\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{calligra}
% \usepackage{libertinus}  %% Bien, pour la police texte
%  % \usepackage{stix2}  %  pour la police texte mais j'ai des erreurs
%  \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}.
\usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm}

\geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1.5cm}

\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 1}  : Récurrence, révisions suites et fonctions (1h)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 21 septembre 2026.}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 

\begin{exercice}[(1 point)]
Le graphique suivant représente une fonction $f$. % ainsi que la première bissectrice d'équation $y=x$.
Il est également donné un réel $u_0$ sur l'axe des abscisses.
On définit $(u_n)$ par récurrence en posant $u_{n+1}=f(u_n)$, $n\in \N$.

\begin{minipage}{10cm}
 \begin{enumerate}
 \item Représentez les 3 premiers termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ sur l'axe des abscisses.
 \item Conjecturez les variations de $(u_n)$.

 \dotfill
 \item Conjecturez la limite éventuelle de $(u_n)$.

  \dotfill
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{mplibcode}
  repere(-2,4.5,1cm,-1,4,1cm);
vardef f(expr x)=(x+1)**1.5 -1.5 enddef;
path C_f;
C_f= courbefonc(f)(-1,4);
draw Suiterec(f,0,2,1) withcolor red;
draw axes(1,1);
drawoptions(withpen pencircle scaled 1);
draw C_f withcolor bleu;
draw droite(1,0);
fin;
 \end{mplibcode}
\end{minipage}
\end{exercice}



 \begin{exercice}[(4 points)]$\ $\\


\begin{minipage}{13cm}
Soit $f$ définie sur $\R$ par  $f(x)=(2x+1)\e^{x+1}-x^2-3x-1$. On a tracé sur le graphe ci-contre la courbe $\calc_f$ représentative de $f$. Le but de l'exercice est de vérifier si $f$ est strictement croissante.
 \begin{enumerate}
  \item On introduit la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
  \[
   g(x)=(\e^{x+1}-1)(2x+3)
  \]

  Dresser le tableau de signe de $g$.


  \item   Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'=g$, et en déduire le tableau de variations de $f$. $f$ est-elle croissante ?

\item On note $\calt$ la tangente à $\calc_f$ en $0$. Déterminer l'équation réduite de $\calt$.
 \end{enumerate}
\end{minipage}\hspace{1cm}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{mplibcode}
   u:=0.8cm;
repere(-4,1 ,1u,-4,3,1u);
 draw quadrillage(1,1) withpen pencircle scaled 0.5 withcolor 0.7white;
draw axes(1,1)  withpen pencircle scaled 1.2;   % ne met pas le 0 à l'origine
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
 vardef f(expr x)= (2x+1)*exp(x+1)-x**2-3x-1 enddef;
%   vardef g(expr x)= -f(x-1) enddef;
 path Cf;
 Cf=courbefonc(f,-4,3,60);
 draw Cf withpen pencircle scaled 1.2 withcolor rouge;

fin;
\end{mplibcode}
\end{minipage}



\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item
   On va faire un tableau de signe mais il nous faut le signe de $\e^{x+1}-1$.

   \begin{align*}
    \e^{x+1}-1\geq 0 &\ssi \e^{x+1} \geq \e^0\\
     &\ssi x+1\geq 0 ~~~~~~\text{(Car exp est strictement croissante)}\\
     &\ssi x\geq -1
   \end{align*}

   On peut alors dresser le tableau de signes :

   \begin{tikzpicture}
\tikzset{h style/.style =
{pattern=north west lines}}
\tkzTabInit[color,espcl=2.5]%
{$x$ / 1,
$e^{x+1}-1$ / 1,
$2x+3$ /1,
$g(x)$ /1}%
{$\mI$,$-\dfrac{3}{2}$,$-1$,$\pI$}%
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}


\item

      On a pour tout $x\in\R$ :
      \begin{align*}
       f'(x)&=2\e^{x+1}+(2x+1)\e^{x+1} -2x-3 \\
       &=\e^{x+1}(2x+3)-(2x+3) \\
       &=(2x+3)(\e^{x+1}-1) \\
       &=g(x)
      \end{align*}
Et ainsi l'égalité est démontrée.

On déduit alors le tableau de variations de $f$ :

On a $f(-1)=0$ et

\begin{align*}
f(-\dfrac{3}{2})&=-2\e^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{2}-1 \\
                &=-2\e^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{5}{4} \\
                &\simeq 0,04
\end{align*}

     \begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,espcl=3]{ $x$ / 1,
$f'(x)$ / 1,
Variations de \\$f$ / 2}
{ $\mI$ , $-\dfrac{3}{2}$ ,$-1$, $\pI$}
{ ,+,z,-,z,+,}
{ -/ ,+/ $f(-\dfrac{3}{2})$ , -/$0$ , +/ }%
\end{tikzpicture}

La fonction $f$ n'est pas strictement croissante.


