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\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
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 \setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 10}  : Intégration (1h)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{18 mars 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


\begin{exercice}[(1 points)]
Résoudre sur $[-\pi;\pi]$:
\[
\sin x(2\cos^2 x-1)=0
\]
\begin{corrige}
Soit $(E)$ cette équation :

\begin{align*}
(E) &\ssi \sin x=0 \text{~~~ou~~~}  \cos^2 x=\dfrac12
   &\ssi \sin x=0 \text{~~~ou~~~}  |\cos x|= \dfrac{\sqrt2}{2}
\end{align*}

 Par lecture sur le cercle trigo (qu'il faut dessiner sur la copie), on a :
 \[\cals=\left\{ 0; \pi; -\pi; \dfrac{\pi}{4} ;-\dfrac{\pi}{4} ;-\dfrac{3\pi}{4}; \dfrac{3\pi}{4}\right\}
 \]
\end{corrige}

\end{exercice}

\begin{exercice}[(4 points)]
 Soit $f$ définie sur $\R$ par
 \[
f(x)=(\cos x +2 )\e^{-x}
 \]

 et soit $I=\ds\int_0^\pi f(x) \dx$.

 \begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout $x\in \R$ :
  \[
   \e^{-x} \leq f(x)\leq 3\e^{-x}
  \]
  \begin{corrige}
   Pour tout $x\in\R$ :
   \begin{align*}
    -1&\leq \cos x \leq 1 \\
    \text{Donc~~~~~~~} 1&\leq 2+\cos x \leq 3 \\
    \text{Donc~~~~~~~}  \e^{-x} &\leq f(x) \leq 3\e^{-x}  \text{~~~~~~~~(Car $\e^{-x}>0$)~~~~~~~}
   \end{align*}

  \end{corrige}

\item En déduire un encadrement de $I$.

\begin{corrige}
 Alors par intégration de l'inégalité avec les bornes dans l'ordre ($0<\pi$) :
  \[ \ds\int_0^\pi \e^{-x} \dx \leq I \leq \ds\int_0^\pi 3\e^{-x} \dx \]

 Et $\ds\int_0^\pi \e^{-x} \dx =\left[-\e^{-x}\right]_0^\pi=1-\e^{-\pi}$

 Et donc

 \[
  1-\e^{-\pi} \leq I \leq 3(1-\e^{-\pi})
 \]

\end{corrige}


\item Montrer que $\fonction{F}{x}{\dfrac{1}{2}(\sin x - \cos x -4 )\e^{-x} }$ est une primitive de $f$ sur $\R$.

\begin{corrige}
 On a :
 \begin{align*}
  F'(x)&=\dfrac{1}{2}(\cos x +\sin x )\e^{-x} - \dfrac{1}{2}(\sin x - \cos x -4 )\e^{-x}\\
      &=\dfrac{1}{2}(2\cos x +4)\e^{-x}\\
      &=(\cos x +2)\e^{-x}\\
      &= f(x)
 \end{align*}
Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\R$.
\end{corrige}

\item En déduire la valeur exacte de $I$.

\begin{corrige}
 On a \begin{align*}
       I=\ds\int_0^\pi f(x)\dx&=[F]_0^\pi\\
       &=\dfrac{1}{2}\left[(\sin x - \cos x -4 )\e^{-x} \right]_0^\pi\\
       &=\dfrac{1}{2}[(1 -4 )\e^{-\pi}- (-5)] \\
       &=\dfrac{1}{2}(5-3\e^{-\pi})
      \end{align*}

\end{corrige}

 \end{enumerate}

\end{exercice}




\begin{exercice}[(15 points)]$\ $\\
\begin{minipage}{12cm}
L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(I_n\right)$ définie ci-après pour $n$ entier naturel non nul.


\[I_n=\int_0^1x^n\mathrm{e}^{x^2}\text{ d}x.\]


Pour $\in\N^\star$, on introduit les fonctions $f_n$ définies sur $\R$ par :
\[
 f_n(x)=x^n\e^{x^2}
\]

Vous trouverez ci-contre la représentation de quelques-unes de ces fonctions.
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{mplibcode}
 u:=5cm;
repere(-0.2,1.2 ,1u,-0.2,1.2,1u);
path C[];
vardef fa(expr x)=x**1*exp(x**2) enddef;
vardef fb(expr x)=x**2*exp(x**2) enddef;
vardef fc(expr x)=x**3*exp(x**2) enddef;
vardef fd(expr x)=x**4*exp(x**2) enddef;
vardef fe(expr x)=x**10*exp(x**2) enddef;
vardef ff(expr x)=x**20*exp(x**2) enddef;

C[1]=courbefonc(fa,0,1,100);
C[2]=courbefonc(fb,0,1,100);
C[3]=courbefonc(fc,0,1,100);
C[4]=courbefonc(fd,0,1,100);
C[10]=courbefonc(fe,0,1,100);
C[20]=courbefonc(ff,0,1,100);
draw quadrillage(1,1) withcolor 0.2white dashed evenly;
draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 0.8;
draw base(O,i,j);
%draw axex(1,1);
%draw axey(1,1);
for i=1 upto 4 :
 draw C[i] withpen pencircle scaled 1;
 nomme(C[i]);
endfor
% draw C[10] withpen pencircle scaled 1;
%  nomme(C[10]);
draw C[20] withpen pencircle scaled 1;
 nomme(C[20]);

draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{mplibcode}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement l'intégrale $I_{n}$.
		\begin{corrige}
		 Les fonctions $f_n$ sont positives, et les bornes de l'intégrale sont dans l'ordre. On déduit alors que $I_n$ est l'aire de la zone délimitée par $\calc_n$, l'axes des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
		\end{corrige}

