\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule-lua.tex}
\usepackage{calligra}

\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

\usepackage{xcolor}
\usepackage[skins,breakable]{tcolorbox}
\definecolor{Couleur1}{rgb}{0.7,0,0}
\definecolor{Couleur2}{rgb}{1,0.6,0}
\newboolean{solution}
\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
                    breakable,
                    enhanced,
                    colframe=Couleur2!5,
                    colback=Couleur2!5,
                    coltext=Couleur1,
                    title=Correction :,
                    coltitle=Couleur1,
                    fonttitle=\bfseries,
                    attach boxed title to top left,
                    boxed title style={left=0pt,
                                       boxrule=0pt,
                                       colframe=white,
                                       colback=white,
                                       },
                    }


\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
                               {\ifthenelse{\boolean{solution}}
                                   {\par\medskip
                                    \begin{corrigeboite}
                                    #1
                                    \end{corrigeboite}
                                    \par\medskip}
                                   {}
                               }
                               {}

 \setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 11}  : Intégration et équations différentielles (1h)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{3 avril 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


\begin{exercice}[(12 points)]
%% Posé le 27 mars 2019
%france sept 2008
On considère la suite numérique $\left(J_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par
\[ J_{n}  = \int_{1}^n  \e^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t.\]

% \begin{minipage}{13cm}
On a tracé ci-contre la fonction $\fonction{f}{t}{\e^{-t}\sqrt{1 + t}}$.
\begin{enumerate}
 \item Que représente $(J_n)$ ? Que peut-on conjecturer sur les variations de $(J_n)$ ?
 \begin{corrige}
  La fonction $f$ est positive sur $\R_+$ par produit. Ainsi les bornes étant dans l'ordre, on déduit que $J_n$ est l'aire de la zone délimitée par la courbe $\calc_f$, les droites d'équation $x=1$, $x=n$ et $y=0$.

  En  particulier, on en déduit que $(J_n)$ sera une suite croissante.
 \end{corrige}

 \item  Démontrer que la suite $\left(J_{n}\right)$ est croissante.

 \begin{corrige}
  C'est juste un petit coup de Chasles... On a pour tout $n\in\N^\star$ :
  \begin{align*}
   J_{n+1}-J_n&=\int_1^{n+1}  \e^{-t}\sqrt{1 + t} \dt - \int_1^n  \e^{-t}\sqrt{1 + t} \dt\\
   &=\int_1^{n}  \e^{-t}\sqrt{1 + t} \dt + \int_n^{n+1}  \e^{-t}\sqrt{1 + t} \dt - \int_1^n  \e^{-t}\sqrt{1 + t} \dt\\
   &= \int_n^{n+1}  \e^{-t}\sqrt{1 + t} \dt
  \end{align*}

  Or $f$ étant positive, on déduit par théorème de positivité que cette dernière intégrale est positive.

  Ainsi $J_{n+1}-J_n\geq 0$ et  $\left(J_{n}\right)$ est croissante.



 \end{corrige}

\end{enumerate}
% \end{minipage}
% \begin{minipage}{5cm}
%  \begin{mplibcode}
%  u:=1cm;
% repere(-0.4,5 ,1u,-0.2,1.2,3u);
% path Cf;
% vardef f(expr x)=((1+x)**0.5)*exp(-x) enddef;
% Cf=courbefonc(f,0,5,100);
% draw quadrillage(1,1) withcolor 0.2white dashed evenly;
% draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 0.8;
% draw base(O,i,j);
% %draw axex(1,1);
% %draw axey(1,1);
%
% draw Cf withpen pencircle scaled 1;
%
% draw cadre withpen pencircle scaled 2;
% fin;
% \end{mplibcode}
% \end{minipage}

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}

\item   On définit la suite $\left(I_{n}\right)$, pour tout entier naturel $n$ non nul, par :
\[ I_{n} =  \int_{1}^n (t + 1)\e^{-t}\dt.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que, pour tout $t \geqslant  1$, on a $\sqrt{t + 1} \leqslant  t + 1$.
		\begin{corrige}
		 Par simple analyse synthèse, on obtient : Pour $t\geq 0$ :

		 \begin{align*}
		   0 &\leq t \\
		  \text{Donc~~~} 1 &\leq t+1 \\
 \text{Donc~~~} 1 &\leq \sqrt{t+1}  \text{~~~~~ Car la fonction $\sqrt{.}$ est strictement croissante} \\
  \text{Donc~~~} \sqrt{t+1} &\leq t+1 \text{~~~~~ Par produit par $\sqrt{t+1}$ qui est strictement positif}
		 \end{align*}

		\end{corrige}

		\item  En déduire que $J_{n}  \leqslant I_{n}$ pour tout $n \in \N^\star$.
		\begin{corrige}
		 De l'inégalité précédente, on obtient par produit par $\e^{-t}>0$.
		 \begin{align*}
 \sqrt{t+1}\e^{-t} &\leq (t+1)\e^{-t}
		 \end{align*}
alors par intégration de l'inégalité avec les bornes dans l'ordre ($1\leq n$) on a $J_n\leq I_n$.
		\end{corrige}
	\end{enumerate}

