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\newcommand{\exo}[2]{\begin{exerciceds}{}{#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exerciceds}}



\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $N^o$ 3 (2 heures)}{}{Classe de
T6S version Spécialistes}{24 octobre 2008}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
%\vspace{-1cm}
\setlength{\columnseprule}{1pt} 
\setlength{\columnsep}{30pt}
\begin{multicols}{2}

\subsection*{Exercice 1 : }
Résoudre
\begin{enumerate}
\item $\ln \left(\dfrac{5-4x}{x+3}\right)=1$
\item $\dfrac{1}{2}\ln(x+3)=\ln(x+1)$.
\end{enumerate}
\hrule

\subsection*{Exercice 2 : }
Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=2\sin(5x)+3\sin(3x)+4\sin x$ sur  $D=\R$.
\item $f(x)=x(x^2-6)\sqrt{x^2-6}$ sur $D=[\sqrt{6};\pI[$.
\item $f(x)=x^2(x^3-\pi)^4$ sur $D=\R$.
\item $f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x}$ sur $D=]0;1[$.
\item $f(x)=\dfrac{\cos x}{\sin^4 x}$ sur $D=]0;\pi[$.
\end{enumerate}
\hrule

\subsection*{Exercice 3 :}
Soit $f(x)=\cos^3x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x \in \R$ on a $f(x)=\cos x - \cos x
  \sin^2x$.
\item En déduire la primitive de $F$ telle que $F(0)=0$.
\end{enumerate}

 \hrule

\subsection*{Exercice 4 : Restitution organisée de connaissances  } 

{\it Prérequis : $\bullet$  Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$. On
appelle primitive de $f$ sur $I$, une fonction $F$ dérivable sur $I$
telle que pour tout $x \in I$, $F'(x)=f(x)$.

$\bullet$  Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ alors $f$
  admet des primitives sur $I$. }
\par\noindent
Montrer les résultats suivant :
Soit $f$ continue sur un intervalle $I$
et $F$ et $G$ deux primitives de $f$ alors $F$ et $G$ diffèrent
d'une constante.
 \hrule


\subsection*{Exercice 5 : }
Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sqrt{|x-3|}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $\R\setminus\{3\}$.
\item $f$ est-elle dérivable en 3 ?
\end{enumerate}
\hrule


\subsection*{Exercice 6 : (spécialité)}
\begin{enumerate}
\item Pour $n \in \N$. Montrer que 4 divise $81n^2-1 \ssi n$ est un nombre impair.
\item Est-il vrai que pour tout entier $n>2$, 12 divise
  $A_n=n(n+1)(n+3)$ ?
\end{enumerate}
\hrule

\subsection*{Exercice 7 :}
Soit $E$ la fonction partie entière. On rappelle que pour tout
$k \in \Z$, si $I_k=[k;k+1[$ on a alors $E(x)=k$ pour tout $x \in
I_k$.\par
Soit $f(x)=x-xE(x)$; $x\in \R$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'expression de $f$ pour $x \in I_0$ ? pour $x \in
  I_1$ ?
\item $f$ est-elle contine en 0 ? dérivable en 0 ?
\end{enumerate}

\hrule


\subsection*{Exercice 8 : }
Déterminer les limites de la fonction $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{enumerate}
\item $f(x)= (\ln x)^2$ en $0$ et $\pI$.
\item $f(x)= \dfrac{2\ln x+7}{x+\ln x}$ en $\pI$. 
\item $f(x)= \dfrac{\ln(1-4x)}{x}$ en $0$.
\item $f(x)= \dfrac{\ln(1+x)}{\tan x}$ en $x=0$.
\end{enumerate}
\hrule

\subsection*{Exercice 9 : }
Soit $f$ définie sur $D=\R_+^{\star}$ par $f(x)=x\ln x-2x+1$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D$.
\item Dresser le tablearu de variation de $f$.
\item Montrer que $f(x)=0$ admet une solution $\alpha$ unique $\alpha$ sur
  $[e;\pI[$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude
    $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\hrule

\end{multicols}
\end{document}
