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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 8}  : Espace (45 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{12 février 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
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 \setcounter{exercice}{0}




\begin{exercice}
% Antilles sept 2020 - 10 pts

 Dans le cube $ABCDEFGH$ reproduit ci-dessous, on a placé les points $M$ et $N$ milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[BC]$. On se place dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points $H$, $M$ et $N$.
\medskip
\item \begin{enumerate}
        \item Justifier que les droites $(CD)$ et $(MN)$ sont sécantes.
        \smallskip
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(MN)$.\\


        On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(CD)$ est
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& t\\
y&=&1\\
z&=&0
\end{array}\right., \:t \in \R.\]

		\item Déterminer les coordonnées du point $K$, le point d'intersection des droites $(CD)$ et $(MN)$.
	\end{enumerate}
\medskip
\item Justifier que les points $H$, $M$, $N$ définissent un plan.
\medskip
\item Déterminer l'angle $\widehat{HMN}$ à 0,1º près.
\medskip
\item On admet que la droite $(CG)$ et le plan $(HMN)$ sont sécants. On note $L$ leur point d'intersection.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\- 2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(HMN)$.
		\smallskip
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(HMN)$.
		\smallskip
		\item En déduire les coordonnées du point $L$.
	\end{enumerate}
\medskip


\item {\bf Question bonus : } Construire les points $K$ et $L$ puis la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(HMN)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.2)(6.5,6.5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,4)(0,0)(-2,-1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0)(4,0)
\pspolygon(2,3)(-2,3)(-2,-1)(2,-1)(4,0)(4,4)%GFBCDHG
\psline(2,-1)(2,3)%DG
\psline(4,4)(0,4)(-2,3)%HEF
\psline{->}(-2,-1)(-3,-1.5)\psline{->}(4,0)(6,0)\psline{->}(0,4)(0,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,-1)(-1,-0.5)
\uput[ul](0,0){A} \uput[d](-2,-1){B} \uput[d](2,-1){C} \uput[dr](4,0){D}
\uput[ul](0,4){E} \uput[l](-2,3){F} \uput[ul](2,3){G} \uput[ur](4,4){H}
\uput[ul](-1,-0.5){M} \uput[d](0,-1){N}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{exercice}

\end{document}


 
