\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{libertinus}  %% Bien, pour la police texte
 % \usepackage{stix2}  %  pour la police texte mais j'ai des erreurs
 \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}.
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\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}
\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 11}  : Intégrales, trigonométrie et dénombrement (1h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 25 mars 2026}}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}

 \begin{exercice}[(4 points)]
 % bac 2025
  Les trois questions suivantes sont indépendantes.
  \begin{enumerate}
   \item Deux équipes de footballeurs de 22 et 25 joueurs échangent une poignée de main à la fin d'un match. Chaque joueur d'une équipe serre une seule fois la main de chaque joueur de l'autre équipe.

   Combien de  poignées de mains ont été échangées ?
   \item  Une course oppose 18 concurrents. On récompense indistinctement les trois premiers en offrant le même prix à chacun.

Combien y a-t-il de possibilités de distribuer ces prix ?

\item Une association organise une compétition de course de haies qui permettra d'établir un podium (le podium est constitué des trois meilleurs sportifs classés dans leur ordre d'arrivée). Sept sportifs participent au tournoi. Jacques est l'un d'entre eux.
\begin{enumerate}
\item  Combien de podiums différents y a-t-il ?
\item  Combien de podiums différents y a-t-il dont Jacques fait partie ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item Chaque joueur de la première équipe (22 joueurs) serre la main de chaque joueur de la seconde (25 joueurs). Le nombre de poignées de mains est donc :
 \[
 22 \times 25 = 550.
 \]

 \item Les trois premiers reçoivent le même prix, donc l'ordre n'a pas d'importance et il n'y a pas répétition. Le nombre de possibilités correspond au nombre de combinaisons de 3 concurrents parmi 18 :
 \[
 \binom{18}{3} = \dfrac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816.
 \]

 \item
 \begin{enumerate}
  \item Un podium est un classement ordonné des trois premiers. Nous avons donc à faire à des 3-listes sans répétition. Le nombre de podiums est donc :
  \[
  7 \times 6 \times 5 = 210.
  \]

  \item Si Jacques fait partie du podium, on a 3 possibilités :

  \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
  \item S'il est premier, il y a $6 \times 5 = 30$ possibilités de placer les deux autres.
  \item S'il est deuxième, de la mème manière $30$ possibilités.
  \item Pareil pour troisième.
\end{enumerate}
 En tout cela fait donc 90 podiums avec Jacques.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{corrige}
 \end{exercice}


 \begin{exercice}[(2 points)] On donne $f$  définie sur $\R$ par :
 \[
  f(x)=\dfrac{1}{\cos 2x+\sin^2 x }
 \]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est de période $\pi$.
\item Etudier la parité de $f$.
 \end{enumerate}
\begin{corrige}

En utilisant le fait que $\cos$ est $2\pi$-périodique et paire et que $\sin$ est $2\pi$-périodique et impaire on a :
\begin{enumerate}
 \item Pour tout $x \in \R$, on a :
 \begin{align*}
  f(x+\pi) &= \dfrac{1}{\cos(2(x+\pi)) + \sin^2(x+\pi)} \\
           &= \dfrac{1}{\cos(2x+2\pi) + \sin^2(x+\pi)} \\
           &= \dfrac{1}{\cos(2x) + (-\sin x)^2} \\
           &= \dfrac{1}{\cos 2x + \sin^2 x} = f(x).
 \end{align*}
 Ainsi $f$ est $\pi$-périodique.

 \item Pour tout $x \in \R$ :
 \begin{align*}
  f(-x) &= \dfrac{1}{\cos(-2x) + \sin^2(-x)} \\
        &= \dfrac{1}{\cos(2x) + (-\sin x)^2} \\
        &= \dfrac{1}{\cos 2x + \sin^2 x} = f(x).
 \end{align*}
 Donc $f$ est paire.
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(1 points)]

Résoudre :
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect (E_{\arabic*}) : \ $}]
%  \item $\cos x =-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans $[0;2\pi]$
%  \item $\sin x =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dans $[-2\pi;2\pi]$
% \item $3\cos x  =3$ dans $[0;2\pi]$.
 \item $\cos x < \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ dans $[-\pi;\pi]$.
%  \item $\cos x >0 $ dans $[0;3\pi]$.
%   \item $2\sin^2 x-1 =0$ dans $[0;2\pi]$.
\end{enumerate}
% \end{multicols}
\begin{corrige}
% DEssin ...
On résout dans $[-\pi;\pi]$ avec le cercle trigonométrique :

\includegraphics[scale=0.3]{FigTrigo.png}

$\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ a pour solutions $x = \dfrac{\pi}{4}$ et $x = -\dfrac{\pi}{4}$.

% Sur $[0;\pi]$, $\cos x < \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ssi x \in \left]\dfrac{\pi}{4}; \pi\right]$.
% Sur $[-\pi;0]$, par parité, $\cos x < \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ssi x \in \left[-\pi; -\dfrac{\pi}{4}\right[$.

