\documentclass[12pt]{article}
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\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
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\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 3}  : Mini test sur les limites (15 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 20 octobre 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}[(6 points)]

Déterminer dans chaque cas la limite de $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}
                 ,itemsep=1cm
                 ]

\item $-3x^4+x-3$ ; \quad en $\mI$

\item $\dfrac{3x^4+4x}{x^3-x-3}$ ; \quad en $\mI$

\item $\dfrac{-2x-1}{x^2+6x+8}$ ; \quad en $-4^+$
\item $\dfrac{-2x-10}{x^2+3x-10}$ ; \quad en $-5$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item  On a pour $x\neq 0$ : $f_1(x)=x^4(-3+\dfrac{1}{x^3}-3\dfrac{1}{x^4})$.

 Et par somme $\limite{x}{\mI} (-3+\dfrac{1}{x^3}-3\dfrac{1}{x^4})=-3$ et $\limite{x}{\mI} x^4=\pI$.

 Donc par produit $\limite{x}{\mI}f_1(x)=\mI$.
 \item On a  pour $x\neq 0$ :
 \begin{align*}
f_2(x)&=\dfrac{x^4(3+\frac{4}{x^3})}{x^3(1-\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x^3})}\\
        &=\dfrac{x(3+\frac{4}{x^3})}{(1-\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x^3})}
 \end{align*}
Et $\limite{x}{\mI}(3+\frac{4}{x^3})=3$;  $\limite{x}{\mI}(1-\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x^3})=1$ ; $\limite{x}{\mI}x =\mI$,

donc par produit et quotient, $\limite{x}{\mI}f_2(x)=\mI$.

\item On a $x^2+6x+8=(x+4)(x+2)$ donc

 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $x^2+6x+8$ / 1}
{ $\mI$ , $-4$ ,$-2$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}

On a $\limite{x}{-4} -2x-1=7$, et d'après le tableau de signe : $\limite{x}{-4^+}x^2+6x+8=0^-$.

Alors par quotient,  $\limite{x}{-4^+}\ds \dfrac{-2x-1}{x^2+6x+8} = \mI$.

\item On a
\begin{align*}
f_4(x)&=\dfrac{-2x-10}{x^2+3x-10}\\
      &=\dfrac{-2(x+5)}{(x+5)(x-2)}\\
      &=\dfrac{-2}{x-2}
\end{align*}
Donc $\limite{x}{-5}f_4(x)=\dfrac{2}{7}$
 \end{enumerate}
\end{corrige}

\newpage

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 3}  : Mini test sur les limites (15 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 20 octobre 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}[(6 points)]

Déterminer dans chaque cas la limite de $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}
                 ,itemsep=1cm
                 ]

\item $-3x^5-x^2x-3$ ; \quad en $\mI$

\item $\dfrac{3x^4+4x}{x^5-x-3}$ ; \quad en $\mI$

\item $\dfrac{-2x-1}{x^2-3x-10}$ ; \quad en $-2^+$
\item $\dfrac{x^2+3x-10}{-3x-15}$ ; \quad en $-5$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item  On a pour $x\neq 0$ : $f_1(x)=x^5(-3-\dfrac{1}{x^2}-3\dfrac{1}{x^5})$.

 Et par somme $\limite{x}{\mI} (-3-\dfrac{1}{x^2}-3\dfrac{1}{x^5})=-3$ et $\limite{x}{\mI} x^5=\mI$.

 Donc par produit $\limite{x}{\mI}f_1(x)=\pI$.
 \item On a  pour $x\neq 0$ :
 \begin{align*}
f_2(x)&=\dfrac{x^4(3+\frac{4}{x^3})}{x^5(1-\frac{1}{x^4}-\frac{3}{x^5})}\\
        &=\dfrac{1}{x}\dfrac{(3+\frac{4}{x^3})}{(1-\frac{1}{x^4}-\frac{3}{x^5})}
 \end{align*}
Et $\limite{x}{\mI}(3+\frac{4}{x^3})=3$;  $\limite{x}{\mI}(1-\frac{1}{x^4}-\frac{3}{x^5})=1$ ; $\limite{x}{\mI}\dfrac{1}{x} =0$,

donc par produit et quotient, $\limite{x}{\mI}f_2(x)=0$.

\item On a $x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$ donc

 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $x^2-3x-10$ / 1}
{ $\mI$ , $-2$ ,$5$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}

On a $\limite{x}{-2} -2x-1=3$, et d'après le tableau de signe : $\limite{x}{-2^+}x^2-3x-10=0^-$.

Alors par quotient,  $\limite{x}{-2^+}\ds \dfrac{-2x-1}{x^2-3x-10} = \mI$.