    \item  \begin{enumerate}
    \item
     A l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. Vous montrerez en particulier
		\[
		 I_n=\dfrac3\e-(n+2)\e^{-n}
		\]
\begin{corrige}
On pose $u(t)=t+1$, $v'(t)=\e^{-t}$, alors $u'(t)=1$, $v(t)=-\e^{-t}$,

on a alors par intégration par parties :
		 \begin{align*}
 I_n&=\ds\int_1^n (t+1)\e^{-t} \dt \\
 &=\ds[-(t+1)\e^{-t}]_1^n+\ds\int_1^n \e^{-t} \dt \\
 &=-(n+1)\e^{-n}+2\e^{-1}+[-\e^{-t}]_1^n \\
 &=-(n+1)\e^{-n}+2\e^{-1}-\e^{-n}+\e^{-1} \\
 &=\dfrac3\e-(n+2)\e^{-n}
		 \end{align*}
		\end{corrige}
                \item  En déduire que la suite $\left(J_{n}\right)$ est majorée.
                \begin{corrige}
                 On a $(n+2)\e^{-n}>0$ donc $I_n=\dfrac3\e-(n+2)\e^{-n}\leq \dfrac3\e$.

                 On a donc pour tout $n\in\N^\star$ :
                 \[
                    J_n \leq I_n\leq \dfrac3\e
                 \]
et donc $(J_n)$ est majorée par $\dfrac3\e$.

                \end{corrige}

     \end{enumerate}
		\item  La suite $\left(J_{n}\right)$ est-elle convergente ?
		\begin{corrige}
		 D'après 2. $\left(J_{n}\right)$ est croissante et d'après la question précédente elle est majorée donc par théorème $\left(J_{n}\right)$ converge vers $\ell \leq \dfrac3\e$.
		\end{corrige}


\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(8 points)]
% Posé le 14 décembre 2007


On considère l'équation différentielle $(E) : y - y' =  \dfrac{\e^x}{x^{2}}$ et on
cherche l'ensemble des solutions de cette équation définies sur $]0~; ~+ \infty[$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $]0~; ~+ \infty[$ par $u(x) = \dfrac{\e^x}{x}$	est solution de $(E)$.
\begin{corrige}
 Il suffit juste de vérifier : Pour tout $x>0$, on a :
 \begin{align*}
u(x)-u'(x)&= \dfrac{\e^x}{x}- \dfrac{x\e^x-\e^x}{x^2}\\
          &= \dfrac{x\e^x}{x^2}- \dfrac{x\e^x-\e^x}{x^2}\\
          &=  \dfrac{\e^x}{x^{2}}
 \end{align*}
Et donc $u$ est bien solution de $(E)$.
\end{corrige}

\item Démontrer qu'une fonction $v$ définie sur $]0~; ~+ \infty[$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $v - u$, définie sur $]0~; ~+ \infty[$, est solution de l'équation
différentielle $(F) : y - y' = 0$.

\begin{corrige}
 On a :
 \begin{align*}
\text{$v - u$  solution de  $(F)$} &\ssi (v-u)-(v-u)'=0\\
                                     &\ssi v-u-v'+u'=0\\
                                     &\ssi v-v'=u-u'\\
                                     &\ssi v-v'= \dfrac{\e^x}{x^{2}} \text{~~~~Car $u$ solution de $(E)$}
                                     &\ssi \text{$v$  solution de  $(E)$}
 \end{align*}

\end{corrige}

\item \begin{enumerate}
       \item Résoudre $(F)$.
       \begin{corrige}
        On a $(F)\ssi y'=y$.

        On reconnaît donc une équation différentielle de la forme $y'=ay$ dont les solutions sont les fonctions de la forme :
        \[
         v(x)=C\e^x \text{~~~~~~~~~où $C$ est une constante réelle}
        \]

       \end{corrige}

       \item En déduire toutes les solutions définies sur $]0~; ~+ \infty[$ de l'équation $(E)$.
       \begin{corrige}
        D'après ce qui précède, $v$ solution de $(E)$ si et seulement si $v - u$  solution de  $(F)$.

        Ainsi nous savons que pour $x>0$ on a
        \[
            v(x)-u(x)=C\e^x
        \]
et donc la solution de $(E)$ satisfait :
\[
 v(x)=C\e^x +\dfrac{\e^x}{x}
\]
       \end{corrige}

       \item Déterminer la solution de $(E)$ qui satisfait $v(1)=0$.
       \begin{corrige}
        De plus $v(1)=0 \ssi C\e +\e=0$ et donc $C=-1$.

        La solution cherchée satisfait pour $x>0$ :
        \[
 v(x)=\dfrac{\e^x}{x}-\e^x
\]
       \end{corrige}

      \end{enumerate}
\end{enumerate}

%%% La suite dégénère avec une famille de fonction qui est très cool !!!!
\end{exercice}

\begin{exerciced}
 Résoudre l'équation différentielle
\[
(E) : ~~~~ y'-3y=0 %\tag{E}
\]

et en déduire les solutions de
\[
(F) : ~~~~  y''-3y'=0 % \tag{F}
\]
\begin{corrige}
 Il suffit de remarquer que $f$ solution de $(F)$ si et seulement si $f'$ solution de $(E)$.

 Ainsi $f'(x)=C\e^{3x}$ et donc $f(x)=K_1\e^{3x}+K_2$ où $K_1$ et $K_2$ sont des constantes.
\end{corrige}

\end{exerciced}


\end{document}


 
