\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule-lua.tex}
\usepackage{calligra}
\usepackage{libertinus}  %% Bien, pour la police texte
 % \usepackage{stix2}  %  pour la police texte mais j'ai des erreurs
 \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}.
\geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1.5cm}

\setboolean{solution}{true}
%\setboolean{solution}{false}
\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 10}  : Intégrales (1h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 26 janvier 2026}}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}

 \begin{exercice}
%bac 2025


On considère $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par :

\[f_n(x) = x^n \e^{1 - x}.\]\index{fonction exponentielle}

On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0~;~1]$ et on note $f'_n$ sa fonction dérivée.


On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par

\begin{center}$u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x) \:\text{d}x$ \quad c'est-à-dire \quad $u_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \e^{1-x} \: \text{d}x$.\end{center}

On admet que $u_1 = \e - 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_3, \mathcal{C}_{4}$\: et \: $\mathcal{C}_{20}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une interprétation graphique de $u_n$.
		
\begin{corrige}
$f_n$ est une fonction positive sur $[0;1]$ (car $x^n \geq 0$ et $\e^{1-x}>0$). Donc par propriété, $u_n$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
\end{corrige}

		\item Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(u_n)$ ?
		
\begin{corrige}
Sur le graphique, on observe que lorsque $n$ augmente, la courbe $\mathcal{C}_n$ se rapproche de l'axe des abscisses. On peut donc conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $0$.
\end{corrige}
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout $x \in [0~;~1]$ et pour tout entier naturel $n$ non nul,
		\[0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n\].
		
\begin{corrige}
Pour $x\in[0;1]$, on a $0\leq x \leq 1$. En multipliant par $x^n \geq 0$, on obtient :
\[0 \leq x^{n+1} \leq x^n\]
\end{corrige}

		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul,
		\[0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.\]
		
\begin{corrige}
De l'inégalité précédente, on obtient en multipliant par $\e^{1-x}>0$ :
\[0 \leq x^{n+1}\e^{1-x} \leq x^n\e^{1-x}\]

Par intégration sur $[0;1]$ avec les bornes dans l'ordre, on a :
\[\int_0^1 0 \dx \leq \int_0^1 x^{n+1}\e^{1-x}\dx \leq \int_0^1 x^n\e^{1-x}\dx\]
soit $0 \leq u_{n+1} \leq u_n$.
\end{corrige}

		\item Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell\geq 0$.
		
\begin{corrige}
La suite $(u_n)$ est décroissante d'après la question précédente et minorée par $0$. Par théorème, une suite décroissante et minorée converge vers une limite $\ell \geq 0$.
\end{corrige}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
\[u_{n+1} = (n + 1)u_n - 1.\]

\begin{corrige}
On a pour tout $n\in\N$ : $u_{n+1} = \displaystyle\int_0^1 x^{n+1}\e^{1-x}\dx$.

Par intégration par parties en posant :

On pose  $v(x)=x^{n+1}$ et $u'(x)=\e^{1-x}$.

Alors $v'(x)=(n+1)x^{n}$ et $u(x)=-\e^{1-x}$.

On a alors :

\begin{align*}
u_{n+1} &= \big[-\e^{1-x}x^{n+1}\big]_0^1 - \int_0^1 -\e^{1-x}(n+1)x^n\dx \\
&= \big[\e^{1-x}x^{n+1}\big]_1^0 + (n+1)\int_0^1 x^n\e^{1-x}\dx \\
&= -1 + (n+1)u_n
\end{align*}


Ainsi $u_{n+1} = (n+1)u_n - 1$.
\end{corrige}

\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.\index{limite de suite}

\begin{corrige}
Soit $\ell = \limite{n}{\pI} u_n$. On a $\ell \geq 0$.

De la relation $u_{n+1} = (n+1)u_n - 1$, on peut écrire pour $n \geq 1$ :
\[u_n = \frac{u_{n+1} + 1}{n+1}\]

On a $\limite{n}{\pI} u_{n+1}+1 = \ell +1$ et   $\limite{n}{\pI} n+1 = \pI$.

Alors par quotient : $\limite{n}{\pI} \frac{u_{n+1} + 1}{n+1}=0$.