\item On a
\begin{align*}
f_4(x)&=\dfrac{x^2+3x-10}{-3x-15}\\
      &=\dfrac{(x+5)(x-2)}{-3(x+5)}\\
      &=\dfrac{x-2}{-3}
\end{align*}
Donc $\limite{x}{-5}f_4(x)=\dfrac{7}{3}$
 \end{enumerate}
\end{corrige}

\newpage

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 3}  : Mini test sur les limites (15 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 20 octobre 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}[(6 points)]

Déterminer dans chaque cas la limite de $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}
                 ,itemsep=1cm
                 ]

\item $-3x^5-x^2x-3$ ; \quad en $\pI$

\item $\dfrac{3x^4+4x}{x^4-x}$ ; \quad en $\mI$

\item $\dfrac{-2x-1}{x^2-7x+10}$ ; \quad en $2^+$
\item $\dfrac{x^2+2x-8}{-3x-12}$ ; \quad en $-4$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item  On a pour $x\neq 0$ : $f_1(x)=x^5(-3-\dfrac{1}{x^2}-3\dfrac{1}{x^5})$.

 Et par somme $\limite{x}{\pI} (-3-\dfrac{1}{x^2}-3\dfrac{1}{x^5})=-3$ et $\limite{x}{\pI} x^5=\pI$.

 Donc par produit $\limite{x}{\pI}f_1(x)=\mI$.
 \item On a  pour $x\neq 0$ :
 \begin{align*}
f_2(x)&=\dfrac{x^4(3+\frac{4}{x^3})}{x^4(1-\frac{1}{x^3})}\\
        &=\dfrac{(3+\frac{4}{x^3})}{(1-\frac{1}{x^3})}
 \end{align*}
Et $\limite{x}{\mI}(3+\frac{4}{x^3})=3$;  $\limite{x}{\mI}(1-\frac{1}{x^3})=1$ ,

donc par produit et quotient, $\limite{x}{\mI}f_2(x)=3$.

\item On a $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$ donc

 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $x^2-7x+10$ / 1}
{ $\mI$ , $2$ ,$5$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}

On a $\limite{x}{2} -2x-1=-5$, et d'après le tableau de signe : $\limite{x}{2^+}x^2-7x+10=0^-$.

Alors par quotient,  $\limite{x}{2^+}\ds \dfrac{-2x-1}{x^2-7x+10} = \pI$.

\item On a
\begin{align*}
f_4(x)&=\dfrac{x^2+2x-8}{-3x-12}\\
      &=\dfrac{(x+4)(x-2)}{-3(x+4)}\\
      &=\dfrac{x-2}{-3}
\end{align*}
Donc $\limite{x}{-4}f_4(x)=2$
 \end{enumerate}
\end{corrige}

\newpage

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 3}  : Mini test sur les limites (15 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 20 octobre 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}[(6 points)]

Déterminer dans chaque cas la limite de $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}
                 ,itemsep=1cm
                 ]

\item $-3x^6-x^2x-3$ ; \quad en $\mI$

\item $\dfrac{3x^3+4x}{x^4-x}$ ; \quad en $\pI$

\item $\dfrac{-2x-1}{x^2-5x+6}$ ; \quad en $2^+$
\item $\dfrac{-5x-20}{x^2+2x-8}$ ; \quad en $-4$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item  On a pour $x\neq 0$ : $f_1(x)=x^6(-3-\dfrac{1}{x^3}-3\dfrac{1}{x^6})$.

 Et par somme $\limite{x}{\mI} (-3-\dfrac{1}{x^3}-3\dfrac{1}{x^6})=-3$ et $\limite{x}{\mI} x^6=\pI$.

 Donc par produit $\limite{x}{\mI}f_1(x)=\mI$.
 \item On a  pour $x\neq 0$ :
 \begin{align*}
f_2(x)&=\dfrac{x^3(3+\frac{4}{x^2})}{x^4(1-\frac{1}{x^3})}\\
        &=\dfrac{1}{x}\dfrac{(3+\frac{4}{x^2})}{(1-\frac{1}{x^3})}
 \end{align*}
Et $\limite{x}{\pI}(3+\frac{4}{x^2})=3$;  $\limite{x}{\pI}(1-\frac{1}{x^3})=1$ ; $\limite{x}{\pI}\dfrac{1}{x} =0$,

donc par produit et quotient, $\limite{x}{\pI}f_2(x)=0$.

\item On a $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ donc

 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $x^2-5x+6$ / 1}
{ $\mI$ , $2$ ,$3$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}

On a $\limite{x}{2} -2x-1=-5$, et d'après le tableau de signe : $\limite{x}{2^+}x^2-5x+6=0^-$.

Alors par quotient,  $\limite{x}{2^+}\ds \dfrac{-2x-1}{x^2-5x+6} = \pI$.

\item On a
\begin{align*}
f_4(x)&=\dfrac{-5x-20}{x^2+2x-8}\\
      &=\dfrac{-5(x+4)}{(x+4)(x-2)}\\
      &=\dfrac{-5}{x-2}
\end{align*}
Donc $\limite{x}{-4}f_4(x)=\dfrac{5}{6}$
 \end{enumerate}
\end{corrige}

\end{document}
