\documentclass[12pt]{article}
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\definecolor{Couleur1}{rgb}{0.7,0,0}
\definecolor{Couleur2}{rgb}{1,0.6,0}
\newboolean{solution}
\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
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\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
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                                    \par\medskip}
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% \setboolean{solution}{true}
\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 1}  : Récurrence, révisions suites et fonctions (1h15)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 1 octobre 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 

\begin{exercice}[(4 points)]
Soit $k\in\N^\star$. On définit les fonctions $f_k$ sur $\R$, par :
\[
 f_k(x)=\dfrac{x^2}{k}-x
\]

On a représenté ci-dessous le graphe des fonctions $f_k$ pour certaines valeurs de $k$.


 \begin{mplibcode}
   % Style du quadrillage
def quadstyle = dashed evenly enddef;
drawoptions(withcolor noir);
% Fin style quadrillage
prefnomme:="right";
u:=0.8cm;
repere(-3,15,u,-3,5,u);
path Cf_[],d;
path Cg_[];
vardef fa(expr x)=x*x-x enddef;
Cf_1=courbefonc(fa,-8,8,100);
vardef fb(expr x)=0.5*x*x-x enddef;
Cf_2=courbefonc(fb,-8,8,100);
 vardef fc(expr x)=1/3*x*x-x enddef;
Cf_3=courbefonc(fc,-8,8,100);
 vardef fd(expr x)=(1/4)*x*x -x enddef;
Cf_4=courbefonc(fd,-8,8,100);
% vardef fe(expr x)=1/4*x*x-x enddef;
% Cf_5=courbefonc(fe,-8,8,100);
vardef ff(expr x)=1/10*x*x-x enddef;
Cf_5=courbefonc(ff,-8,15,100);
% vardef fg(expr x)=0.8*x**2 enddef;
% Cf_7=courbefonc(fg,-8,8,100);
% vardef fh(expr x)=x**2 enddef;
% Cf_8=courbefonc(fh,-8,8,100);
% vardef fj(expr x)=1.5*x**2 enddef;
% Cf_9=courbefonc(fj,-8,8,100);
% vardef fk(expr x)=2*x**2 enddef;
% Cf_10=courbefonc(fk,-8,8,100);

d=droite(-0.5,0);
draw d epaisseur 0.7  withcolor red;


% Dessin axes quadrillage
draw quadrillage (1,1)  epaisseur 0.5;
draw axes(1,1) epaisseur 1.2;

% Dessin courbes
for i=1 upto 5: draw Cf_[i] withpen pencircle scaled 1.2  withcolor blue; endfor
% for i=1 upto 5: draw Cg_[i] withpen pencircle scaled 1.3; endfor
% draw Cf_1 epaisseur 1.3;

% Nom des courbes
% nomme(Cf_1);
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{f}$"));


nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{1}$")) withcolor blue;
nomme(Cf_2,LaTeX("$\calc_{2}$")) withcolor blue;
nomme(Cf_3,LaTeX("$\calc_{3}$")) withcolor blue;
nomme(Cf_4,LaTeX("$\calc_{4}$")) withcolor blue;
nomme(Cf_5,LaTeX("$\calc_{k_0}$")) withcolor blue;
% nomme(Cf_6,LaTeX("$\calc_{2}$"));
% nomme(Cf_7,LaTeX("$\calc_{0,8}$"));
% nomme(Cf_8,LaTeX("$\calc_{1}$"));
% nomme(Cf_9,LaTeX("$\calc_{1,5}$"));
% nomme(Cf_10,LaTeX("$\calc_{2}$"));

for i=1 upto 4:
% D[i]=(i/2,-i/4);
% nomme.lft(D[i]) withcolor blue;
marquepoint((i/2,-i/4));
endfor

