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% \setboolean{solution}{true}
\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 1}  : Récurrence, révisions suites et fonctions (1h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 7 octobre 2024}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 

 \begin{exercice}[(3 points)] {\bf Questions Rapides : }
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la fonction dérivée sur $\R$ :
  \[
   f(x)=\dfrac{1-2\e^{x}}{3\e^{x}+1}.
  \]

  \item Déterminer les limites des suites suivantes :
\begin{enumerate}
\item $u_n=-n^2+3n+5$ ($n \in \N$)
% \item $v_n=\dfrac{(-1)^n}{n^2}$ ($n \in \N^*$)
\item $w_n=5^n-3^{2n}$ ($n \in \N$)
\end{enumerate}
 \end{enumerate}

 \end{exercice}

\begin{exercice}[(1 point)]
Le graphique suivant représente une fonction $f$. % ainsi que la première bissectrice d'équation $y=x$.
Il est également donné un réel $u_0$ sur l'axe des abscisses.
On définit $(u_n)$ par récurrence en posant $u_{n+1}=f(u_n)$, $n\in \N$.
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{enumerate}
 \item Représentez les 4 premiers termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ sur l'axe des abscisses.
 \item Conjecturez les variations de $(u_n)$.

 \dotfill
 \item Conjecturez la limite éventuelle de $(u_n)$.

  \dotfill
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{mplibcode}
  repere(-2,4.5,1cm,-1,4,1cm);
vardef f(expr x)=sqrt(2*x+4) enddef;
path C_f,sr;
C_f= courbefonc(f)();
 sr=suiterec(f,0,0,-1.5);
draw axes(1,1);
drawoptions(withpen pencircle scaled 1);
draw C_f withcolor bleu;
draw droite(1,0);
drawoptions(withcolor rouge);
% draw suiterecprojx.bot(1) dashed evenly;
% draw suiterecprojy.lft("") dashed evenly;
 draw suiterecproj("u",0,0) dashed evenly;
 marque_p:="plein";pointe((-1.5,0));
 draw sr withcolor rouge;
fin;
 \end{mplibcode}
\end{minipage}


\end{exercice}

\begin{exercice}[(4 points)]
 On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par :
\[f(x) = (ax+b)\text{e}^{cx^2}\]
où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.\\

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ ; elle passe par le point $A$ de coordonnées (0,5~;~1). La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.


\medskip
\begin{minipage}{8cm}
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $f(0)$, $f'(0)$ et $f'(1)$.
\smallskip
\item Montrer que
\[f'(x)=(2acx^2+2bcx+a)\text{e}^{cx^2}\]
\smallskip
\item Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.2)(3.2,1.8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=gray](0,0)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3.2,1.8)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{2 x  mul 2.71828 x dup mul 0.5 mul exp div}
\psline(0.8,1.6)
\psline{<->}(0.7,1.22)(1.3,1.22)
\psline(1.3,1.16)(2.3,0.27)
\uput[u](2.8,0.12){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](1.2,1.22){$T$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8](1.732,0.773)(0.5,1)
\uput[ul](0.5,1){A}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


%On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur [0~;~25] par : \[f(x) = (ax + b)%\text{e}^{- 0,2x}\]
%où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
%On a représenté également sa tangente $T$ au point A(0~;~7). $T$ passe par le point B(2~;~14,2).
%\begin{center}  \includegraphics[scale=0.4]{courbe_parametres.eps} \end{center}
\end{exercice}
\newpage
\begin{exercice}[(12 point)]
% Bac mars 2023 la reunion
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n +1} = \dfrac{6u_n + 2}{u_n +5}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
\[f(x) = \dfrac{6x + 2 }{x +5}.\]

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

%         \item En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 2$.
	\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[u_{n+1} - u_n = \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n +5}.\]


		\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
% 		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par:
\[v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}.\]

	\begin{enumerate}
% 		\item Calculer $v_0$.
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac47$.
		\item Déterminer la forme explicite de $\left(v_n\right)$ ainsi que sa limite.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a
		\[
		 u_n=\dfrac{v_n+2}{1-v_n}
		\]
        \item En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
		\item  On considère la fonction
Python seuil ci-contre, où A est un nombre réel strictement plus grand que 2.

Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande seuil (2.001) puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\begin{lstlisting}[language=python]
def seuil (A) :
  n = 0
  u = 8
  while  u > A :
     u = (6*u + 2)/(u + 5)
     n = n + 1
  return n
\end{lstlisting}
\end{center}
\end{minipage}


\end{exercice}


\begin{exerciced}
 Soit $f$ une fonction croissante sur $\R$ et $(u_n)$ une suite définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, $u_0$ étant un réel fixé.

Montrer que $(u_n)$ est monotone.


\end{exerciced}


\begin{exerciced}
 Soit $f$ une fonction décroissante sur $\R$ et $(u_n)$ une suite définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, $u_0$ étant un réel fixé.

