\documentclass[12pt]{article}
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\newboolean{solution}
\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
                    breakable,
                    enhanced,
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\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
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                                    \par\medskip}
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 \setboolean{solution}{true}
\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 3}  : Limites de fonctions (0h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{11 novembre 2024}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
\begin{exercice}

Déterminer dans chaque cas la limite de $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}
                 ,itemsep=1cm
                 ]


\item $ \ds \dfrac{3x-5}{x^2-4x+3};$ \quad en $1^+$
\item $\dfrac{x^3\e^{x}-x^2}{x^2\e^{2x}-x}$ ; \quad en $\pI$
\item $\left(2-\dfrac{1}{\e^x}\right)^5$ ; \quad en $\mI$
\item $\dfrac{-3x^2+5x+2}{x-2}$ ; \quad en $2^-$

\end{enumerate}
\end{multicols}



\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item $\ $\\

 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $x^2-4x+3$ / 1}
{ $\mI$ , $1$ ,$3$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}

On a $\limite{x}{1} 3x-5=-2$, et d'après le tableau de signe : $\limite{x}{1^+}x^2-4x+3=0^-$.

Alors par quotient,  $\limite{x}{1^+}\ds \dfrac{3x-5}{x^2-4x+3} = \pI$.


\item

On a
 \begin{align*}
f_2(x)&=\dfrac{x^3\e^{x}(1-\dfrac{1}{x\e^{x}})}{x^2\e^{2x}(1-\dfrac{1}{x\e^{2x}})}\\
      &=\dfrac{x(1-\dfrac{1}{x\e^{x}})}{\e^{x}(1-\dfrac{1}{x\e^{2x}})}
\end{align*}


On a d'après les opérations sur les limites : $\limite{x}{\pI} 1-\dfrac{1}{x\e^{x}}=1$; $\limite{x}{\pI} 1-\dfrac{1}{x\e^{2x}}=1$

Et d'après le théorème de croissance comparée :  $\limite{x}{\pI} \dfrac{x}{\e^x} =0$

Alors finalement par produit et quotient : $\limite{x}{\pI} f_2(x)=0$.

\item  $\limite{x}{\mI} \e^x=0^+$, donc par inverse,  $\limite{x}{\mI} \dfrac{1}{\e^x} =\pI$. On déduit donc que :

$\bullet$  $\limite{x}{\mI} 2-\dfrac{1}{\e^x} =\mI$

D'autre part, par produit : $\bullet$ $\limite{X}{\mI}X^5=\mI$

Et donc par composée (avec $X=2-\dfrac{1}{\e^x}$), on a : $\limite{x}{\mI} f_3(x)=\mI$

\item On constate que $-3x^2+5x+2=(x-2)(-3x-1)$ (car 2 est racine évidente).

Alors $f_4(x)=\dfrac{(x-2)(-3x-1)}{x-2}=-3x-1$.

Il s'ensuit que $\limite{x}{2}f_4(x)=-7$.

\end{enumerate}

\end{corrige}
\end{exercice}


\begin{exercice}
 Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ qui satisfait
 \[
  x<f(x)<2x
 \]

 \begin{enumerate}
  \item Déterminer $\limite{x}{0}f(x)$

  \begin{corrige}
   $\limite{x}{0}x=\limite{x}{0}2x=0$, donc d'après le théorème des gendarmes, $\limite{x}{0}f(x)=0$.
  \end{corrige}

  \item Déterminer $\limite{x}{0^+}\dfrac{f(x)}{x^2}$

   \begin{corrige}
   Pour $x\neq 0$, on a $x^2>0$ donc par quotient,
    \[
  \dfrac1x <\dfrac{f(x)}{x^2}<2\dfrac1x
 \]

   $\limite{x}{0^+}\dfrac1x=\pI$, donc d'après le théorème de comparaison, $\limite{x}{0^+}\dfrac{f(x)}{x^2}=\pI$.
  \end{corrige}
 \end{enumerate}

\end{exercice}

\newpage


\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 3}  : Limites de fonctions (0h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{11 novembre 2024.}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}

Déterminer dans chaque cas la limite de $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}
                 ,itemsep=1cm
                 ]


\item $ \ds \dfrac{3x-5}{1-\e^x};$ \quad en $0^+$
\item $x\e^{x}-x^2$ ; \quad en $\pI$
\item $\dfrac{1}{x-1}\E^{\frac{1}{x-1}}$ ; \quad en $1^-$
\item $\dfrac{x^2-4x+3}{x-3}$ ; \quad en $3^+$


\end{enumerate}
\end{multicols}


\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item On a $1-\e^x>0 \ssi \e^0>\e^x \ssi 0>x$, on déduit alors le tableau de signes suivants :

 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $1-\e^x$ / 1}
{ $\mI$ , $0$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,+,z,-, }
\end{tikzpicture}

On a $\limite{x}{0} 3x-5=-5$, et d'après le tableau de signe : $\limite{x}{0^+}1-\e^x=0^-$.

Alors par quotient,  $\limite{x}{0^+}f_1(x) = \pI$.


\item

On a
 \begin{align*}
f_2(x)&=x\e^{x}-x^2\\
      &=x\e^{x}(1-\dfrac{x}{\e^x})
\end{align*}


On a d'après les opérations sur les limites : $\limite{x}{\pI} x\e^{x}=\pI$;

Et d'après le théorème de croissance comparée :  $\limite{x}{\pI} \dfrac{x}{\e^x} =0$,

donc  $\limite{x}{\pI} (1-\dfrac{x}{\e^x})=1$.

Alors finalement par produit  : $\limite{x}{\pI} f_2(x)=\pI$.

\item  On a :

 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $x-1$ / 1}
{ $\mI$ , $1$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,-,z,+, }
\end{tikzpicture}


D'après le tableau on a :

$\bullet$  $\limite{x}{1^-} \dfrac{1}{x-1}=\mI$.

Par croissance comparée :

$\bullet$  $\limite{X}{\mI} X\e^X =0$.


Et donc par composée (avec $X=\dfrac{1}{x-1}$), on a : $\limite{x}{\mI} f_3(x)=0$

\item On constate que $x^2-4x+3=(x-3)(x-1)$ (car 3 est racine évidente).

Alors $f_4(x)=\dfrac{(x-3)(x-1)}{x-3}=x-1$.

Il s'ensuit que $\limite{x}{3}f_4(x)=2$.

\end{enumerate}

\end{corrige}
\end{exercice}

\begin{exercice}
 Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ qui satisfait
 \[
  x^2<f(x)<2x^2
 \]

 \begin{enumerate}
  \item Déterminer $\limite{x}{\pI}f(x)$
  \begin{corrige}
   $\limite{x}{\pI}x=\limite{x}{0}x^2=\pI$,

   donc d'après le théorème de comparaison, $\limite{x}{\pI}f(x)=\pI$.
  \end{corrige}
  \item Déterminer $\limite{x}{\pI}\dfrac{f(x)}{\e^x}$

     \begin{corrige}
   On a $\e^x > 0$ donc par quotient,
    \[
  \dfrac{x^2}{\e^x} <\dfrac{f(x)}{\e^x}<2\dfrac{x^2}{\e^x}
 \]

   par inverse de la croissance comparée : $\limite{x}{\pI} \dfrac{x^2}{\e^x} =0$.

   De même, $\limite{x}{\pI} 2\dfrac{x^2}{\e^x} =0$.

   Alors d'après le théorème des gendarmes, $\limite{x}{\pI}\dfrac{f(x)}{\e^x}=0$.
  \end{corrige}
 \end{enumerate}

\end{exercice}

\end{document}


 
