{1,40415433581}E$-$01 &\nombre{1,4041543840}E$-$01\\ \hline
8&\nombre{1,2332346869}E$-$01 &\nombre{1,2332350720}E$-$01\\ \hline
9&\nombre{1,0991121828}E$-$01 &\nombre{1,0991156480}E$-$01\\ \hline
10&\nombre{9,9112182825}E$-$02 &\nombre{9,9115648000}E$-$01\\ \hline
11&\nombre{9,0234011080}E$-$02 &\nombre{9,0272128000}E$-$02\\ \hline
12&\nombre{8,2808132963}E$-$02 &\nombre{8,3265536000}E$-$02\\ \hline
13&\nombre{7,6505728522}E$-$02 &\nombre{8,2451968000}E$-$02\\ \hline
14&\nombre{7,1080199309}E$-$02 &\nombre{1,5432755200}E$-$01\\ \hline
15&\nombre{6,6202989636}E$-$02 &\nombre{1,31491328006}E+00\\ \hline 
16&\nombre{5,9247834186}E$-$02 &\nombre{2,0038612480}E+01\\ \hline
17&\nombre{7,2131811612}E$-$03&\nombre{3,3965641216}E+02\\ \hline
18&$-$\nombre{8,7016273909}E$-$01 &\nombre{6,1128154189}E+03\\ \hline
19&$-$\nombre{1,7533092042}E$+$01 &\nombre{1,1614249296}E+05\\ \hline
20&$-$\nombre{3,5166184085}E$+$02 &\nombre{2,3228488592}E+06\\ \hline
21&$-$\nombre{7,3858986580}E$+$03 &\nombre{4,8779825043}E+07\\ \hline
22&$-$\nombre{1,6249077047}E$+$05 &\nombre{1,0731561499}E+09\\ \hline
23&$-$\nombre{3,7372887209}E$+$06 &\nombre{2,4682591448}E+10\\ \hline
24&$-$\nombre{8,9694930302}E$+$07 &\nombre{5,923821947}E+11\\ \hline
25&$-$\nombre{2,242372585}E$+$09 &\nombre{1,4809554869}E+13\\ \hline
\end{tabular}
 \end{center}

 Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ quand on examine les résultats obtenus avec la première calculatrice ? Et avec les résultats obtenus avec la deuxième calculatrice ?

\newpage

 \textbf{Partie C}

Dans cette partie on se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ à partir de la définition : 

\[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 (1 - t)^n \text{e}^t\: \text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \geqslant 0$.

\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel non nul $n$

\[ (1 - t) ^n \text{e}^t \leqslant \text{e} \times (1 - t)^n.\]

		\item En déduire que pour tout $n$ non nul, $u_{n} \leqslant \cfrac{\text{e}}{n + 1}$.

	\end{enumerate}

\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie D}

Dans cette partie, on se propose d'exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite $\left(u_{n}\right)$.

\[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\]

 Étant donné un réel $a$, on considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par :

\[v_{1} = a\quad \text{et pour tout entier naturel non nul}~n,~v_{n+1} = (n + 1)v_{n} - 1.\]

\begin{enumerate}
\item En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul $n,~v_{n} = u_{n} + (n !)(a + 2 - \text{e})$ où $n !$ désigne le produit des $n$ premiers entiers naturels non nuls.

\item Étudier le comportement de la suite $\left(v_{n}\right)$ à l'infini suivant les valeurs de $a$.

(On rappelle que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n ! = + \infty$.)

\item En déduire une raison susceptible d'expliquer les résultats affichés par les deux calculatrices.

\end{enumerate}


\section*{Exercice 2 (4 points) : Commun \`a tous les candidats}
% pondichery avril 2009

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques  mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à $\dfrac{1}{3}$. 

\medskip
 
\emph{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.} 

\begin{enumerate}
\item  On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? 
		\item Quelle est son espérance ? 
		\item Calculer $P(X = 2)$. 
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.
 
On considère les év\`enements D et A suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $D$ : « le dé choisi est le dé bien équilibré » ; 
\item[$\bullet~$] $A$ : « obtenir exactement deux 6 ».
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des év\`enements suivants : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]	« choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ; 
\item[$\bullet~$] « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

 (On pourra construire un arbre de probabilité). 
		\item  En déduire que : $p(A) = \dfrac{7}{48}$. 
		\item  Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ? 
			\end{enumerate} 
\item  On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé $n$ fois de suite ($n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2). 

On note $B_{n}$ l'év\`enement « obtenir au moins un 6 parmi ces $n$ lancers successifs~». 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer, en fonction de $n$, la probabilité $p_{n}$ de l'év\`enement $B_{n}$.
		 \item	Calculer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. Commenter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 3 (5 points) : Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de sp\'ecialit\'e }
% pondichery avril 2009

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.