		\item En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de   variation de la suite $\left(I_n\right)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie   pour conjecturer.

		\begin{corrige}
		 Au vu du graphique, on conjecture $\limite{n}{\pI}I_n=0$
		\end{corrige}

	\end{enumerate}

\item Déterminer la valeur de $I_1$ par le calcul.
\begin{corrige}
On a
\begin{align*}
 I_1&=\int_0^1x\e^{x^2}\dx \\
 &=\dfrac{1}{2}\int_0^1 2x\e^{x^2}\dx \\
 &=\dfrac{1}{2}[\e^{x^2}]_0^1 \\
 &=\dfrac{1}{2}(\e-1)
 \end{align*}
\end{corrige}


\item Pour tout entier $n$ on définit sur $\R$ la fonction $H_n$ par
\[
H_n(x)=x^{n+1}\e^{x^2}
\]
\begin{enumerate}
		\item  Exprimer la dérivée $H_n'$ en fonction de $f_n$ et $f_{n+1}$.
		\begin{corrige}
		 On a $H_n'(x)=(n+1)x^{n}\e^{x^2} + x^{n+1}2x\e^{x^2}$ et donc :
		 \[
		  H_n'(x)=(n+1)f_n(x) + 2f_{n+2}(x)
		 \]

		\end{corrige}

		\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, on a :
		\[I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}I_n.\]
		\begin{corrige}
		 On déduit de ce qui précède :
		 \[
		 f_{n+2}(x) =\dfrac12 H_n'(x)-\dfrac12 (n+1)f_{n}(x)
		 \]

		 Et par intégration de l'égalité entre $0$ et $1$ :
		 \[
		  I_{n+2}= [H_n]_0^1-\dfrac12 (n+1)I_n
		 \]

		 donc

		 \[
		  I_{n+2}= \dfrac{\e}{2}-\dfrac12 (n+1)I_n
		 \]
		\end{corrige}

		\item Calculer $I_3$ et $I_5$.

		\begin{corrige}
		 D'après la relation de récurrence obtenue :
		 \[
		  I_3=\dfrac{\e}{2}-\dfrac12 2I_1 =\dfrac{\e}{2}-\dfrac12 (\e-1)=\dfrac12
		 \]
Et
\[
		  I_5=\dfrac{\e}{2}-\dfrac12 4I_3 =\dfrac{\e}{2}-2I_3= \dfrac{\e}{2}-1
		 \]
		\end{corrige}

\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n\geqslant 0$.
		\begin{corrige}
		 Pour $n\in\N^\star$, les fonctions $f_n$ sont positives sur $[0;1]$, alors par théorème de positivité avec les bornes dans l'ordre, on a $I_n\geqslant 0$.
		\end{corrige}

		\item Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.
		\begin{corrige}
		 Pour $n\in\N^\star$ et $x\in [0;1]$, on a
		 \begin{align*}
		  x&\leq 1\\
		  \text{~~~~~Donc~~~~~}x^{n+1}&\leq x^n \text{~~~~~Car $x^n\geq0$~~~~~}\\
		  \text{~~~~~Donc~~~~~}x^{n+1}\e^{x^2} &\leq x^n\e^{x^2}  \text{~~~~~Car $\e^{x^2}\geq0$~~~~~}
		 \end{align*}

		 Alors par intégration de l'inégalité avec les bornes dans l'ordre ($0<1$) :
		 \[
		 I_{n+1}\leq I_n
		 \]
Donc la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.
		\end{corrige}


		\item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.
		\begin{corrige}
		  $\left(I_n\right)$ est décroissante et minorée par 0 donc par théorème elle converge vers $\ell\geq 0$
		\end{corrige}

	\end{enumerate}
\item Soit $\ell$ la limite de $(I_n)$, déterminer la valeur de $\ell$.
\begin{corrige}
 De l'expression de récurrence, on déduit pour $n\in\N^\star$  :

 \[
		  \dfrac12 (n+1)I_n= \dfrac{\e}{2}-I_{n+2}
		 \]
		 Et donc

		 \[
		 I_n= \dfrac{\e}{4(n+1)}-\dfrac{I_{n+2}}{2 (n+1)}
		 \]

		 Et par passage à la limite on a :
		 $\limite{n}{\pI}\dfrac{\e}{4(n+1)}=0$,

		 $\limite{n}{\pI} I_{n+2}=\ell$ donc par quotient :
		 $\limite{n}{\pI}\dfrac{I_{n+2}}{2 (n+1)}=0$.
\vspace{1cm}
		 Il s'ensuit $\limite{n}{\pI}I_n=0$.


		 \vspace{2cm}

		 {\bf Méthode de Clarisse:}

		 On a

		  \[
		 I_n= \dfrac{\e}{4(n+1)}-\dfrac{I_{n+2}}{2 (n+1)}
		 \]

		 mais on sait d'après 4.a que $I_{n+2}\geq 0$, alors  $-\dfrac{I_{n+2}}{2 (n+1)}\leq 0$ et il s'ensuit

		 \[
		 I_n= \dfrac{\e}{4(n+1)}-\dfrac{I_{n+2}}{2 (n+1)}\leq \dfrac{\e}{4(n+1)}
		 \]

		 Alors en utilisant de nouveau 4.a on a

		 \[
		  0\leq I_n \leq \dfrac{\e}{4(n+1)}
		 \]

		 Et on termine par le théorème des gendarmes.
\end{corrige}

\end{enumerate}
\end{exercice}




\end{document}


 
