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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 2}  : Suites (1h15)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 13 octobre 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 \begin{exercice}[(9 points)]

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}=30$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_{n}+10$.
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_{n}-20$.

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $u_{1}$ et $u_{2}$.
\begin{corrige}
 On a : \[
u_1 = \frac{1}{2} \times 30 + 10 = 15 + 10 = 25
\]
\[
u_2 = \frac{1}{2} \times 25 + 10 = 12{,}5 + 10 = 22{,}5
\]
\end{corrige}

\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
\begin{corrige}
On a pour $n\in\N$ :
 	\begin{align*}
		 v_{n+1}&=u_{n+1}-20\\
                &=\dfrac{1}{2} u_{n}+10-20\\
                &=\dfrac{1}{2} u_{n}-10\\
                &=\dfrac{1}{2}(u_{n}-20)\\
                &=\dfrac{1}{2}v_{n}
		\end{align*}
Donc la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $q=\dfrac12$ avec $v_0=u_{0}-20=10$.
\end{corrige}


\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.
\begin{corrige}
 Par propriété, on déduit  pour $n\in\N$ : $v_n= v_0q^n=10\left(\dfrac12\right)^n$.
\end{corrige}

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\,  u_{n}=20+10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.
\begin{corrige}
 Nous avons  $v_{n}=u_{n}-20$, donc  $u_{n}=v_{n}+20$ et donc :
 \[
  u_{n}=20+10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}
 \]

\end{corrige}

\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\begin{corrige}
 On a $-1<\dfrac{1}{2}<1$, donc par propriété $\limite{n}{\pI}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=0$ et donc par somme $\limite{n}{\pI}u_n=20$.
\end{corrige}

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[
\begin{cases}
w_{0}=45 \\
w_{n+1}=\dfrac{1}{2} w_{n}+\dfrac{1}{2} u_{n}+7
\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer que $w_{1}$.
\begin{corrige}
 On a $w_1=\dfrac{1}{2} w_{0}+\dfrac{1}{2} u_{0}+7=\dfrac{1}{2} 45+\dfrac{1}{2} 30+7=44,5$
\end{corrige}

\end{enumerate}

On souhaite écrire une fonction suite, en langage Python, qui renvoie la valeur du terme $w_{n}$ pour une valeur de $n$ donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction suite.

\begin{center}

% ?????
\begin{lstlisting}[language=python]
def suite(n):
    u=30
    w=45
    n=0
    while n<30 :
        u=u/2+10
        w=w/2+u/2+7
        n=n+1
    return w
\end{lstlisting}
\end{center}



\begin{enumerate}[resume]

\item L'exécution de suite(1) ne renvoie pas le terme $w_{1}$. Comment modifier la fonction suite afin que l'exécution de suite(n) renvoie la valeur du terme $w_{n}$ ?

\begin{corrige}
L'erreur est que il change la valeur de $u$ et calcule $u_1$ avant d'avoir calculer $w_1$. Dans l'état, il calcule d'avord $u$ qui donne $25$ puis la valeur $w=\dfrac{45}{2}+\dfrac{25}{2}+7=77$ et ce n'est pas la bonne valeur.

Il faut inverser les lignes 6 et 7 pour calculer $w$ avant de changer la valeur de $u$. Le calcul pour \texttt{suite(1)} donne alors $w=\dfrac{45}{2}+\dfrac{30}{2}+7=44,5$ qui est bien la bonne valeur.

\end{corrige}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$ on a :

\[w_{n}=10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ 34\]

\begin{corrige}
  On montre par récurrence que pour tout $n\in \N$ :
  \[w_{n}=10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ 34\]

{\bf Initialisation : }  $w_0=45$ et la formule donne pour $n=0$  : $ 11 + 34 = 45$. Donc l'initialisation est faite.

 {\bf Hérédité : } Pour $k\in\N$, supposons $w_{k}=10 k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}+ 34$ et montrons la propriété au rang suivant :

 On a :
 \begin{align*}
 w_{k+1} &= \frac12 w_k + \frac12 u_k + 7\\
        &= \frac12 (10 k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}+ 34 )+ \frac12(20+10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}) + 7\\
        &= 10 k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}+ 17 + 10+10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} + 7 \\
         &= 10 (k+1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}+34
 \end{align*}

 où dans cette dernière égalité on a factorisé par $10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} $.

 Cette dernière égalité est le résultat au rang $k+1$ et donc l'hérédité est démontrée.

  {\bf Conclusion : }  Pour tout $n\in \N$ :  $w_{n}=10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ 34$
\end{corrige}


		\item  On admet que pour tout entier naturel $n \geqslant 4$, on a : $0 \leqslant 10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \leqslant \dfrac{10}{n}$.

Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $\left(w_{n}\right)$ ?

\begin{corrige}
 On a :
  $0 \leqslant 10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \leqslant \dfrac{10}{n}$.

  et $\limite{n}{\pI}\dfrac{10}{n} =0$, donc par théorème des gendarmes $\limite{n}{\pI}10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=0$.

  De plus nous savons déjà que $\limite{n}{\pI}11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=0$

  et sachant que pour tout $n\in\N$, $w_{n}=10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ 34$,

  on déduit par somme :

   \[\limite{n}{\pI}w_n=34\].

\end{corrige}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \end{exercice}


\begin{exercice}[(3 points)]
 Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 7$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, par :
\[
u_{n+2} = \dfrac{u_n}{3}- \dfrac{u_{n+1}}{6}
\]

\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_2$.
 \begin{corrige}
  Pour $n = 0$ :
\[ u_2 = \frac{u_0}{3} - \frac{u_1}{6} = \frac{0}{3} - \frac{7}{6} = -\frac{7}{6} \]
 \end{corrige}

 \item Soit $(s_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $s_n = 3u_{n+1} + 2u_n$.
 \begin{enumerate}
  \item  Démontrer que la suite $(s_n)$ est géométrique.
  \begin{corrige}
   On a :
   \begin{align*}
    s_{n+1}&= 3u_{n+2} + 2u_{n+1}\\
            &=3\left(\dfrac{u_n}{3} - \dfrac{u_{n+1}}{6}\right) + 2u_{n+1}\\
            &=u_n - \dfrac{u_{n+1}}{2} + 2u_{n+1} \\
            &= u_n + \dfrac{3}{2}u_{n+1}\\
            &= \dfrac12 3u_{n+1}+2u_n\\
            &= \dfrac12 s_n
   \end{align*}

   Donc $(s_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac12$ avec $s_0=3u_1+2u_0=3.7+2.0=21$.
  \end{corrige}

  \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $s_n$ en fonction de $n$.
  \begin{corrige}
   Par propriété : $s_n=s_0q^n=21 \left(\dfrac12\right)^n$.
  \end{corrige}

 \end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = u_n - 2u_{n+1}$

{\bf On admettra les deux questions suivantes sans aucune démonstration}
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
 \item Montrer que pour tout $n\in\N$ :
 \[
v_n=-14 \left(-\dfrac23\right)^n
 \]

\end{enumerate}
\item {\bf  $\star$ Hors Barême  : } Déduire des questions 2.b. et 3.b. que, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_n = 6\left(\frac{1}{2}\right)^n - 6\left(\frac{-2}{3}\right)^n
\]

\begin{corrige}
 On a le système

 \[
\sysd{3u_{n+1}+2u_n=s_n~~~~~~~~~~~(L_1)}{-2u_{n+1}+u_n=v_n~~~~~~~~~(L_2)}
 \]
Ainsi, $2L_1+3L_2$ donne :

\[
7u_n=2s_n+3v_n
\]

Donc :

\begin{align*}
 u_n&=\dfrac{1}{7}(2s_n+3v_n )\\
    &=\dfrac{1}{7}(42 \left(\dfrac12\right)^n-42 \left(-\dfrac23\right)^n)\\
    &=6\left(\frac{1}{2}\right)^n - 6\left(\frac{-2}{3}\right)^n
\end{align*}

Ainsi l'égalité cherchée est démontrée.

\end{corrige}

% \item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
%
% \begin{corrige}
%  On a : $-1 < \frac{1}{2} < 1$ donc $\limite{n}{\pI}\left(\frac{1}{2}\right)^n=0$.
%
%  De même  $-1 < \frac{-2}{3} < 1$ donc $\limite{n}{\pI}\left(\frac{-2}{3}\right)^n=0$.
%
%  Alors par somme, $\limite{n}{\pI} u_n=0$.
%
% \end{corrige}

\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[(2 points)]

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$

\[u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}\]

\begin{enumerate}
\item  On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est strictement positif.

\begin{corrige}
 On a pour tout $n\in\N$ :
 \begin{align*}
  u_{n+1}-u_n&=\dfrac{u_n}{1 + u_n} -u_n\\
            &=\dfrac{u_n-u_n-u_n^2}{1 + u_n} \\
            &=\dfrac{-u_n^2}{1 + u_n} \\
 \end{align*}

Et $u_n\geq 0$, donc $1+u_n>0$. De plus $u_n^2\geq 0 $, donc par produit et règle des signes : $u_{n+1}-u_n\leq 0$.

Ainsi la suite $(u_n)$ est décroissante.
\end{corrige}

Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
\begin{corrige}
 Nous venons de voir que $(u_n)$ est décroissante.Elle est de plus minorée par $0$. Donc par propriété, elle converge vers $\ell\geq 0$.
\end{corrige}

\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{document}


 