%
% nomme(Cg_1,LaTeX("$\calc_{-0,1}$"));
% nomme(Cg_2,LaTeX("$\calc_{-0,25}$"));
% nomme(Cg_3,LaTeX("$\calc_{-0,5}$"));
% nomme(Cg_4,LaTeX("$\calc_{-1}$"));
% % nomme(Cg_5,LaTeX("$\calc_{-1,5}$"));
% nomme(Cg_5,LaTeX("$\calc_{-2}$"));
% nomme(Cg_7,LaTeX("$\calc_{-0,8}$"));
% nomme(Cg_8,LaTeX("$\calc_{-1}$"));
% nomme(Cg_9,LaTeX("$\calc_{-1,5}$"));
% nomme(Cg_10,LaTeX("$\calc_{-2}$"));
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$"));
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$"));
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$"));
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$"));
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$"));
 draw cadre;
 drawoptions();
fin;
 \end{mplibcode}


\begin{enumerate}
 \item Montrer que le tableau de variation de $f_k$ est donné par :

      \begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,espcl=5]{ $x$ / 1,
$f_k'(x)$ / 1,
$f_k$ / 2}
{ $\mI$ , $\dfrac{k}{2}$ ,$\pI$}
{ ,-,z,+,}
{ +/ , -/$-\dfrac{k}{4}$ , +/ }%
\end{tikzpicture}


 \item Comme le montre le graphique ci-dessus les sommets des paraboles semblent alignés sur une même droite $\cald$. Quelle serait l'équation de cette droite ?
 \item Démontrer cette conjecture.

 \item L'une des courbe représentée est celle de $f_{k_0}$. Déterminer en justifiant la valeur de $k_0$.
\end{enumerate}

\end{exercice}



 \begin{exercice}[(5 points)]
  Soit $f$ définie sur $\R$ par  $f(x)=x\e^{2x}-x^2-x$.
 \begin{enumerate}
%   \item Au vu de ce graphique, quelle conjecture peut-on faire sur les variations de $f$ ?
  \item On introduit la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
  \[
   g(x)=(\e^{2x}-1)(2x+1)
  \]

  Dresser le tableau de signe de $g$.


  \item  Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=g(x)$, et en déduire le tableau de variations de $f$.
  \item  Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\calc_f$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}

 \end{exercice}



\begin{exercice}[(4 points)]
  On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :

\[
 u_{n+1}=\dfrac12(u_n+  n+2)
\]


Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N$  : $u_n=\dfrac{1}{2^n}+n$.
\end{exercice}


  \begin{exercice}[(7 points)]$\ $\\
\begin{minipage}{9cm}
 %
%  Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.\par
% Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec 115 oiseaux.\par
% Les spécialistes prévoient que 40\,\% des oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier d'une année restent présents le 1\up{er} janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux
% sont accueillis dans le centre chaque année.\par
% On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier des années suivantes. \par
% La situation peut être modélisée par une suite $(u_{n})$ admettant pour premier terme $u_0 = 115$, le terme $u_{n}$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013~+~n$ est alors donné par la formule

On considère une suite $(u_{n})$ définie par $u_0 = 115$ et la relation de récurrence suivante pour $n\in\N$
\[
 u_{n+1}=0,4 u_n+120
\]

On note $f$ la fonction affine donnée par
\[f(x)=0,4x+120\]

On a donc pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$.


\begin{enumerate}[itemsep=0.8em]

\item Sur le graphique ci-dessous, le graphe de la fonction $f$ est représenté ainsi que celui de la droite d'équation $y=x$.

Représentez sur l'axe des abscisses et sans faire de calcul les termes $u_0$, $u_1, u_2, u_3$ de $(u_n)$.

Emmètre une conjecture sur les variations et la limite éventuelle de $(u_n)$.
\end{enumerate}

\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{mplibcode}
repere(-30,230,0.03cm,-20,230,0.03cm);
vardef f(expr x)=0.4x+120 enddef;
path C_f;
% C_f= courbefonc(f)();
C_f=courbefonc(f,-2,230,100);

draw axes(0,0);
draw axexpart(0,50,100,115,150,200);
draw axeypart(0,50,100,150,200);
% drawoptions(withpen pencircle scaled 1);
draw C_f withcolor bleu;
draw droite(1,0);
fin;
 \end{mplibcode}
\end{minipage}


\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item
\begin{enumerate}

 \item Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$, on a
 \[
u_{n+1}\geq u_n
 \]

\item En déduire les variations de $(u_n)$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}

\item On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$.

