\documentclass[10pt]{article}
%\documentclass[10pt,landscape]{article}


\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
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                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...

\usepackage{graphicx}
%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pstricks-add,pst-eucl}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{hmargin={1cm,1cm},vmargin={0cm,1cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}


\usepackage{lfba}  % fichier de style perso



\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]

%\newcounter{exercice}
\newcommand{\exo}[2]{\addtocounter{exercice}{1}\subsection*{Exercice
    \arabic{exercice} (#2) : }}
\newcommand{\finexo}{\vspace{.2cm}}

\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}


\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $N^o$ 10 (2 heures)}{}{Classe de
T6S (spécialité) }{27 mars 2009}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
\danger{\it Le bar\^eme est approximatif.}
%\vspace{-1cm}
\setlength{\columnseprule}{1pt} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
%\begin{multicols}{2}

\exo{similitudes}{3 points}

La figure  sera compl\'et\'ee au cours de l'exercice et remise avec la
copie(voir verso). On y laissera apparents les traits de construction.

\noindent Dans le plan orient\'e, on donne le triangle ABC  tel que AB
= 2, AC= $3$ et $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.

Soit $S$ la similitude directe transformant B en A et A en C.

\begin{enumerate}
\item Quel est l'angle et le rapport de $S$ ?
\item On appelle $\Omega$ le centre de $S$. Montrer que $\Omega$ appartient au cercle de diam\`etre [AB] et à la droite (BC). Construire le point $\Omega$.

\item On note D l'image du point C par la similitude $S$.

\begin{enumerate}\item D\'emontrer l'alignement des points A, $\Omega$ et D ainsi que le parall\'elisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D.

\item Calculer la longueur CD

\end{enumerate}

\item {\bf Cette question n'est pas à faire dans le devoir, elle est
    à traiter pour le mercredi 1 avril.}

 Soit E le projet\'e orthogonal du point B sur la droite (CD).

 Expliquer la construction de l'image F du point E par $S$ et placer F sur la figure.

\end{enumerate}

\finexo

\hrule


\exo{intégrales}{4 points}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un \'eel sup\'erieur ou \'egal \`a 1.

Calculer en fonction de $x$ l'int\'egrale $\displaystyle\int_{1}^x(2-t)\:\text{d}t$.
\item D\'emontrer que pour tout r\'eel $t$ appartenant \`a l'intervalle $[1~;~+\infty[$, on a: $2-t\leqslant\dfrac1t$.
\item D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que pour tout r\'eel $x$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1, on a:
$$-\frac12x^2+2x-\frac32\leqslant\ln x.$$
\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=-\dfrac12x^2+2x-\dfrac32$.

Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d'un rep\`ere orthogonal \Oij{} dans lequel on a trac\'e les courbes repr\'esentatives des fonctions $h$ et logarithme n\'ep\'erien sur l'intervalle $[1~;~4]$. On a a trac\'e \'egalement la droite $(d)$ d'\'equation $x=4$.
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que $\displaystyle\int_{1}^4h(x)\text{d}x=0$ et illustrer sur le graphique ce résultat.
\item On note $(D)$ le domaine du plan d\'elimit\'e par la droite $(d)$ et les courbes repr\'esentatives des fonction $h$ et logarithme n\'ep\'erien sur l'intervalle $[1~;~4]$.\\
 En utilisant une int\'egration par parties, calculer l'aire de $(D)$ en unit\'es d'aire.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\finexo
\hrule



\exo{}{5 points}
\subsection*{Partie A}
On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur l'intervalle $[0\,,\,+\infty[$
par $$f(x)=\sqrt{x} \,e^{1-x}$$

Elle est dérivable sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$. On note $f^{\,\prime}$ sa dérivée.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $\oij$.
\begin{enumerate}

   \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. 
   \item Etudier les variations de $f$ et montrer en particulier que
     $f$ décroissante sur $[1;\pI[$.
   
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=\ds\int_n^{n+1}\,f(t)dt$.
\begin{enumerate}
   \item Interpréter géométriquement $u_n$
   \item Montrer que $u_n>0$ pour tout $n \in \N$.
   \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $f(n+1) \leqslant u_n \leqslant f(n)$.
   \item En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.
   \item Prouver la convergence de la suite $(u_n)$ et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\finexo

\hrule
\exo{suites}{4 points}
%france sept 2008
On considère la suite numérique $\left(J_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par
\[ J_{n}  = \int_{1}^n  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la suite $\left(J_{n}\right)$ est croissante.

\item   On définit la suite $\left(I_{n}\right)$, pour tout entier naturel $n$ non nul, par :
\[ I_{n} =  \int_{1}^n (t + 1)\text{e}^{-t}\:\text{d}t.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que, pour tout $t \geqslant  1$, on a $\sqrt{t + 1} \leqslant  t + 1$.
		\item  En déduire que $J_{n}  \leqslant I_{n}$ pour
                  tout $n \in \N^\star$.
		\item  A l'aide d'une intégration par parties,
                  calculer $I_{n}$ en fonction de $n$.
                \item  En déduire que la suite $\left(J_{n}\right)$
                  est majorée. 
		\item  La suite $\left(J_{n}\right)$ est-elle
                  convergente ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo
\hrule

\exo{suites}{4 points}
On pose pour tout entier naturel $n$ non nul :
\[
I_n=\int_1^e x^2(\ln x )^n\, dx
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(I_n)$ est décroissante.
\item Montrer que $(I_n)$ est convergente. On note $\ell$ la limite de $(I_n)$.
\item En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour
  tout entier naturel $n$ :
\[
3I_{n+1} + (n+1)I_n=e^3
\]
\item  En déduire que $\limite{n}{\pI} I_n =0$
\finexo
\end{enumerate}
\finexo

\hrule

\begin{multicols}{2}
\begin{center} {\bf Figure Exercice 1}
\begin{pspicture}(7,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](-1,-1)(7,5)
\pspolygon[linewidth=2pt](0,0)(2,0)(0,3)
\uput[dr](0,0){A} \uput[dr](2,0){B} \uput[ur](0,3.236){C}

\end{pspicture} \end{center}


\begin{center} {\bf Figure Exercice 2} 
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.9,-1.75)(4.56,1.93)
\psaxes[Dx=1,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.9,-1.75)(4.56,1.93)
%\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=transp,transpalpha=0.1]{\psplot{1}{3}{-x^2/2+2*x-3/2}\lineto(3,0)\lineto(1,0)\closepath}
%\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=transp,transpalpha=0.1]{\psplot{3}{4}{-x^2/2+2*x-3/2}\lineto(4,0)\lineto(3,0)\closepath}
\psplot[linecolor=darkgray,plotpoints=200]{1.0}{4.0}{ln(x)}
\psplot[linecolor=darkgray,plotpoints=200]{1.0}{4.0}{-x^2/2+2*x-3/2}
\psline(4,-1.75)(4,1.93)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,0.99)
\rput[tl](4.36,-0.02){$x$}
\rput[tl](-0.19,1.87){$y$}
%\rput[bl](0.48,-0.19){$\vect{i}$}
%\rput[bl](0.04,0.56){$\vect{j}$}
%\uput[-135](0,0){$O$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{multicols}
\end{document}
