%\documentclass[11pt]{article}
\documentclass[10pt,landscape]{article}


\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
                                % qui est à 12pt par défaut
                                % faire \begin{multicols}{2} par
                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...


%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}


\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{twoside,hmargin={1.5cm,2cm},vmargin={0cm,0cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}


\usepackage{lfba}  % fichier de style perso



\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]

%\newcounter{exercice}
\newcommand{\exo}[2]{\addtocounter{exercice}{1}\subsection*{Exercice
    \arabic{exercice} (#2) : }}
\newcommand{\finexo}{\vspace{.2cm}}

\newcommand{\E}{\text{e}}



\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $N^o$ 6 (2 heures)}{}{Classe de
T6S (obligatoire) }{19 décembre 2008}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
\danger{\it Le bar\^eme est approximatif.}
%\vspace{-1cm}
\setlength{\columnseprule}{1pt} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
\begin{multicols}{2}
\exo{ED}{5 points}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle 
\[
(E) : y'+2y=0
\]
\item En déduire les solutions de $y''+2y'=0$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie sur $\R$
  par $g(x)=a\E^{-x}+b$ soit solution de 
\[
(E') : y'+2y=2\E^{-x}-6
\]
\item Démontrer que $f$ est solution de $(E')$ si et seulement si
  $f-g$ est solution de $(E)$.
\item En déduire la résolution de l'équation $(E')$.
\end{enumerate}
\item Déterminer la solution $s$ de $(E')$ vérifiant $s(\ln 2)=-\dfrac{7}{4}$.
\end{enumerate}
\finexo
\hrule

\exo{ED}{4 points}
On se propose de déterminer toutes les fonctions $f$ définies et dérivables sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$ vérifiant l'équation différentielle 
\[(E)~~: \qquad  xf'(x)- (2x + 1)f(x) = 8x^2.\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que si $f$ est solution de $(E)$ alors la fonction
  $g$ définie sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$ par $g(x) =
  \dfrac{f(x)}{x}$ est solution de l'équation différentielle $(E')~~: \quad y' = 2y+8$.
\item  Démontrer que si $h$ est solution de $(E')$ alors la fonction $f$ définie par $f(x) =  x h(x)$ est solution de $(E)$.
\end{enumerate}
\item Résoudre $(E')$ et en déduire toutes les solutions de $(E)$.
\item Existe-t-il une fonction $f$ solution de l'équation différentielle $(E)$ dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A$(\ln 2~;~ 0)$ ?  Si oui la préciser.
\end{enumerate}
\finexo
\hrule

\exo{Exponentielle}{5 points}
$f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[
f(x)=\dfrac{x}{\E^x-x}
\]
et $\calc$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\oij$.
\begin{enumerate}
\item $g$ est définie sur $\R$ par $g(x)=\E^x-x-1$.
\begin{enumerate}
\item Etudiez les variations de $g$ et en déduire son signe.
\item Justifier alors le domaine de définition de $f$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculez les limites de $f$ en $\pI$ et $\mI$. Interprétez
  graphiquement les résultats obtenus.
\item Etudiez les variations de $f$ et dressez son tableau de
  variations.
\item Soit $T$ la tangente à $\calc$ au point d'abscisse $0$. Etudiez
  la position relative de $\calc$ et de $T$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo
\hrule


\exo{Complexe}{2 points}
 Résoudre les équation suivantes :
\begin{enumerate}
\item $2iz+3i=\conj z+1$
\item $z^2-2\sqrt{2}z+4=0$ 
\end{enumerate}
\finexo
\hrule


\exo{Complexe}{3 points}
Soit $z_1=\sqrt{6}-i\sqrt{2}$ et $z_2=2-2i$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une forme exponentielle de $z_1$.
\item Déterminer une forme exponentielle de $z_2$.
\item Donner la forme algébrique de $\dfrac{z_1}{z_2}$.
\item Donner une forme exponentielle de $\dfrac{z_1}{z_2}$ et en
  déduire la valeur de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
\end{enumerate}
\finexo
\hrule

\exo{Complexe}{1 points}
Ecrivez sous forme exponentielle.
\begin{enumerate}
\item $a=-ie^{i\frac{\pi}{3}}$
\item $b=(1+i\sqrt{3})^4$
\end{enumerate}
\finexo

\end{multicols}
\end{document}