 Soit A, B et C les points d'affixes respectives: 
\[a = 3 - \text{i},\quad  b = 1- 3\text{i}~~ \text{et}~~ c = -1- \text{i}.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Placer ces points sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. 
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? 
		\item Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on calculera le rayon.
	\end{enumerate}	
\item  Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe notée $m$ et $N$ le point d'affixe notée $n$, image de A dans la rotation $r$ de centre $M$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$. 
		\item En déduire une expression de $n$ en fonction de $m$. 
	\end{enumerate}
\item On appelle $Q$ le milieu du segment [A$N$] et $q$ son affixe.  

Montrer que : $q = \dfrac{(1 - \text{i})m}{2}	+ 2 + \text{i}$.  
\item Dans cette question, $M$ est un point du cercle $\Gamma$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence d'un réel $\theta$ tel que : $m = \sqrt{10} \text{e}^{\text{i}\theta}$. 
		\item Calculer $|q - 2 - \text{i}|$. Quel est le lieu $\Gamma'$ de $Q$ lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 (5 points) : Candidats ayant choisi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}
% centre etrangés juin 2007
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \ouv. L'unité graphique est 2~cm.\\
Le but de cet exercice est d'étudier la similitude plane indirecte $f$ d'écriture complexe :
\[z'= \text{i}\sqrt{2}\overline{z} + 2\text{i}\sqrt{2} - 2,\]
et d'en donner deux décompositions.

\medskip

\noindent \textbf{I. Restitution organisée de connaissances}\\
On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude plane directe autre qu'une translation est de la forme $z'= az +  b$, o\`u $a$ et $b$ sont des nombres complexes avec $a \neq 1$.\\
Déterminer en fonction de $a$ et de $b$ l'affixe du centre d'une telle similitude plane directe.

\medskip

\noindent \textbf{II. Première décomposition de} \boldmath $f$ \unboldmath\\
 Soit $g$ la similitude plane directe d'écriture complexe:
\[z'= \text{i}\sqrt{2} z +2\text{i}\sqrt{2} - 2.\]

\begin{enumerate}
\item  Préciser les éléments caractéristiques de $g$ (centre, rapport, angle).
\item  Déterminer une réflexion $s$ telle que $f = g \circ s$,
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{III. Deuxième décomposition de} \boldmath $f$ \unboldmath
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f$ admet un unique point invariant noté $\Omega$. Déterminer l'affixe $\omega$ de $\Omega$.
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation : $y = x+2$.\\
Montrer que pour tout point $N$ appartenant à $\mathcal{D}$, le point $f(N)$ appartient aussi à $\mathcal{D}$.
\item Soit $\sigma$ la réflexion d'axe $\mathcal{D}$ et $k$ la transformation définie par : $k = f \circ \sigma$.
\begin{enumerate}
\item  Donner l'écriture complexe de $\sigma$.\\
(Indication : on pourra poser $z'= a\overline{z}+b$ et utiliser deux points invariants par $\sigma$ pour déterminer les nombres complexes $a$ et $b$.)
\item  En déduire que l'écriture complexe de $k$ est : $ z'=\sqrt{2}z + 2\sqrt{2} - 2$.
\item  Donner la nature de la transformation $k$ et préciser ses éléments caractéristiques.
\end{enumerate}
\item  Déduire de ce qui précède une écriture de la similitude indirecte $f$ comme composée d'une réflexion et d'une homothétie,
\end{enumerate}
 
\section*{Exercice 4 (4 points) : Commun \`a tous les candidats}
% Polynesie sept 2008
\noindent \textbf{Partie A}\\
On considère l'ensemble (E) des suites $\left(x_{n}\right)$ définies sur $\N$ et vérifiant la relation suivante :\\
pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}$.

\begin{enumerate}
\item  On considère un réel $\lambda$ non nul et on définit sur $\N$ la suite $\left(t_{n}\right)$ par $t_{n} = \lambda^n$.\\
Démontrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si $\lambda$ est solution de l'équation $\lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0$.\\
En déduire les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à l'ensemble (E).\\

On admet que (E) est l'ensemble des suites $\left(u_{n}\right)$ définies sur $\N$ par une relation de la forme :
\[u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n \quad  	\text{où}~ \alpha~ \text{et}~\beta~ \text{sont deux réels.}\]

\item  On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ de l'ensemble (E).\\
Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que $u_{0} = 6$ et $u_{1} =  6,6$.\\
En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n$.

\item  Determiner $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :
\[v_{0} =  6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,4x - 0,05x^2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
		\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\\
 0 \leqslant  v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.
	\end{enumerate}

\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
\end{enumerate}



%\end{multicols}
\end{document}