\item La tangente en $0$ est donnée par $\calt : y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

avec $f(0)=\e-1$ et $f'(0)=3(\e-1)$.

Alors on a : \[\calt : y=3(\e-1)x+\e-1.\]
\end{enumerate}


\end{corrige}
 \end{exercice}



\begin{exercice}[(6 points)]
La population d'une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.

Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 20\,\% chaque année.

Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve $100$ individus à la fin de chaque année.

On souhaite étudier l'évolution de l'effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l'effectif de la population de l'espèce par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente l'effectif de la population au début de l'année $2020 + n$.

On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \geqslant 0$.

Au début de l'année 2020, la population étudiée compte \np{2000} individus, ainsi $u_0 = \np{2000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ vérifie la relation de récurrence:
\[u_{n+1} = 0,8u_n + 100.\]

\begin{corrige}
Chaque année, la population diminue de 20\%, donc elle est multipliée par $1 - 0,2 = 0,8$.
À cette diminution s'ajoutent 100 individus réintroduits en fin d'année.
Ainsi, au début de l'année suivante ($u_{n+1}$), on a :
\[u_{n+1} = 0,8 \times u_n + 100\]
\end{corrige}

\item Calculer $u_1$ puis $u_2$.

\begin{corrige}
\[u_1 = 0,8 \times 2000 + 100 = 1600 + 100 = 1700\]
\[u_2 = 0,8 \times 1700 + 100 = 1360 + 100 = 1460\]
\end{corrige}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{500}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

\begin{corrige}
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
\begin{align*}
v_{n+1} &= u_{n+1} - 500 \\
&= (0,8u_n + 100) - 500 \\
&= 0,8u_n - 400 \\
&= 0,8(u_n - 500) \\
&= 0,8v_n
\end{align*}
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0,8$ avec

$v_0 = u_0 - 500 = 2000 - 500 = 1500$.
\end{corrige}

		\item  En déduire que, l'expression de $(v_n)$ et $(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. %\: $u_n = \np{500} \left(1 + 3\times0,8^n\right)$.

\begin{corrige}

 $(v_n)$ est géométrique donc par propriété pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
\[v_n = v_0 \times q^n = 1500 \times 0,8^n\]
Ainsi :
\begin{align*}
u_n &= v_n + 500 \\
&= 1500 \times 0,8^n + 500 \\
&= 500 \times (3 \times 0,8^n + 1) \\
&= 500(1 + 3 \times 0,8^n)
\end{align*}
\end{corrige}

		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.

\begin{corrige}
On a  $-1 < 0,8 < 1$, donc par théorème $\limite{n}{\pI} 0,8^n = 0$.

Alors par produit et somme on obtient :

\[\limite{n}{\pI} u_n = 500(1 + 3 \times 0) = 500\]
Interprétation : À long terme, la population se stabilisera autour de 500 individus malgré les réintroductions annuelles de 100 individus.
\end{corrige}
	\end{enumerate}


\item

On souhaite déterminer le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous d'un certain seuil $S$ (avec $S > \np{500}$).
% 	\begin{enumerate}
% 		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leqslant \np{1020}$.
%
% Justifier la réponse à l'aide de la calculatrices.


\begin{minipage}{0.58\linewidth}

Dans le programme Python ci-contre, la variable $n$ désigne le nombre d'années écoulées depuis 2020, la variable $u$ désigne l'effectif de la population.

Compléter ce programme afin qu'il retourne le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous du seuil $S$.


\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{tabular}{|c l|}\hline
1&\texttt{def population(S) :}\\
2&\quad \texttt{n=0}\\
3&\quad \texttt{u=2000}\\
4& \\
5&\quad \texttt{while \ldots\ldots} :\\
6&\quad \quad \texttt{u= \ldots}\\
7&\quad \quad \texttt{n = \ldots}\\
8&\quad \texttt{return \ldots}\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercice}



 \begin{exercice}[(3 points)]
  On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ :

\[
 u_{n+1}=2u_n- n+2
\]


Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N$  : $u_n=2^n+n-1$.

\begin{corrige}
 Montrons par récurrence que pour tout $n \in \N$  : $u_n=2^n+n-1$.

{\bf Initialisation : } Pour $n=0$, $u_0=1$ et $2^n+n-1=0$. La propriété est initialisée.

{\bf Hérédité :} Soit $k\in\N$, on suppose que $u_k=2^k+k-1$, et montrons que $u_{k+1}=2^{k+1}+k$

On a :

\begin{align*}
 u_{k+1}&=2u_k- k+2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{Par définition de $(u_n)$}\\
 &= 2\times(2^{k}+k-1)-k+2~~~~~~~~~~\text{Par hypothèse de récurrence}\\
 &= 2^{k+1}+k
\end{align*}

L'hérédité est donc démontrée.

{\bf Conclusion : } Pour tout $n\in\N$, on a $u_n=2^n+n-1$.
\end{corrige}


\end{exercice}


\end{document}