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\newcounter{exercice}
\newcounter{partie}[exercice]


\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \refstepcounter{exercice}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
		     \textbf{\begin{large}Exercice \arabic{exercice}\end{large}\quad\hrulefill\quad #1}\par\medskip\nopagebreak
		     }{\par\vspace{1.5em}}

\newenvironment{partie}{%
                     \refstepcounter{partie}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \Alph{partie}}\nopagebreak\par
                     }{\par\vspace{1em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\rule{0.1em}{0ex}}}
\newcommand{\oij}{\ensuremath{\left(O;\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)}}
\newcommand{\ouv}{\ensuremath{(O;\vect{u},\vect{v})}}
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\rfoot{\textit{Obligatoire -- \thepage/\pageref{LastPage}}}%

\begin{document}
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\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\centering
\begin{LARGE}
\textbf{Devoir surveillé de mathématiques}
\end{LARGE}

\medskip
\begin{Large}
\textbf{Terminales S -- Obligatoire}
\end{Large}

\medskip
\textbf{Mercredi 21 janvier 2009}

\textbf{Durée : 3 heures}
 
\end{minipage}}
\end{center}

\vspace{\baselineskip}
{\itshape L'usage d'une calculatrice est autorisé.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Le barème est donné à titre indicatif.}

\vspace{\baselineskip}

\begin{exercice}[6 points]
 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $\ouv$ d'unité graphique 1~cm.
\begin{enumerate}
\item  \emph{Question de cours}\par
% Prérequis :\par {\centering\og Pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul, d'affixe
% $z$ on a : $|z|= \|\vect{w}\|$ et  $\arg(z) = \left(\vect{u},~\vect{w}\right)$. \fg\par}
Prérequis : \og Pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul, d'affixe
$z$ on a : $|z|= \|\vect{w}\|$ et  $\arg(z) = \left(\vect{u},~\vect{w}\right)$. \fg

Soient $M$, $N$ et $P$ trois points du plan, d'affixes respectives $m$, $n$ et $p$ tels que $m \neq n$ et $m \neq p$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que :  $\arg\left(\dfrac{p - m}{n - m}\right) 	= \left(\vect{MN},~\vect{MP}\right)\pod{2\pi}$.
\item Interpréter géométriquement le nombre $\left|\dfrac{p - m}{n - m} \right|$.
 \end{enumerate}
\item On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives 
 \[z_{A} = 4 + \i,\quad  z_{B} = 1+ \i, \quad  z_{C} = 5\i \quad \text{et}\quad z_{D} = -3 -\i\]
Placer ces points sur une figure.
\item Soit $f$ l'application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel
que : 
 \[z' = (1 +2\i)z - 2 -4\i\]
\begin{enumerate}
\item  Préciser les images des points $A$ et $B$ par $f$.
\item Montrer que $f$ admet un unique point invariant $\Omega$, dont on précisera l'affixe $\omega$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, on a :
\[z'-z =  -2\i(2 - \i - z)\]
\item	En déduire, pour tout point $M$ différent du point $\Omega$, la valeur de $\dfrac{MM'}{\Omega M}$ et une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{M \Omega},~\vect{MM'}\right)$.
\item Quelle est la nature du triangle $\Omega MM'$ ?
\item Soit $E$ le point d'affixe $z_{E} =  - 1 - \i\sqrt{3}$. Écrire $z_{E}$ sous forme exponentielle puis placer le point $E$ sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point $E'$ associé au point $E$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[6 points]
 $\ouv$ est un  repère orthonormal direct du plan complexe.\par
Soit $A$ le point d'affixe $1+ \i$.\par
Au point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que \[z'=\dfrac{1}{2}\left(z+\i\overline{z}\right)\]
\begin{enumerate}
	\item On pose $z=x+\i y$ et $z'=x'+\i y'$ avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer les égalités suivantes: 
		\[x'=\dfrac{1}{2}(x+y)\quad \text{et}\quad y'=\dfrac{1}{2}(x+y)\]
		En déduire que le point $M'$ appartient à la droite $(OA)$.
		\item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M=M'$.
		\item Démontrer que pour tout point $M$ du plan les vecteurs $\vect{MM'}$ et $\vect{OA}$ sont orthogonaux.
	\end{enumerate}	
	\item $M_{1}$ est le point d'affixe $z_{1}=\i z$, $M_{2}$ le point d'affixe $z_{2}=\overline{z}$, $M_{3}$ le point d'affixe $z_{3}$ tel que le quadrilatère $OM_{1}M_{3}M_{2}$ soit un parallélogramme.
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question uniquement $M$ a pour affixe $4+\i$. Placer les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$.
		\item Exprimer $z_{3}$ en fonction de $z$.
		\item $OM_{1}M_{3}M_{2}$ est-il un losange ? Justifier.
		\item Vérifier que $z'-z=\dfrac{1}{2}\i z_{3}$.
		En déduire que $MM'=\dfrac{1}{2}OM_{3}$.
	\end{enumerate}
	\item Démontrer que les points $M$, $M_{1}$, $M_{2}$ et $M_{3}$ appartiennent à un même cercle de centre $O$ si et seulement si $MM'=\dfrac{1}{2}OM$. \par
	Donner alors la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{M'OM}$.
\end{enumerate}


\end{exercice}

\begin{exercice}[8 points]
\begin{partie}

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\intervalleFO{0}{+\infty}$ par 
\[f(x) = (20x + 10)\e^{-\frac{1}{2}x}\]
On note $\calc$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\oij$ (unité graphique 1~cm).

\begin{enumerate}
 \item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations.
\item Établir que l'équation $f(x) = 10$ admet une unique solution strictement positive $\alpha$ dans l'intervalle $\intervalleOO{0}{+\infty}$. Donner une valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près de $\alpha$.
\item Tracer la courbe $\calc$.
%\item Calculer l'intégrale I $= \displaystyle\int_{0}^3 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\end{partie}

\begin{partie}

On note $y(t)$ la valeur, en degrés Celsius, de la température d'une réaction chimique à l'instant $t$, $t$ étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l'instant $t =  0$, est $y(0) = 10$.

 On admet que la fonction qui, à tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $\intervalleFO{0}{+\infty}$ associe $y(t)$, est solution de l'équation différentielle : \[(E) : y' + \dfrac{1}{2}y = 20\e^{-\frac{1}{2}t}\]
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que la fonction $f$ étudiée dans la partie A est solution de l'équation différentielle $(E)$ sur l'intervalle $\intervalleFO{0}{+\infty}$.
\item On se propose de démontrer que cette fonction $f$ est l'unique solution de l'équation différentielle $(E)$, définie sur l'intervalle $\intervalleFO{0}{+\infty}$, qui prend la valeur $10$ à l'instant $0$.
	\begin{enumerate}
	\item On note $g$ une solution quelconque de l'équation différentielle $(E)$, définie sur  $\intervalleFO{0}{+\infty}$ vérifiant $g(0) =  10$.\par Démontrer que la fonction $g - f$ est solution, sur l'intervalle $\intervalleFO{0}{+\infty}$, de l'équation différentielle : \[(E'):y'+ \dfrac{1}{2}y = 0\]
	\item Résoudre l'équation différentielIe  $(E')$.
	\item Conclure.
	\end{enumerate}
\item Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend-elle à sa valeur initiale ? Le résultat sera arrondi à la minute.
% \item La valeur $\theta$ en degrés Celsius de la température moyenne à cette réaction chimique durant les trois premières heures est la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 3].
% 
% Calculer la valeur exacte de $\theta$, puis donner la valeur approchée décimale de $\theta$ arrondie au degré.
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}

\end{document}