\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{calligra}
% \usepackage{libertinus}  %% Bien, pour la police texte
%  % \usepackage{stix2}  %  pour la police texte mais j'ai des erreurs
%  \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}.
\usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm}

\geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1.5cm}

\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 1}  : Récurrence, révisions suites et fonctions (1h)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 21 septembre 2026}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 

\begin{exercice}[(1 point)]
Le graphique suivant représente une fonction $f$. % ainsi que la première bissectrice d'équation $y=x$.
Il est également donné un réel $u_0$ sur l'axe des abscisses.
On définit $(u_n)$ par récurrence en posant $u_{n+1}=f(u_n)$, $n\in \N$.

\begin{minipage}{10cm}
 \begin{enumerate}
 \item Représentez les 4 premiers termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ sur l'axe des abscisses.
 \item Conjecturez les variations de $(u_n)$.

 \dotfill
 \item Conjecturez la limite éventuelle de $(u_n)$.

  \dotfill
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{mplibcode}
  repere(-2,4.5,1cm,-1,4,1cm);
vardef f(expr x)=sqrt(2*x+4) enddef;
path C_f;
C_f= courbefonc(f)(-1,4);
draw Suiterec(f,0,3,1) withcolor red;
draw axes(1,1);
drawoptions(withpen pencircle scaled 1);
draw C_f withcolor bleu;
draw droite(1,0);
fin;
 \end{mplibcode}
\end{minipage}
\end{exercice}



 \begin{exercice}[(4 points)]$\ $\\


\begin{minipage}{13cm}
Soit $f$ définie sur $\R$ par  $f(x)=(2x-3)\e^{x-1}-x^2+x+1$. On a tracé sur le graphe ci-contre la courbe $\calc_f$ représentative de $f$. Le but de l'exercice est de vérifier si $f$ est strictement croissante.
 \begin{enumerate}
  \item On introduit la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
  \[
   g(x)=(\e^{x-1}-1)(2x-1)
  \]

  Dresser le tableau de signe de $g$.


  \item Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'=g$, et en déduire le tableau de variations de $f$. $f$ est-elle croissante ?

\item On note $\calt$ la tangente à $\calc_f$ en 0. Déterminer l'équation réduite de $\calt$.
 \end{enumerate}
\end{minipage}\hspace{1cm}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{mplibcode}
   u:=0.8cm;
repere(-2,3 ,1u,-4,3,1u);
 draw quadrillage(1,1) withpen pencircle scaled 0.5 withcolor 0.7white;
draw axes(1,1)  withpen pencircle scaled 1.2;   % ne met pas le 0 à l'origine
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
 vardef f(expr x)= (2x-3)*exp(x-1)-x**2+x+1 enddef;
%   vardef g(expr x)= -f(x-1) enddef;
 path Cf;
 Cf=courbefonc(f,-2,3,60);
 draw Cf withpen pencircle scaled 1.2 withcolor rouge;

fin;
\end{mplibcode}
\end{minipage}



\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item Au vu du graphique, on conjecture que $f$ est strictement croissante sur $\R$.
 \item
   On va faire un tabelau de signe mais il nous faut le signe de $\e^{x-1}-1$.

   \begin{align*}
    \e^{x-1}-1\geq 0 &\ssi \e^{x-1} \geq \e^0\\
     &\ssi x-1\geq 0 ~~~~~~\text{(Car exp est strictement croissante)}\\
     &\ssi x\geq 1
   \end{align*}

   On peut alors dresser le tableau de signes :

   \begin{tikzpicture}
\tikzset{h style/.style =
{pattern=north west lines}}
\tkzTabInit[color,espcl=2.5]%
{$x$ / 1,
$e^{x-1}-1$ / 1,
$2x-1$ /1,
$g(x)$ /1}%
{$\mI$,$\dfrac{1}{2}$,$1$,$\pI$}%
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}


\item

      On a pour tout $x\in\R$ :
      \begin{align*}
       f'(x)&=2\e^{x-1}+(2x-3)\e^{x-1} -2x+1 \\
       &=\e^{x-1}(2x-1)-(2x-1) \\
       &=(2x-1)(\e^{x-1}-1) \\
       &=g(x)
      \end{align*}
Et ainsi l'égalité est démontrée.

On déduit alors le tableau de variations de $f$ :

On a $f(1)=0$ et

\begin{align*}
f(\dfrac{1}{2})&=-2\e^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1 \\
                &=-2\e^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{5}{4} \\
                &\simeq 0,04
\end{align*}

     \begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,espcl=3]{ $x$ / 1,
$f'(x)$ / 1,
Variations de \\$f$ / 2}
{ $\mI$ , $\dfrac{1}{2}$ ,$1$, $\pI$}
{ ,+,z,-,z,+,}
{ -/ ,+/ $f(\dfrac{1}{2})$ , -/$0$ , +/ }%
\end{tikzpicture}

La fonction $f$ n'est pas strictement croissante.