\medskip

Et donc  $\limite{n}{\pI} u_{n} = 0$

\medskip

Donc $\ell = 0$.
\end{corrige}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}

\begin{mplibcode}
 u:=5cm;
repere(-0.2,1.2 ,1u,-0.2,1.2,1u);
path C[];
vardef fa(expr x)=x**1*exp(1-x) enddef;
vardef fb(expr x)=x**2*exp(1-x) enddef;
vardef fc(expr x)=x**3*exp(1-x) enddef;
vardef fd(expr x)=x**4*exp(1-x) enddef;
vardef fe(expr x)=x**10*exp(1-x) enddef;
vardef ff(expr x)=x**20*exp(1-x) enddef;

C[1]=courbefonc(fa,0,1,100);
C[2]=courbefonc(fb,0,1,100);
C[3]=courbefonc(fc,0,1,100);
C[4]=courbefonc(fd,0,1,100);
C[10]=courbefonc(fe,0,1,100);
C[20]=courbefonc(ff,0,1,100);
draw quadrillage(1,1) withcolor 0.2white dashed evenly;
draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 0.8;
% draw base(O,i,j);
draw axex(1,1);
draw axey(1,1);
% for i=1 upto 3 :
%  draw C[i] withpen pencircle scaled 1;
%  nomme.ulft(C[i],0.5);
% endfor

draw C[1] withpen pencircle scaled 1  withcolor (1,.5,0);
 nomme.ulft(C[1],0.5) withcolor (1,.5,0);

 draw C[2] withpen pencircle scaled 1  withcolor (.8,.5,.5);
 nomme.ulft(C[2],0.5) withcolor (.8,.5,.5);

 draw C[3] withpen pencircle scaled 1  withcolor (.25,.5,.5);
 nomme.ulft(C[3],0.5) withcolor  (.25,.5,.5);

draw C[4] withpen pencircle scaled 1  withcolor red;
nomme.lft(C[4],0.7)  withcolor red;
draw C[20] withpen pencircle scaled 1  withcolor blue;
 nomme.ulft(C[20],0.9)  withcolor blue;

% draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{mplibcode}

\end{center}

\end{exercice}


\begin{exercice}
 %Bac 2017


On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:
\[f(x) = x\mathrm{e}^{-x} + \ln(x + 1)\qquad\text{ et }\qquad g(x) =\ln(x + 1).\]

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Pour un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on appelle $M$ le point de coordonnées $(x~;~f(x))$ et $N$ le point de coordonnées $(x~;~g(x))$ : $M$ et $N$ sont donc les points d'abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance $MN$ est maximale et donner cette distance maximale.
		
\begin{corrige}
Sur  $[0;+\infty[$, $x\e^{-x}\geq 0$, donc $f(x)\geq g(x)$.


Alors on a On a $MN = f(x) - g(x) = x\e^{-x}$.

On pose $h(x) = x\e^{-x}$ sur $[0;+\infty[$. Etudions cette fonction.

Pour $x\geq 0$ :

$h'(x) = \e^{-x} - x\e^{-x} = (1-x)\e^{-x}$.

Le signe de $h'(x)$ est celui de $(1-x)$ car $\e^{-x}>0$. On déduit donc le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{ $x$ / 1, $h'(x)$ / 1, $h$ / 2}
{ $0$ , $1$ , $\pI$}
\tkzTabLine{ ,+,z,-, }
\tkzTabVar{ -/$0$ , +/$\e^{-1}$ , -/$0$ }%
\end{tikzpicture}
\end{center}

La distance $MN$ est donc maximale pour $x=1$ et vaut $h(1) = \e^{-1} \text{u.l.}$.
\end{corrige}

		\item Placer sur le graphique les points $M$ et $N$ correspondant à la valeur maximale de $MN$.
		
\begin{corrige}
Pour $x=1$, on a $f(1) = 1\times\e^{-1} + \ln(2) = \e^{-1} + \ln 2$ et $g(1) = \ln 2$.
Les points $M(1; \e^{-1} + \ln 2)$ et $N(1; \ln 2)$ sont placés sur le graphique (à main levée ou par lecture).
\end{corrige}
	\end{enumerate}
\item Soit $\lambda$ un réel appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d'équations $x = 0$ et $x = \lambda$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer le domaine $D_{\lambda}$ correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique.
		
\begin{corrige}
Le domaine $D_{\lambda}$ est hachuré sur le graphique fourni. (Question graphique)
\end{corrige}

		\item On note $A_{\lambda}$ l'aire du domaine $D_{\lambda}$, exprimée en unités d'aire. Démontrer que :
		\[A_{\lambda} = 1 - \dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}.\]

\begin{corrige}
Pour tout $x\geq 0$, on a $f(x) \geq g(x)$ (car $x\e^{-x} \geq 0$). Donc par propriété, l'aire du domaine  $D_{\lambda}$  délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d'équations $x = 0$ et $x = \lambda$ est :

\begin{align*}
A_{\lambda} &= \int_0^{\lambda} [f(x) - g(x)] \dx \\
&= \int_0^{\lambda} x\e^{-x} \dx
\end{align*}

