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 \setboolean{solution}{true}
\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 2}  : Suites (1h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{21 octobre 2024}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 


\begin{exercice}[(7 points)]
% Lycee 2023

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par:
\[u_{n+1} = 5u_n - 4n - 3.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
% \item
% 	\begin{enumerate}
% 		\item Démontrer que $u_1 = 12$.
% 		\begin{corrige}
% 		 On a : $u_1 = 5u_0 - 4 \times 0 - 3 = 5 \times 3 - 4 - 3 = 15 - 7 = \boxed{12}$
% 		\end{corrige}
%
% % 		\item Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.
% 		\item À l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
% 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[u_n\geqslant n + 1.\]
		\begin{corrige}
		 \textbf{Initialisation} : $u_0 = 3$ et $0+1 = 1$.

$3 \geqslant 1$. La proposition est donc vraie au rang $n=0$.

\textbf{Hérédité} : On suppose la proposition vraie au rang $k \in \N$,\: $u_k \geqslant k + 1$ (hypothèse de récurrence). On va vérifier qu'alors elle est vraie au rang suivant.
% \begin{eqnarray*}
% u_k \geqslant k + 1 &\iff& 5u_k \geqslant 5(k+1)\\
% &\iff& 5u_k - 4k - 3 \geqslant 5k + 5 - 4k - 3\\
% &\iff& u_{k+1} \geqslant k + 2 = (k+1) + 1
% \end{eqnarray*}
\medskip
On a :
$u_k \geqslant k + 1$

donc  $5u_k \geqslant 5(k+1)$  ($\times 5$ avec $5>0$)


donc $5u_k - 4k - 3 \geqslant 5k + 5 - 4k - 3$  (par somme)

et donc $ u_{k+1} \geqslant k + 2 = (k+1) + 1$


Ainsi, la proposition est donc héréditaire.

\medskip
{\bf Conclusion} : la proposition est initialisée  et est héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie
		\end{corrige}

		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		\begin{corrige}
		 On a $u_n\geq n+1 $ pour tout entier $n$ et $\limite{n}{\pI}(n+1) = \pI$. Donc par théorème de comparaison, on a :
		\[\boxed{\lim_{n \to +\infty}u_n = +\infty}\]
		\end{corrige}

	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: \[v_n = u_n - n - 1.\]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
		\begin{corrige}
		  Pour $n\in\N$,
 \begin{align*}
  v_{n+1} &= u_{n+1}-(n+1) - 1\\
  &=5u_n - 4n - 3 - n - 1 - 1\\
  &=5\left(u_n - n - 1\right)\\
   &=5v_n
 \end{align*}
 La suite $\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q=5$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 - 1 = 2$.
		\end{corrige}

		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\begin{corrige}
 Puisque $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=2$, on a par propriété :
		\[\boxed{v_n = 2 \times 5^n}\]
\end{corrige}

		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
\[u_n = 2 \times 5^n + n + 1.\]

\begin{corrige}
 Pour $n\in\N$, $v_n = u_n - n - 1$, donc  $u_n = v_n + n + 1$, et donc :
		\[\boxed{u_n = 2 \times 5^n + n + 1}\]
\end{corrige}

% 		\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item
\begin{minipage}[t]{0.68\linewidth}
On considère la fonction ci-contre, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$
tel que $u_n \geqslant 10^7$.
\begin{enumerate}
		\item Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
		\item Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction ?
	\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.27\linewidth}
 \begin{lstlisting}[language=python]
def suite:
    u=3
    n=0
    while .... :
        u=....
        n=n+1
    return(n)

    \end{lstlisting}

% \begin{tabular}[t]{|l|}\hline
% def suite() :\\
% \hspace{0.75cm} u = 3\\
% \hspace{0.75cm} n = 0 \\
% \hspace{0.75cm} while \ldots :\hspace*{0.5cm}\\
% \hspace{1.25cm} \quad u = \ldots \\
% \hspace{1.25cm} \quad n = n + 1\\
% \hspace{0.75cm} return n\\ \hline
% \end{tabular}
\end{minipage}

\begin{corrige}
ligne 4 : \texttt{while u<10**7 :}

ligne 5 : \texttt{u=5*u-4*n-3}

A l'aide de la calculatrice, la valeur renvoyée par le pr0gramme est 10
\end{corrige}

\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(6 points)]
%centre etranger j2 juin 2024

\begin{enumerate}
\item

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \index{fonction racine carrée}
\[f(x) = \sqrt{x + 1}.\]

On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

 Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

\begin{corrige}
 $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on a pour $x\geq0$, $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$.

Donc par quotient, $f'(x)>0$ et donc $f$ est strictement croissante.
\end{corrige}

% \item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$ :
%
% \[f(x) - x = \dfrac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x + 1} + x}.\]
%
% \item En déduire que sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $f(x) = x$ admet pour unique solution :\index{résolution d'équation}
%
% \[\ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}.\]



\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, par

$u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.