\medskip
	 Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

	 \medskip
	\item Exprimer, pour tout entier naturel $n, \:v_{n}$ en fonction de $n$.
	\item En déduire pour tout entier naturel $n$, l'expression explicite de la suite $(u_{n})$.
	\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}

	\item  On cherche à faire un algorithme qui affiche le rang à partir duquel on a $u_n\geq199$. Un seul des algorithmes ci-dessous renvoie le bon résultat lorsqu'on tape \texttt{rang(199)}. Lequel ?
\medskip

\begin{multicols}{3}
 \begin{lstlisting}[language=python]
def rang(A) :
  n = 0
  u = 120
  while  u < A :
     u = 0.4*u+120
     n = n + 1
  return n
\end{lstlisting}

 \begin{lstlisting}[language=python]
def rang(A) :
  n = 0
  u = 120
  while  u < A :
     u = 0.4*u+120
     n = n + 1
  return u
\end{lstlisting}

 \begin{lstlisting}[language=python]
def rang(A) :
  n = 0
  u = 120
  while  u > A :
     u = 0.4*u+120
     n = n + 1
  return n
\end{lstlisting}

\end{multicols}


% 	\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.


% 	\item La capacité d'accueil du centre est de $200$~oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.
% 	\item Comment transformer l'algorithme pour qu'il affiche le plus petit entier $n$ tel que $u_n>199,99$.\par
% 	      A l'aide de la calculatrice, déterminer cet entier $n$.


% \item Chaque année, le centre touche une subvention de $20$~euros par oiseau présent au 1\up{er} janvier.\par
%       Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période.
\end{enumerate}
\end{exercice}


%
% \begin{exerciced}
%  Soit $f$ une fonction croissante sur $\R$ et $(u_n)$ une suite définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, $u_0$ étant un réel fixé.
%
% Montrer que $(u_n)$ est monotone.
%
%
% \end{exerciced}
%

% \begin{exerciced}
%  Soit $f$ une fonction décroissante sur $\R$ et $(u_n)$ une suite définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, $u_0$ étant un réel fixé.
%
%  On  définit pour tout $n\in\N$ les deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$ par : $v_n= u_{2n}$ et $w_n= u_{2n+1}$
%
%  Montrer que  $(v_n)$ et $(w_n)$ sont des suites monotones.
%
%
% \end{exerciced}





\newpage


\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 1}  : Récurrence, révisions suites et fonctions (1h15)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 1 octobre 2025.}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


\begin{exercice}[(4 points)]
Soit $k\in\N^\star$. On définit les fonctions $f_k$ sur $\R$, par :
\[
 f_k(x)=\dfrac{x^2}{k}-x
\]

On a représenté ci-dessous le graphe des fonctions $f_k$ pour certaines valeurs de $k$.


 \begin{mplibcode}
   % Style du quadrillage
def quadstyle = dashed evenly enddef;
drawoptions(withcolor noir);
% Fin style quadrillage
prefnomme:="right";
u:=0.8cm;
repere(-3,18,u,-3.2,5,u);
path Cf_[],d;
path Cg_[];
vardef fa(expr x)=x*x-x enddef;
Cf_1=courbefonc(fa,-8,8,100);
vardef fb(expr x)=0.5*x*x-x enddef;
Cf_2=courbefonc(fb,-8,8,100);
 vardef fc(expr x)=1/3*x*x-x enddef;
Cf_3=courbefonc(fc,-8,8,100);
 vardef fd(expr x)=(1/4)*x*x -x enddef;
Cf_4=courbefonc(fd,-8,8,100);
% vardef fe(expr x)=1/4*x*x-x enddef;
% Cf_5=courbefonc(fe,-8,8,100);
vardef ff(expr x)=1/12*x*x-x enddef;
Cf_5=courbefonc(ff,-8,18,100);
% vardef fg(expr x)=0.8*x**2 enddef;
% Cf_7=courbefonc(fg,-8,8,100);
% vardef fh(expr x)=x**2 enddef;
% Cf_8=courbefonc(fh,-8,8,100);
% vardef fj(expr x)=1.5*x**2 enddef;
% Cf_9=courbefonc(fj,-8,8,100);
% vardef fk(expr x)=2*x**2 enddef;
% Cf_10=courbefonc(fk,-8,8,100);

d=droite(-0.5,0);
draw d epaisseur 0.7  withcolor red;