Par intégration par parties :

On pose $u'(x)=\e^{-x}$ et $v(x)=x$,
  alors $u(x)=-\e^{-x}$ et $v'(x)=1$.


\begin{align*}
A_{\lambda} &=\int_0^{\lambda} x\e^{-x} \dx \\
&= \big[-x\e^{-x}\big]_0^{\lambda} + \int_0^{\lambda} \e^{-x}\dx \\
&= -\lambda\e^{-\lambda}  + \big[-\e^{-x}\big]_0^{\lambda} \\
&= -\lambda\e^{-\lambda} - \e^{-\lambda} + 1 \\
&= 1 - (\lambda+1)\e^{-\lambda}
\end{align*}

Ainsi $A_{\lambda} = 1 - \dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}$.
\end{corrige}

		\item Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat.
		
\begin{corrige}
On a : $ \dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}} =  \dfrac{\lambda}{\e^{\lambda}} +  \dfrac{1}{\e^{\lambda}}$.


On a $\limite{\lambda}{\pI} \dfrac{\lambda}{\e^{\lambda}} = 0$ par croissance comparée, et par quotient $\limite{\lambda}{\pI} \dfrac{1}{\e^{\lambda}} = 0$

\medskip

Donc par somme $\limite{\lambda}{\pI} A_{\lambda} = 1$.

\medskip


L'aire du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $[0;+\infty[$ est égale à 1 unité d'aire.
\end{corrige}
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

%
% \begin{lstlisting}[language=python]
% def mystere(S):
% 	t=0
% 	while 1-(t+1)/exp(t) < S:
% 		t=t+1
% 	return(t)
% \end{lstlisting}

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur $S=0,8$ ?
		
\begin{corrige}

On cherche le plus petit entier $t$ tel que $1 - \dfrac{t+1}{\e^t} \geq 0,8$, soit $\dfrac{t+1}{\e^t} \leq 0,2$.

Par tests successifs :
 \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $t=0$ : $\dfrac{1}{1}=1 > 0,2$
\item $t=1$ : $\dfrac{2}{\e} \approx 0,736 > 0,2$
\item $t=2$ : $\dfrac{3}{\e^2} \approx 0,406 > 0,2$
\item $t=3$ : $\dfrac{4}{\e^3} \approx 0,199 < 0,2$
\end{enumerate}

L'algorithme s'arrête donc pour $t=3$.

En fait cet alogorithme augmente $t$ de 1 en 1 tant que $A(t)<S$.

\end{corrige}

		\item Quel est le rôle de cet algorithme ?
		
\begin{corrige}
Cet algorithme retourne le plus petit entier $\lambda$ (noté $t$ dans l'algorithme) tel que $A_{\lambda} \geq S$, c'est-à-dire l'entier à partir duquel l'aire entre les deux courbes entre $0$ et $\lambda$ dépasse le seuil $S$ donné.
\end{corrige}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}




\begin{center}
\psset{unit=2cm,arrowscale=1.2}
\def\xmin{-0.5}  \def\xmax{5.1}
\def\ymin{-0.5} \def\ymax{2.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[d](0.5,0){$\v{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\v{\jmath}$}
\def\f{x  2.7183 -1 x mul exp mul x 1 add ln add}
\def\g{x 1 add ln}

%%% retirer les % devant les lignes qui suivent pour avoir le domaine hachuré
%\def\inf{0} \def\sup{3.67}
%\pscustom[fillstyle=vlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=gray]
%{
%\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\psplot{\sup}{\inf}{\g}
%\closepath % indispensable !
%}

\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red]{0}{\xmax}{\f}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{\xmax}{\g}
\psline(3.67,0.05)(3.67,-0.05) \uput[d](3.67,0){$\lambda$}
\uput[u](4.1,1.7){\red $\mathcal{C}_f$}
\uput[d](4.1,1.63){\blue $\mathcal{C}_g$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{exercice}


\begin{exercice}
On considère la fonction $F$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par
\[ F(x) = \int_{1}^{x} (1 + \e^{-t}) \ln t \, dt \]

\begin{enumerate}
\item Quel est le signe de $F(x)$ suivant les valeurs de $x$ ?

\begin{corrige}
On note $h(t) = (1 + \e^{-t}) \ln t$ pour $t>0$.

\medskip

Pour tout $t>0$, on a $1 + \e^{-t} > 0$.