\medskip


 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a \index{démonstration par récurrence}

\[1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.\]

 \begin{corrige}
          On montre par récurrence que pour tout $n\in\N$ : $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$

 {\bf Initialisation : } $u_0=5$, $u_1=\sqrt{6}$ et donc on a bien pour $n=0$ : $1 \leqslant u_1 \leqslant u_{0}$.

 {\bf Hérédité : } pour $k\in\N$, supposons $1 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k}$

 On a :
 \begin{eqnarray*}
  1 &\leqslant u_{k+1}& \leqslant u_{k}\\
  \text{Donc~~~~~ } f(1) &\leqslant f(u_{k+1}) &\leqslant f(u_{k}) \text{~~~~~~~~~~~(car $f$ est croissante pour $x>0$)}\\
  \text{Donc~~~~~ } \sqrt{2} &\leqslant u_{k+2} &\leqslant u_{k+1}
 \end{eqnarray*}
Et $ \sqrt{2}\geq 1$ donc on a $1 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1} \leqslant 0$ qui est la propriété au rang $k+1$.
  et l'hérédité est démontrée.

  {\bf Conclusion : } pour tout $n\in\N$ : $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
        \end{corrige}


\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. On note $\ell$ sa limite.
  \begin{corrige}
		D'après ce qui précéde, la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$, donc par théorème, elle converge vers $\ell\geq 1$
  \end{corrige}

\item Montrer que $u_{n+1}^2-u_n-1=0$ puis en déduire que $\ell^2-\ell-1=0$.
 \begin{corrige}
  Par définition de la suite $(u_n)$, on a $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$, donc en appliquant la fonction carrée, on obtient $u_{n+1}^2=u_n+1$ et finalement, on a bien $u_{n+1}^2-u_n-1=0$.

  D'après les règles d'opérations sur les limites, on a par produit et somme : $\limite{n}{\pI}u_{n+1}^2-u_n-1=\ell^2-\ell-1$ et donc on a $\ell^2-\ell-1=0$.
 \end{corrige}

\item En déduire la valeur de $\ell$.
\begin{corrige}
 Cette dernière équation est une équation de degré 2. On a le discrimant qui vaut $\Delta=5$ et on deux solutions :
 $\ell= \dfrac{1 -\sqrt 5}{2}<0$ (donc refusée car $\ell\geq 1$) et $\ell= \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}$ qui est donc la limite de $(u_n)$.
\end{corrige}

% \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell = \dfrac{1 +\sqrt 5}{2}$.
% \item On considère le script Python ci-dessous :
% \begin{center}
% {\sffamily
% %\begin{tabular}{|>{\ttfamily}l >{\ttfamily}l|}\hline
% \begin{tabular}{| l l |}\hline
% 1 &\textbf{from} math \textbf{import} *\\
% 2 &\textbf{def} seuil(n):\\
% 3 &\qquad u = 5\\
% 4 &\qquad i = $0$\\
% 5 &\qquad $\ell$ = (1 + \textbf{sqrt}(5))/2 \hspace*{1cm}\\
% 6 &\qquad \textbf{while abs}(u-$\ell$) >= 10**(-n):\\
% 7 &\qquad \qquad u = \textbf{sqrt}(u+1)\\
% 8 &\qquad \qquad i = i+1\\
% 9 &\qquad \textbf{return}(i)\\ \hline
% \end{tabular}
% }
% \end{center}
%
% \emph{On rappelle que la commande} \textbf{abs(x)} \emph{renvoie la valeur absolue de $x$}.
%
% 	\begin{enumerate}
% 		\item Donner la valeur renvoyée par {\ttfamily seuil} (2).
% 		\item La valeur renvoyée par {\ttfamily seuil} (4) est 9.
%
% Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
% 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Centres étrangers J2 6 juin 2024
\end{exercice}






\begin{exercice}[(6 points)]

Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 1$ et $v_{0} = 2$ et pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 2v_{n}}{3}	\quad \text{et}\quad	 v_{n+1} = 	\dfrac{u_{n} + 4v_{n}}{5}.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
        \item Calculer $u_1; v_1$.
        \begin{corrige}
         On a $u_1=\dfrac{1+4}{3}=\dfrac53.$ et $v_1=\dfrac{1+8}{5}=\dfrac95$.
        \end{corrige}


		\item  Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$.
		   Montrer que $(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{2}{15}$.
		   \begin{corrige}
		   Pour tout $n\in\N$ :
		     \begin{align*}
  w_{n+1} &= v_{n+1}-u_{n+1} \\
  &= v_{n+1} = 	\dfrac{u_{n} + 4v_{n}}{5} -\dfrac{u_{n} + 2v_{n}}{3} \\
  &=	\dfrac{3u_{n} + 12v_{n} -5u_{n} - 10v_{n}}{15} \\
  &=	\dfrac{2v_{n}  -2u_{n} }{15} \\
   &=\dfrac{2}{15}w_n
 \end{align*}
 En conséquence $(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{2}{15}$ avec $w_0=v_0-u_0=1$.
		   \end{corrige}

		\item En déduire la forme explicite de $(w_n)$ puis sa limite.
		  \begin{corrige}
		   Par propriété, on a alors pour tout $n\in\N$ :
		   \[
		    w_n=w_0\times q^n= \left(\dfrac{2}{15}\right)^n
		   \]
Et $-1< \dfrac{2}{15} <1$ donc par propriété : $\limite{n}{\pI}\left(\dfrac{2}{15}\right)^n =0$, donc $\limite{n}{\pI} w_n =0$.
		  \end{corrige}

		\item On admet que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent.
		Montrer qu'alors elles ont la même limite.
		\begin{corrige}
		 Soit $\ell$ la limite de $(u_n)$ et $\ell'$ la limite de $(v_n)$.