% Dessin axes quadrillage
draw quadrillage (1,1)  epaisseur 0.5;
draw axes(1,1) epaisseur 1.2;

% Dessin courbes
for i=1 upto 5: draw Cf_[i] withpen pencircle scaled 1.2  withcolor blue; endfor
% for i=1 upto 5: draw Cg_[i] withpen pencircle scaled 1.3; endfor
% draw Cf_1 epaisseur 1.3;

% Nom des courbes
% nomme(Cf_1);
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{f}$"));


nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{1}$")) withcolor blue;
nomme(Cf_2,LaTeX("$\calc_{2}$")) withcolor blue;
nomme(Cf_3,LaTeX("$\calc_{3}$")) withcolor blue;
nomme(Cf_4,LaTeX("$\calc_{4}$")) withcolor blue;
nomme(Cf_5,LaTeX("$\calc_{k_0}$")) withcolor blue;
% nomme(Cf_6,LaTeX("$\calc_{2}$"));
% nomme(Cf_7,LaTeX("$\calc_{0,8}$"));
% nomme(Cf_8,LaTeX("$\calc_{1}$"));
% nomme(Cf_9,LaTeX("$\calc_{1,5}$"));
% nomme(Cf_10,LaTeX("$\calc_{2}$"));

for i=1 upto 4:
% D[i]=(i/2,-i/4);
% nomme.lft(D[i]) withcolor blue;
marquepoint((i/2,-i/4));
endfor

%
% nomme(Cg_1,LaTeX("$\calc_{-0,1}$"));
% nomme(Cg_2,LaTeX("$\calc_{-0,25}$"));
% nomme(Cg_3,LaTeX("$\calc_{-0,5}$"));
% nomme(Cg_4,LaTeX("$\calc_{-1}$"));
% % nomme(Cg_5,LaTeX("$\calc_{-1,5}$"));
% nomme(Cg_5,LaTeX("$\calc_{-2}$"));
% nomme(Cg_7,LaTeX("$\calc_{-0,8}$"));
% nomme(Cg_8,LaTeX("$\calc_{-1}$"));
% nomme(Cg_9,LaTeX("$\calc_{-1,5}$"));
% nomme(Cg_10,LaTeX("$\calc_{-2}$"));
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$"));
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$"));
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$"));
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$"));
% nomme(Cf_1,LaTeX("$\calc_{0,1}$"));
 draw cadre;
 drawoptions();
fin;
 \end{mplibcode}


\begin{enumerate}
 \item Montrer que le tableau de variation de $f_k$ est donné par :

      \begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,espcl=5]{ $x$ / 1,
$f_k'(x)$ / 1,
$f_k$ / 2}
{ $\mI$ , $\dfrac{k}{2}$ ,$\pI$}
{ ,-,z,+,}
{ +/ , -/$-\dfrac{k}{4}$ , +/ }%
\end{tikzpicture}


 \item Comme le montre le graphique ci-dessus les sommets des paraboles semblent alignés sur une même droite $\cald$. Quelle serait l'équation de cette droite ?
 \item Démontrer cette conjecture.

 \item L'une des courbe représentée est celle de $f_{k_0}$. Déterminer en justifiant la valeur de $k_0$.
\end{enumerate}

\end{exercice}



 \begin{exercice}[(5 points)]
  Soit $f$ définie sur $\R$ par  $f(x)=x\e^{2x}-x^2-x$.
 \begin{enumerate}
%   \item Au vu de ce graphique, quelle conjecture peut-on faire sur les variations de $f$ ?
  \item On introduit la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
  \[
   g(x)=(\e^{2x}-1)(2x+1)
  \]

  Dresser le tableau de signe de $g$.


