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 \setboolean{solution}{true}
\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 7}  : Espace (1h15)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{6 février 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}




\begin{exercice}[(15 points)]
% Bac 2024


On considère un repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ de l'espace dans lequel on place les points
\begin{center}
B(4~;~0~;~0),\quad D(0~;~4~;~0),\quad E(0~;~0~;~4) \end{center}
et les points C, F{}, G et H de sorte que le solide ABCDEFGH soit un cube.\index{géométrie dans l'espace}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8,8.6)
%\psgrid
\psframe(0.5,0.5)(6.1,6.1)%ABFE
\psline(6.1,0.5)(7.9,2.4)(7.9,8)(6.1,6.1)%BCGF
\psline(7.9,8)(2.3,8)(0.5,6.1)%GHE
\psline(0.5,6.1)(0.5,8.6)
\psline(0,8.753)(1.7,7.38)
\psline[linestyle=dashed](1.7,7.38)(8,2.321)
\psline(7.9,2.4)(8,2.321)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.3,2.4)(7.9,2.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2.3,2.4)(2.3,8)%DH
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[d](6.1,0.5){B} \uput[ur](7.9,2.4){C} \uput[ur](2.3,2.4){D}
\uput[l](0.5,6.1){E} \uput[r](6.1,6.1){F} \uput[ur](7.9,8){G} \uput[u](2.3,8){H}
\uput[u](3.3,6.1){I} \uput[ul](1.4,1.45){K}
\psdots(3.3,6.1)(1.4,1.45)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.5,0.5)(1.9,0.5)\uput[d](1.2,0.5){$\vect{\imath}$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.5,0.5)(0.95,0.975)\uput[r](0.725,0.725){$\vect{\jmath}$}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.5,0.5)(0.5,1.9)\uput[l](0.5,1.2){$\vect{k}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points C, F{}, G et H.
\item On considère le point I milieu de l'arête [EF].

Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (IC) est donnée par: \index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2+2t\\
y &=&\phantom{2 +~}4t\\
z &=&4 - 4t
\end{array}\right.\:\text{où} \:  t \in \R.\]

\item On désigne par $\mathcal{P}$ le plan orthogonal à la droite (IC) passant par le point G, et par J l'intersection de $\mathcal{P}$ avec (IC).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donnée par :
		\[x + 2y - 2z - 4 = 0.\]\index{equation de plan@équation de plan}
		\item Justifier que J a pour coordonnées $\left(\dfrac{28}{9}~;~\dfrac{20}{9}~;~\dfrac{16}{9}\right)$.

Que représente J par rapport à C ?
		\item Vérifier que le point K(0~;~2~;~0) appartient au plan $\mathcal{P}$.
		\item Justifier que (BK) est l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et (ABC).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}

		\item Déterminer le volume de la pyramide CBKG.
		 \item Justifier que $(BKG)=\calp$.
		\item Déduire (avec les 2 questions qui précèdent) que l'aire du triangle BKG est égale à $12$.
% 		\item Justifier que la droite (BG) est incluse dans $\mathcal{P}$.
		\item On note I$'$ un point de l'arête [EF], et $\calp'$ le plan orthogonal à la droite (I$'$ C) passant par G.

Peut-on affirmer que la droite (BG) est incluse dans $\calp'$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}

\newpage

\begin{exercice}[(5 points)]
% Metrople sujet 2 dévoilé. 2024
 \emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Les questions de cet exercice sont indépendantes.}

 Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\oijk$, on considère les points $A(0;4;-1)$ et $B(6;1;5)$.

 \begin{enumerate}
  \item {\bf Affirmation :} Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est
  \[ \syst{x=2+2t}{y=3-t}{z=1+2t} \]
  \item {\bf Affirmation :} On considère les droites $\cald$ et $\cald'$ dont on donne ci-dessous une représentation paramétrique :

  \[ \cald : \syst{x=3+t}{y=1+t}{z=2+t} ; ~~~ t\in \R ~~~~~~~\text{et}~~~~~~  \cald' : \syst{x=2t' \phantom{+4}}{y=4-t'}{z=-1+2t'}  ~~~ t'\in \R\]

   Alors $\cald$ et $\cald'$ ne sont pas coplanaires.
 \end{enumerate}


\end{exercice}

\begin{exerciced}
 \begin{enumerate}
  \item Dessiner un cube ainsi qu'une section par un plan de telle sorte que la section soit un hexagone régulier.
  \item Peut-on faire en sorte d'obtenir un pentagone régulier ?
 \end{enumerate}

\end{exerciced}

\end{document}


 