		Pour tout entier naturel $n$ on a $w_{n} = v_{n} - u_{n}$.

		Et $\limite{n}{\pI} w_n =0$, $\limite{n}{\pI} v_n =\ell'$, $\limite{n}{\pI} u_n =\ell$, donc par opérations sur les limites (somme), on a :

		\[
		 \ell'-\ell=0
		\]
Et donc $\ell=\ell'$.

		\end{corrige}

\end{enumerate}

\item {\bf Hors barême (à garder pour la fin).}. Le but est de montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.
		\begin{corrige}
		 Pour tout $n\in\N$ :
		  \begin{align*}
  u_{n+1}-u_n &= \dfrac{u_{n} + 2v_{n}}{3}-u_n   \\
  &=\dfrac{-2u_{n} + 2v_{n}}{3} \\
  &=	2w_n \\
  &> 0  ~~~~\text{(car $w_n>0$)}
 \end{align*}
 Donc $(u_n)$ est croissante.

 De même, pour tout $n\in\N$ :
 		  \begin{align*}
   v_{n+1}-v_n &= 	\dfrac{u_{n} + 4v_{n}}{5}-v_n   \\
  & =\dfrac{u_{n} -v_{n}}{5} \\
  &=	-w_n \\
  &< 0  ~~~~\text{(car $w_n>0$)}
   \end{align*}
    Donc $(v_n)$ est décroissante.
		\end{corrige}

		\item Déduire des résultats des questions précédentes que $(u_n)$ est majorée et $(v_n)$ minorée.
\begin{corrige}
 On sait que pour tout $n\in\N$ : $w_n>0$ et donc $v_n>u_n$.

 D'autre part, $(u_n)$ est croissante donc $u_n>u_0$ et $(v_n)$ est décroissante donc $v_n<v_0$.

 Alors on a pour tout $n\in\N$ :  $v_n>u_n>u_0$ donc $(v_n)$ minorée par $u_0$.

 Et $v_0>v_n>u_n$ donc $(u_n)$ majorée par $v_0$.

\end{corrige}


		\item En déduire que tes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
		\begin{corrige}
		  $(u_n)$ est croissante et majorée et $(v_n)$ est décroissante et minorée, donc par théorème,  $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $(u_n)$ converge vers $\ell'$
		\end{corrige}

	\end{enumerate}
% \item Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite.
\item Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 10v_{n}$ est constante.

En déduire la limite  commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$.

\begin{corrige}
 Pour tout $n\in\N$ :
		  \begin{align*}
  t_{n+1} &= 	3\dfrac{u_{n} + 2v_{n}}{3} +10\dfrac{u_{n} + 4v_{n}}{5} \\
  &= \dfrac{15u_n+30v_n+30u_n+120v_n}{15}  \\
  &=	\dfrac{45u_n+150v_n}{15}  \\
 &=	3u_n+10v_n  \\
 &=	t_n
 \end{align*}
 $(t_n)$ est donc stationnaire et pour tout $n\in\N$, on a $t_n=3u_0+10v_0=23$.

 On a alors d'une part $\limite{n}{\pI}t_n=23$ et d'autre part $\limite{n}{\pI}t_n=3\ell+10\ell'$

 Mais $\ell=\ell'$, donc $13\ell=23$ et $\ell=\dfrac{23}{13}$.
\end{corrige}

\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[(1 point)]
 Soit $(u_n)$ une suite satisfaisant pour tout $n\in \N$ :
 \[
  u_{n+1}+nu_n=3
 \]
Montrer que si $(u_n)$ converge, alors sa limite est nulle.

\begin{corrige}
 Soit $\ell$ la limite de $(u_n)$. On a pour $n\in\N^\star$, $\dfrac{ u_{n+1}}{n}+u_n=\dfrac{3}{n}$,

 donc $u_n=\dfrac{3}{n}-\dfrac{ u_{n+1}}{n}$.

 Et $\limite{n}{\pI}\dfrac{3}{n}=0$, et $\limite{n}{\pI} u_{n+1}=\ell$, donc par quotient $\limite{n}{\pI} \dfrac{ u_{n+1}}{n}=0$ (par opérations sur les limites).

 Alors par somme $\limite{n}{\pI}u_n=0$.

\end{corrige}

\end{exercice}


\end{document}


 