\item La tangente en $0$ est donnée par $\calt : y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

avec $f(0)=-3\e^{-1}+1$ et $f'(0)=1-\e^{-1}$.

Alors on a : \[\calt : y=(1-\e^{-1})x-3\e^{-1}+1.\]
\end{enumerate}


\end{corrige}
 \end{exercice}



\begin{exercice}[(6 points)]
La population d'une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.

Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 10\,\% chaque année.

Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve $100$ individus à la fin de chaque année.

On souhaite étudier l'évolution de l'effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l'effectif de la population de l'espèce par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente l'effectif de la population au début de l'année $2020 + n$.

On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \geqslant 0$.

Au début de l'année 2020, la population étudiée compte \np{2000} individus, ainsi $u_0 = \np{2000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ vérifie la relation de récurrence:
\[u_{n+1} = 0,9u_n + 100.\]

\begin{corrige}
Chaque année, la population diminue de 10\%, donc elle est multipliée par $1 - 0,1 = 0,9$.
À cette diminution s'ajoutent 100 individus réintroduits en fin d'année.
Ainsi, au début de l'année suivante ($u_{n+1}$), on a :
\[u_{n+1} = 0,9 \times u_n + 100\]
\end{corrige}

\item Calculer $u_1$ puis $u_2$.

\begin{corrige}
\[u_1 = 0,9 \times 2000 + 100 = 1800 + 100 = 1900\]
\[u_2 = 0,9 \times 1900 + 100 = 1710 + 100 = 1810\]
\end{corrige}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{1000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

\begin{corrige}
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
\begin{align*}
v_{n+1} &= u_{n+1} - 1000 \\
&= (0,9u_n + 100) - 1000 \\
&= 0,9u_n - 900 \\
&= 0,9(u_n - 1000) \\
&= 0,9v_n
\end{align*}
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0,9$ avec

$v_0 = u_0 - 1000 = 2000 - 1000 = 1000$.
\end{corrige}

		\item En déduire que, l'expression de $(v_n)$ et $(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. %,\: $u_n = \np{1000} \left(1 + 0,9^n\right)$.

\begin{corrige}
Par propriété des suites géométriques, $\forall n\in\N$ : $v_n = v_0 \times q^n = 1000 \times 0,9^n$.
Ainsi :
\begin{align*}
u_n &= v_n + 1000 \\
&= 1000 \times 0,9^n + 1000 \\
&= 1000(0,9^n + 1) \\
&= 1000(1 + 0,9^n)
\end{align*}
\end{corrige}

		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.

\begin{corrige}
On a $-1 < 0,9 < 1$, donc $\limite{n}{\pI} 0,9^n = 0$.
Alors par somme et produit :
\[\limite{n}{\pI} u_n = 1000(1 + 0) = 1000\]
Interprétation : À long terme, la population se stabilisera autour de 1000 individus.
\end{corrige}
\end{enumerate}


\item

On souhaite déterminer le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous d'un certain seuil $S$ (avec $S > \np{1000}$).

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
 Dans le programme Python ci-contre, la variable $n$ désigne le nombre d'années écoulées depuis 2020, la variable $u$ désigne l'effectif de la population.

Recopier et compléter ce programme afin qu'il retourne le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous du seuil $S$.

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{tabular}{|c l|}\hline
1&\texttt{def population(S) :}\\
2&\quad \texttt{n=0}\\
3&\quad \texttt{u=2000}\\
4& \\
5&\quad \texttt{while \ldots\ldots} :\\
6&\quad \quad \texttt{u= \ldots}\\
7&\quad \quad \texttt{n = \ldots}\\
8&\quad \texttt{return \ldots}\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\end{enumerate}
\end{exercice}



 \begin{exercice}[(3 points)]
  On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :

\[
 u_{n+1}=3u_n- 2n+1
\]


Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N$  : $u_n=3^n+n$.

\begin{corrige}
 Montrons par récurrence que pour tout $n \in \N$  : $u_n=3^n+n$.

{\bf Initialisation : } Pour $n=0$, $u_0=1$ et $3^n+n=1$. La propriété est initialisée.

{\bf Hérédité :} Soit $k\in\N$, on suppose que $u_k=3^k+k$, et montrons que $u_{k+1}=3^{k+1}+k+1$

On a :

\begin{align*}
 u_{k+1}&=3u_k- 2k+1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{Par définition de $(u_n)$}\\
 &= 3\times(3^{k}+k)-2k+1~~~~~~~~~~\text{Par hypothèse de récurrence}\\
 &= 3^{k+1}+k+1
\end{align*}

L'hérédité est donc démontrée.

{\bf Conclusion : } Pour tout $n\in\N$, on a $u_n=3^n+n$.
\end{corrige}


\end{exercice}



\end{document}