\documentclass[12pt]{article}
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 \setboolean{solution}{true}
\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 5}  : Convexité (30 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{16 décembre 2024}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}




\begin{exercice}[(5 points)]
 % http://yallouz.arie.free.fr/terminale_controles/2017-2018_c2o/cont2o_2017_2018.php


Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-3)(3,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\fa{-x^4/8-2*x^3-45*x^2/4-27*x-165/8}
\def\fb{x^4/8+x^3+9*x^2/4-3/8}
\def\fc{-7*x^4/8+x^3+9*x^2/4-3/8}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-3)(3,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=1]{->}(0,0)(-8,-3)(3,7)
\uput[dl](3,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7.519}{-3}{\fa}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{0}{\fb}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{2.418}{\fc}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-7,6.375)(-5,6.375)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-6,7)(-4,3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-3.8,3)(-2.2,3)
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-2.5,4)(0.5,-2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-.5,-.375)(0.5,-.375)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(0,-2)(2,6)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(.8,3.758)(2.4,3.758)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-6,6.375)(-5,5)(-3,3)(-1,1)(0,-.375)(1,2)(1.64,3.758)
\uput[u](-6,6.375){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ur](-5,5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[u](-3,3){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[ur](-1,1){\bleu{\footnotesize{$D$}}}\uput[dl](0,-.375){\bleu{\footnotesize{$E$}}}\uput[ul](1,2){\bleu{\footnotesize{$F$}}}\uput[u](1.64,3.76){\bleu{\footnotesize{$G$}}}\uput[ul](3,-3){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item  On a $f'(1)=\dots \dots$

% \item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $D$ a pour équation $y=-2x-1$.
% \begin{enumerate}
% \item Tracer la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $D$. Le point $D$ est-il un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
% \item $f'(-1)=\dotfill$.
% \end{enumerate}
\vspace{.5cm}
\item \begin{colenumerate}{2}
       \item  $f'(-5) =\dots \dots$

 \item $f''(-5)=\dots \dots$
      \end{colenumerate}
 .
\item Compléter dans chacun des cas, par l'un des trois symboles $\leqslant$, $=$ ou $\geqslant$ :
\vspace{.5cm}
\begin{colenumerate}{4}
\item $f'(-6) \cdots 0$
\item $f''(-4) \cdots 0$
\item $f'(-4) \cdots 0$
\item $f''(1) \cdots 0$
\end{colenumerate}
\item Une des quatre courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$ et $\mathcal{C}_4$ ci-dessous est la courbe représentative de la dérivée $f'$ et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde $f{''}$.

Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f'$ et celle qui représente la dérivée seconde $f{''}$. Vous l'écrirez de manière lisible sur le graphique.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{xunit=.75cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(3,5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{.2*x^2*(x+3)*(x+6)*(1.6-x)/(x^2+107/61)}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-7,-3)(3,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-3)(3,5)
\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.81}{2.105}{\f}
\end{pspicture}&\psset{xunit=.75cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(3,5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\fa{-x^3/2-6*x^2-45*x/2-27}
\def\fb{x^3/2+3*x^2+9*x/2}
\def\fc{-7*x^3/2+3*x^2+9*x/2}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-7,-3)(3,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-3)(3,5)
\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.721}{-3}{\fa}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{0}{\fb}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1.821}{\fc}
\end{pspicture}\\
Courbe $\mathcal{C}_1$ & Courbe $\mathcal{C}_2$\\
\psset{xunit=.75cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(3,6)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\fa{-3*x^2/2-12*x-45/2}
\def\fb{3*x^2/2+6*x+9/2}
\def\fc{-21*x^2/2+6*x+9/2}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-7,-3)(3,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-3)(3,6)
\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5.732}{-3}{\fa}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{0}{\fb}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1.1778}{\fc}
\end{pspicture}&\psset{xunit=.75cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(3,6)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x+5)*(x+3)*(x+1)*(x-1)^2/16}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-7,-3)(3,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-3)(3,6)
\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5.143}{1.9667}{\f}
\end{pspicture}\\
Courbe $\mathcal{C}_3$ & Courbe $\mathcal{C}_4$\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}


\end{exercice}


\begin{exercice}[(15 points)]
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\R$ par \[f(x) = (x^2+4x+5)\e^{-x}\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ (sans les limites).
\item On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$. Montrer que \[f''(x)=(x^2-1) \e^{-x}\]
\item Étudier le signe de $f''$ et en déduire la convexité de $f$.
\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.

La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle un (ou plusieurs) point(s) d'inflexion ? Si oui, donner ses (leurs) coordonnées.

\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer la tangente $\calt$ à $\calc$ en 0.
       \item Déduire de ce qui précède la position relative de $\calt$ et $\calc$ sur $[-1;1]$.
      \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}
\end{document}


 