\medskip

Le signe de $h(t)$ est donc celui de $\ln t$ :
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item Si $t\in]0;1]$, alors $\ln t < 0$ donc $h(t) \leq 0$.
% \item Si $t = 1$, alors $\ln 1 = 0$ donc $h(1) = 0$.
\item Si $t \geq 1$, alors $\ln t > 0$ donc $h(t) \geq 0$.
\end{enumerate}

Par définition, $F(x) = \displaystyle\int_1^x h(t) \dt$.

\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
% \item Si $x = 1$, alors $F(1) = 0$.
\item Si $x \geq 1$, alors l'intégrale est prise sur $[1;x]$ avec $h(t) \geq 0$, donc $F(x) \geq 0$.
\item Si $0 < x < 1$, alors les bornes ne sont plus dans l'ordre ($x<1$) et on a donc (en inversant les bornes):

\begin{align*}
F(x) &= -\displaystyle\int_x^1 h(t) \dt \\
	&= \displaystyle\int_x^1 -h(t) \dt
\end{align*}
 avec $-h(t) \geq 0$ sur $[x;1]$, et donc par théorème de positivité $F(x) \geq 0$ également.
\end{enumerate}

Ainsi, $F(x) \geq 0$ pour tout $x > 0$, et $F(x) = 0$ seulement pour $x = 1$.
\end{corrige}

\item Définir $F$ comme la primitive d'une certaine fonction $f$ que vous définirez.

\begin{corrige}
Par propriété du cours, $F$ est la primitive de $f(t) = (1 + \e^{-t})\ln t$ qui s'annule en $1$.

\medskip

Ainsi, pour tout $x > 0$, $F'(x) = f(x) = (1 + \e^{-x})\ln x$.
\end{corrige}

\item Étudier le sens de variations de la fonction $F$.

\begin{corrige}
On a $F'(x) = (1 + \e^{-x})\ln x$.

Pour tout $x > 0$, on a  $1 + \e^{-x} > 0$, donc le signe de $F'(x)$ est celui de $\ln x$.

On déduit le tableau de variations de $F$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{ $x$ / 1, $\ln x$ / 1, $F'(x)$ / 1 , $F$ / 2}
{ $0$ , $1$ , $\pI$}
\tkzTabLine{ ,-,z,+, }
\tkzTabLine{ ,-,z,+, }
\tkzTabVar{ +/$ $ , -/$0$ , +/$ $ }%
\end{tikzpicture}
\end{center}

On en déduit :
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $F$ est décroissante sur $]0;1]$.
\item $F$ est croissante sur $[1;+\infty[$.
\item $F$ admet un minimum en $x=1$ et $F(1)=0$.
\end{enumerate}
\end{corrige}

\item \begin{enumerate}
    \item Démontrer que pour tout réel $x$ supérieur à $1$,
    \[ F(x) \geq \int_{1}^{x} \ln t \, dt \]

\begin{corrige}
Pour tout $t \geq 1$, on a $\e^{-t} \geq 0$, donc $1 + \e^{-t} \geq 1$.

De plus, $\ln t \geq 0$ sur $[1;x]$. En multipliant cette inégalité par $\ln t \geq 0$, on obtient :
\[(1 + \e^{-t})\ln t \geq \ln t\]

Par intégration de l'inégalité sur $[1;x]$ (avec $x \geq 1$), on conserve le sens de l'inégalité :

\[\int_1^x (1 + \e^{-t})\ln t \dt \geq \int_1^x \ln t \dt\]

soit $F(x) \geq \displaystyle\int_1^x \ln t \dt$.
\end{corrige}

    \item Déterminer par intégration par parties : $\ds\int_{1}^{x} \ln t \, dt$.

\begin{corrige}
Par intégration par parties :

On pose $u'(t) = 1$ et $v(t) = \ln t$.
Alors $u(t) = t$ et $v'(t) = \dfrac{1}{t}$.


\begin{align*}
\int_1^x \ln t \dt &= \big[t \ln t\big]_1^x - \int_1^x t \times \frac{1}{t} \dt \\
&= \big[t \ln t\big]_1^x - \int_1^x 1 \dt \\
&= x \ln x - (x - 1) \\
&= x \ln x - x + 1
\end{align*}
\end{corrige}

    \item En déduire la limite de $F$ en $+\infty$.

\begin{corrige}
Pour $x \geq 1$, on a d'après la question 4.a :
\[F(x) \geq x \ln x - x + 1\]

Et $x \ln x - x + 1=x(\lnx -1) +1$, alors par produit et somme :

\medskip

Or $\limite{x}{\pI} (x \ln x - x + 1) = +\infty$ .

\medskip


Par comparaison, on en déduit que $\limite{x}{\pI} F(x) = +\infty$.
\end{corrige}
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{document}