L'ensemble solution est donc :
\[
\cals=\left[-\pi; -\dfrac{\pi}{4}\right[ \cup \left]\dfrac{\pi}{4}; \pi\right].
\]
\end{corrige}
\end{exercice}

 \begin{exercice}[(13 points)]


On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ par

\[f(x) = \e^x \sin (x).\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~\pi]$,\:

\[f'(x) = \e^x[\sin(x) + \cos(x)].\]

\begin{corrige}
Pour $x \in [0;\pi]$, on a :
\begin{align*}
f'(x) &= \e^x \sin x + \e^x \cos x \\
      &= \e^x (\sin x + \cos x).
\end{align*}
\end{corrige}

		\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle
$\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$
\begin{corrige}
Pour $x \in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on a $\e^x > 0$ et $\sin x + \cos x > 0$ (car $\sin x$ et $\cos x$ sont positifs et non nuls simultanément). Ainsi $f'(x) > 0$ sur cet intervalle, donc $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\end{corrige}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse~$0$.
\begin{corrige}
On a $f(0) = \e^0 \sin 0 = 0$ et $f'(0) = \e^0 (\sin 0 + \cos 0) = 1 \times (0+1) = 1$.

Une équation de la tangente $T$ est :
\[
y = f'(0)(x-0) + f(0)
\]

et donc

\[
T : y = x
\]
\end{corrige}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\begin{corrige}
On calcule $f''(x)$ pour $x \in [0;\pi]$ :
\begin{align*}
f''(x) &= \e^x (\sin x + \cos x) + \e^x (\cos x - \sin x) \\
       &= \e^x (2\cos x).
\end{align*}
Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\cos x \geq 0$ et $\e^x > 0$, donc $f''(x) \geq 0$. Ainsi $f$ est convexe sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
\end{corrige}
		\item En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,\: $\e^x \sin (x) \geqslant x$.
\begin{corrige}
La fonction $f$ est convexe sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, donc sa courbe est au-dessus de ses tangentes. La tangente $T$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = x$. Ainsi, pour tout $x \in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on a $f(x) \geq x$, c'est-à-dire $\e^x \sin x \geq x$.
\end{corrige}
	\end{enumerate}
\item Justifier que le point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.
\begin{corrige}
On a $f''(x) = 2\e^x \cos x$.

Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $f''(x) \geq 0$, donc $f$ est convexe.

Sur $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$, $\cos x \leq 0$, donc $f''(x) \leq 0$, donc $f$ est concave.

  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2.5]
{ $x$ / 1, $f''(x)$ / 1, $f$/ 1}
{ $0$  ,$\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$}%
\tkzTabLine{ ,+,z,-, }%
\tkzTabLine{ ,convexe ,  , concave, }%
\end{tikzpicture}
\end{center}

La dérivée seconde s'annule et change de signe en $x = \dfrac{\pi}{2}$, donc le point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ est un point d'inflexion.
\end{corrige}
\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{PARTIE B}

\medskip


On note

\[I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x \sin (x)\, \text{d}x\quad  \text{et}\quad J = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x \cos (x)\, \text{d}x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item En intégrant par parties l'intégrale $I$ de deux manières différentes, établir les deux
 relations suivantes :

\[I= 1+J \qquad \text{et}\qquad I= \e^{\frac{\pi}{2}} - J.\]

\begin{corrige}
\textbf{Première façon :}

On pose $u(x) = \e^x$, $v'(x) = \sin x$.

Alors $u'(x) = \e^x$, $v(x) = -\cos x$.

\begin{align*}
I &= \left[-\e^x \cos x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x \cos x \dx \\
  &= \left(-\e^{\frac{\pi}{2}} \cos\frac{\pi}{2} + \e^0 \cos 0\right) + J \\
  &= (0 + 1) + J \\
  &= 1 + J.
\end{align*}

\textbf{Deuxième façon :}

On pose $u(x) = \sin x$, $v'(x) = \e^x$.

Alors $u'(x) = \cos x$, $v(x) =  \e^x$.
\begin{align*}
I &= \left[\e^x \sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x \cos x \dx \\
  &= \left(\e^{\frac{\pi}{2}} \sin\frac{\pi}{2} - \e^0 \sin 0\right) - J \\
  &= \e^{\frac{\pi}{2}} - J.
\end{align*}

\end{corrige}

\item En déduire que $I = \dfrac{1 + \e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$.
\begin{corrige}
On a le système :
\[
\begin{cases}
I = 1 + J \\
I = \e^{\frac{\pi}{2}} - J
\end{cases}
\]
En additionnant les deux équations, on obtient $2I = 1 + \e^{\frac{\pi}{2}}$, donc $I = \dfrac{1 + \e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$.
\end{corrige}
\item On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x$.

Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $[0~;~\pi]$.

Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(4,9)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](1.5708,0)(1.5708,1.5708)
\psline[linewidth=1.25pt](1.5708,1.5708)(1.5708,4.81)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.14159}{2.71828 x exp x 180 mul 3.14159 div sin mul}
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{0}{3.14159}{x}
\uput[ur](2.7,6.6){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[dr](2.54,2.6){$\mathcal{C}_g$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.5708}{2.71828 x exp x 180 mul 3.14159 div sin mul}\psline[linewidth=1.25pt](1.5708,4.81)(1.5708,1.5708)(0,0)}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{corrige}
Sur l'intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, d'après la question A.2.c, on a $f(x) \geq g(x)$. Par propriété, l'aire hachurée est donc :
\begin{align*}
\mathcal{A} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( f(x) - g(x) \right) \dx \\
            &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \e^x \sin x - x \right) \dx \\
            &= I - \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \dx \\
            &= I - \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
            &= \dfrac{1 + \e^{\frac{\pi}{2}}}{2} - \dfrac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}{2} \\
            &= \dfrac{1 + \e^{\frac{\pi}{2}}}{2} - \dfrac{\pi^2}{8} \\
            &= \dfrac{4 + 4\e^{\frac{\pi}{2}} - \pi^2}{8}~~~\text{u.a.}
\end{align*}
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}
