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\newcommand{\exo}[2]{\begin{exerciceds}{}{#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exerciceds}}



\begin{document}
\devpers{Devoir  de Mathématiques $N^o$ 2 (1 heure)}{}{Classe de
T6S-Obligatoire}{2 octobre 2008}
\danger {\it La rédaction doit \^etre soignée, la calculatrice est autorisée.}
%\vspace{-1cm}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}. 
%\begin{multicols}{2}


\subsection*{Exercice 1 : 3 points}

Soit $f(x)=\dfrac{(\cos(x))^{15}-1}{x}$ pour $x\neq 0$. Etudier la limite de $f$ en $0$. 
\hrule

\subsection*{Exercice 2 : 3 points}
Soit $f$ définie sur $\R$ par 
\[
f(x)=
\begin{cases} \dfrac{1-\sqrt{2x^2+1}}{x} \ \ \ \ &\text{si $x\neq
  0$}\\
0 &\text{$0$ sinon.}
\end{cases}
\]
 $f$ est-elle dérivable en 0 ? continue en 0 ?
\hrule

\subsection*{Exercice 3 : 2 points}
Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sin^3 x$.
Montrer que pour tout $x \in \R$ on a
\[
f''(x)+9f(x)=6\sin x
\]
\hrule

\subsection*{Exercice 4 : 12 points}
\begin{enumerate}
\item
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[
g(x)=x^3-3x-4
\]
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation complet de $g$.
\item Démontrer qur $g(x)=0$ admet une solution unique sur $\R$ que
  l'on appelera $\alpha$. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ prés
  de $\alpha$.
\item Quel est le signe de $g$ sur $]1;\pI[$ ?
\end{enumerate}
\item Soit $f$ définie sur $D=]1;\pI[$ par :
\[
f(x)=\dfrac{x^3+2x^2}{x^2-1}
\]
\begin{enumerate}
\item Etablir que $f'$ et $g $ ont m\^eme signe sur $D$ .
\item Etablir les limites de $f$ aux bornes de $D$.
\item Construire le tableau de variation de $f$.
\item Déterminer un encadrement de $f(\alpha)$. 
\item Etablir que $\Delta : y=x+2$ est asymptote oblique à $\calc$
  courbe représentative de $f$. Déterminer la position relative de   $\calc$ et $\Delta$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