  \item  Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=g(x)$, et en déduire le tableau de variations de $f$.
  \item  Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\calc_f$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}

 \end{exercice}



\begin{exercice}[(4 points)]
  On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :

\[
 u_{n+1}=2u_n-n^2+2n+1)
\]


Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N$  : $u_n=2^n+n^2$.
\end{exercice}


  \begin{exercice}[(7 points)]$\ $\\
\begin{minipage}{9cm}
 %
%  Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.\par
% Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec 115 oiseaux.\par
% Les spécialistes prévoient que 40\,\% des oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier d'une année restent présents le 1\up{er} janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux
% sont accueillis dans le centre chaque année.\par
% On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier des années suivantes. \par
% La situation peut être modélisée par une suite $(u_{n})$ admettant pour premier terme $u_0 = 115$, le terme $u_{n}$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013~+~n$ est alors donné par la formule

On considère une suite $(u_{n})$ définie par $u_0 = 115$ et la relation de récurrence suivante pour $n\in\N$
\[
 u_{n+1}=0,3 u_n+140
\]

On note $f$ la fonction affine donnée par
\[f(x)=0,3x+140\]

On a donc pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$.


\begin{enumerate}[itemsep=0.8em]

\item Sur le graphique ci-dessous, le graphe de la fonction $f$ est représenté ainsi que celui de la droite d'équation $y=x$.

Représentez sur l'axe des abscisses et sans faire de calcul les termes $u_0$, $u_1, u_2, u_3$ de $(u_n)$.

Emmètre une conjecture sur les variations et la limite éventuelle de $(u_n)$.
\end{enumerate}

\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{mplibcode}
repere(-30,230,0.03cm,-20,230,0.03cm);
vardef f(expr x)=0.3x+140 enddef;
path C_f;
% C_f= courbefonc(f)();
C_f=courbefonc(f,-2,230,100);

draw axes(0,0);
draw axexpart(0,50,100,115,150,200);
draw axeypart(0,50,100,150,200);
% drawoptions(withpen pencircle scaled 1);
draw C_f withcolor bleu;
draw droite(1,0);
fin;
 \end{mplibcode}
\end{minipage}


\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item
\begin{enumerate}

 \item Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$, on a
 \[
u_{n+1}\geq u_n
 \]

\item En déduire les variations de $(u_n)$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}

\item On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$.

\medskip
	 Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

	 \medskip
	\item Exprimer, pour tout entier naturel $n, \:v_{n}$ en fonction de $n$.
	\item En déduire pour tout entier naturel $n$, l'expression explicite de la suite $(u_{n})$.
	\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}

	\item  On cherche à faire un algorithme qui affiche le rang à partir duquel on a $u_n\geq199$. Un seul des algorithmes ci-dessous renvoie le bon résultat lorsqu'on tape \texttt{rang(199)}. Lequel ?
\medskip

\begin{multicols}{3}
 \begin{lstlisting}[language=python]
def rang(A) :
  n = 0
  u = 120
  while  u < A :
     u = 0.4*u+120
     n = n + 1
  return n
\end{lstlisting}

 \begin{lstlisting}[language=python]
def rang(A) :
  n = 0
  u = 120
  while  u < A :
     u = 0.4*u+120
     n = n + 1
  return u
\end{lstlisting}

 \begin{lstlisting}[language=python]
def rang(A) :
  n = 0
  u = 120
  while  u > A :
     u = 0.4*u+120
     n = n + 1
  return n
\end{lstlisting}

\end{multicols}


% 	\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.


% 	\item La capacité d'accueil du centre est de $200$~oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.
% 	\item Comment transformer l'algorithme pour qu'il affiche le plus petit entier $n$ tel que $u_n>199,99$.\par
% 	      A l'aide de la calculatrice, déterminer cet entier $n$.


% \item Chaque année, le centre touche une subvention de $20$~euros par oiseau présent au 1\up{er} janvier.\par
%       Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période.
\end{enumerate}
\end{exercice}


%
% \begin{exerciced}
%  Soit $f$ une fonction croissante sur $\R$ et $(u_n)$ une suite définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, $u_0$ étant un réel fixé.
%
% Montrer que $(u_n)$ est monotone.
%
%
% \end{exerciced}
%

% \begin{exerciced}
%  Soit $f$ une fonction décroissante sur $\R$ et $(u_n)$ une suite définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, $u_0$ étant un réel fixé.
%
%  On  définit pour tout $n\in\N$ les deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$ par : $v_n= u_{2n}$ et $w_n= u_{2n+1}$
%
%  Montrer que  $(v_n)$ et $(w_n)$ sont des suites monotones.
%
%
% \end{exerciced}

\end{document}


 
