\documentclass[10pt]{article}
%\documentclass[10pt,landscape]{article}


\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
                                % qui est à 12pt par défaut
                                % faire \begin{multicols}{2} par
                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...

\usepackage{graphicx}
%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pstricks-add,pst-eucl}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{hmargin={1cm,1cm},vmargin={0cm,1cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}


\usepackage{lfba}  % fichier de style perso



\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]

%\newcounter{exercice}
\newcommand{\exo}[2]{\addtocounter{exercice}{1}\subsection*{Exercice
    \arabic{exercice} (#2) : }}
\newcommand{\finexo}{\vspace{.2cm}}

\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}


\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $\boldmath N^o$ 11 ($\boldmath \frac{1}{2}$ heure)}{}{Classe de
T6S }{24 avril 2009}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
\danger{\it Le bar\^eme est approximatif.}
%\vspace{-1cm}
\setlength{\columnseprule}{1pt} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
%\begin{multicols}{2}

\exo{Probabilite}{3 points}



\noindent Le directeur d'un mus\'ee, dont le plan est fourni ci-dessous, organiseune exposition.\\ 
Afin de pr\'evoir la fr\'equentation des salles, il d\'ecide d'imaginer le
parcours d'un visiteur, pris au hasard, en faisant les hypoth\`eses
suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Le visiteur passe \textit{au hasard} d'une salle \`a une salle voisine.
\item[$\bullet~$] Pour sortir d'une salle, il franchit de mani\`ere \'equiprobable n'importe quelle autre porte que celle qu'il a utilis\'ee pour entrer.
\end{itemize}
Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s'int\'eresse qu'aux quatre
premi\`eres salles travers\'ees, l'entr\'ee E \'etant comprise dans celles-ci. Un trajet par ces quatre premi\`eres salles est cod\'e par un mot de quatre lettres, commençant par la lettre E. Par exemple :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on  codera son trajet par le mot EBDF.
\item[$\bullet~$] Le trajet cod\'e EBDB est impossible avec les hypoth\`eses 
choisies.
\end{itemize}


\begin{center}
\begin{pspicture}(7,8.5)
\psline(0,1)(6.2,1)(6.2,7.2) \psline(0,1)(0,7.2)(4,7.2) 
\psline(0.2,1.2)(2,1.2)(2,2)(2.2,2)(2.2,1)%bas gauche
\psline(0.2,1.2)(0.2,3)(1,3)(1,3.2)(0.2,3.2)(0.2,5)(1,5)(1,5.2)
(0.2,5.2)(0.2,7)(2,7)(2,6.2)(2.2,6.2)(2.2,7)(4,7)(4,5.2)
(3.2,5.2)(3.2,5)(4,5)(4,4.2)(4.2,4.2)
\psline(4.2,4)(4,4)(4,3.2)(3.2,3.2)(3.2,3)(4,3)(4,2.2)(4.2,2.2)
(4.2,3)(5,3)(5,3.2)(4.2,3.2)(4.2,4)%int\'erieur gauche
\psline(4.2,4.2)(4.2,7.2)
\psline(1.2,3.2)(1.2,3)(2,3)(2,2.2)(2.2,2.2)(2.2,3)(3,3)(3,3.2)
(2.2,3.2)(2.2,4)(2,4)(2,3.2)(1.2,3.2)%croix du bas
\psline(1.2,5.2)(1.2,5)(2,5)(2,4.2)(2.2,4.2)(2.2,5)(3,5)(3,5.2)
(2.2,5.2)(2.2,6)(2,6)(2,5.2)(1.2,5.2)% croix du haut
\psline(4,1)(4,2)(4.2,2)(4.2,1.2)(6,1.2)(6,3)(5.2,3)(5.2,3.2)(6,3.2)(6,7.2)%bord droit
\psarc(5.1,7.2){0.9}{0}{180}
\psarc(5.1,7.2){1.1}{0}{180}
\psarc(3.1,1){0.5}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.7}{-180}{0} \psarc(3.1,1){0.9}
{-180}{0}
\rput(3,2.3){Entr\'ee} \rput(1,2){B} \rput(1,4){D} \rput(1,6){F} \rput(3,6){G} 
\rput(3,4){A} \rput(3,1.7){E} \rput(5,2){C} \rput(5,5.5){T} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate} \item On consid\`ere un visiteur, pris au hasard, devant effectuer
 un trajet selon les hypoth\`eses pr\'ec\'edentes.\\ 
\begin{enumerate} \item Construire l'arbre pond\'er\'e des diff\'erents trajets possibles pour
 ce visiteur.\\ 
\item Montrer que la probabilit\'e du parcours cod\'e EBDF est $\dfrac{1}{6}$ .\\
\item D\'eterminer la probabilit\'e $p_{1}$ de l'\'ev\`enement : \og La quatri\`eme salle
 du trajet est F \fg{}.\\
\item Pour des raisons techniques, le directeur installe les {\oe}uvres les
 plus int\'eressantes dans la salle T. D\'eterminer la probabilit\'e $p_2$ de
 l'\'ev\`enement \og Le trajet passe par la salle T \fg{}.
\end{enumerate} 
\item Le directeur imagine dix visiteurs pris au hasard, effectuant chacun
 un trajet, de mani\`ere ind\'ependante et selon les hypoth\`eses pr\'ec\'edentes.
 On appelle X la variable al\'eatoire qui, aux dix visiteurs, associe le nombre
 de leurs trajets passant par la salle T.\\ 
\begin{enumerate} \item Calculer la probabilit\'e de l'\'ev\`enement (X = 1).\\
\item Calculer la probabilit\'e que deux visiteurs au moins passent par la 
salle T. (Donner le r\'esultat arrondi au milli\`eme.)\\
\item Le directeur d\'ecide d'obliger les visiteurs \`a se diriger, apr\`es
 l'entr\'ee, vers la salle A, les hypoth\`eses pr\'ec\'edentes demeurant pour la suite
 des trajets. Il pense ainsi augmenter la probabilit\'e que deux visiteurs au
 moins, sur les dix, passent par la salle T.\\ 
Prouver qu'il a tort.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\finexo
%\end{multicols}
\end{document}