 On  définit pour tout $n\in\N$ les deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$ par : $v_n= u_{2n}$ et $w_n= u_{2n+1}$

 Montrer que  $(v_n)$ et $(w_n)$ sont des suites monotones.


\end{exerciced}


\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 1}  : Récurrence, révisions suites et fonctions (1h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 7 octobre 2024.}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


 \begin{exercice}[(3 points)] {\bf Questions Rapides : }
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la fonction dérivée sur $\R$ :
  \[
   f(x)=\dfrac{1-3\e^{x}}{2\e^{x}+1}.
  \]

  \item Déterminer les limites des suites suivantes :
\begin{enumerate}
\item $u_n=n^2-3n+5$ ($n \in \N$)
% \item $v_n=\dfrac{(-1)^n}{n^2}$ ($n \in \N^*$)
\item $w_n=5^n-2^{2n}$ ($n \in \N$)
\end{enumerate}
 \end{enumerate}

 \end{exercice}

\begin{exercice}[(1 point)]
Le graphique suivant représente une fonction $f$. % ainsi que la première bissectrice d'équation $y=x$.
Il est également donné un réel $u_0$ sur l'axe des abscisses.
On définit $(u_n)$ par récurrence en posant $u_{n+1}=f(u_n)$, $n\in \N$.
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{enumerate}
 \item Représentez les 4 premiers termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ sur l'axe des abscisses.
 \item Conjecturez les variations de $(u_n)$.

 \dotfill
 \item Conjecturez la limite éventuelle de $(u_n)$.

  \dotfill
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{mplibcode}
  repere(-2,4.5,1cm,-1,4,1cm);
vardef f(expr x)=(x+1)**1.5 -1.5 enddef;
path C_f,sr;
C_f= courbefonc(f)(-1,4);
 sr=suiterec(f,0,0,1);
draw axes(1,1);
drawoptions(withpen pencircle scaled 1);
draw C_f withcolor bleu;
draw droite(1,0);
drawoptions(withcolor rouge);
% draw suiterecprojx.bot(1) dashed evenly;
% draw suiterecprojy.lft("") dashed evenly;
draw suiterecproj("u",0,0) dashed evenly;
 marque_p:="plein";pointe((1,0));
% draw sr withcolor rouge;
fin;
 \end{mplibcode}
\end{minipage}


\end{exercice}

\begin{exercice}[(4 points)]
 On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par :
\[f(x) = (bx+c)\text{e}^{ax^2}\]
où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.\\

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ ; elle passe par le point $A$ de coordonnées (0,5~;~1). La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.


\medskip
\begin{minipage}{8cm}
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $f(0)$, $f'(0)$ et $f'(1)$.
\smallskip
\item Montrer que
\[f'(x)=(2abx^2+2acx+b)\text{e}^{ax^2}\]
\smallskip
\item Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.2)(3.2,1.8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=gray](0,0)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3.2,1.8)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{2 x  mul 2.71828 x dup mul 0.5 mul exp div}
\psline(0.8,1.6)
\psline{<->}(0.7,1.22)(1.3,1.22)
\psline(1.3,1.16)(2.3,0.27)
\uput[u](2.8,0.12){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](1.2,1.22){$T$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8](1.732,0.773)(0.5,1)
\uput[ul](0.5,1){A}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


%On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur [0~;~25] par : \[f(x) = (ax + b)%\text{e}^{- 0,2x}\]
%où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
%On a représenté également sa tangente $T$ au point A(0~;~7). $T$ passe par le point B(2~;~14,2).
%\begin{center}  \includegraphics[scale=0.4]{courbe_parametres.eps} \end{center}
\end{exercice}
\newpage
\begin{exercice}[(12 point)]
% Bac mars 2023 la reunion
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n +1} = \dfrac{6u_n + 2}{u_n +5}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
\[f(x) = \dfrac{6x + 2 }{x +5}.\]

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

%         \item En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 2$.
	\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[u_{n+1} - u_n = \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n +5}.\]


		\item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
% 		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par:
\[v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}.\]

	\begin{enumerate}
% 		\item Calculer $v_0$.
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac47$.
		\item Déterminer la forme explicite de $\left(v_n\right)$ ainsi que sa limite.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a
		\[
		 u_n=\dfrac{v_n+2}{1-v_n}
		\]
        \item En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
		\item  On considère la fonction
Python seuil ci-contre, où A est un nombre réel strictement plus grand que 2.

Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande seuil (2.001) puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\begin{lstlisting}[language=python]
def seuil (A) :
  n = 0
  u = 8
  while  u > A :
     u = (6*u + 2)/(u + 5)
     n = n + 1
  return n
\end{lstlisting}
\end{center}
\end{minipage}


\end{exercice}


\begin{exerciced}
 Soit $f$ une fonction croissante sur $\R$ et $(u_n)$ une suite définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, $u_0$ étant un réel fixé.

Montrer que $(u_n)$ est monotone.


\end{exerciced}


\begin{exerciced}
 Soit $f$ une fonction décroissante sur $\R$ et $(u_n)$ une suite définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, $u_0$ étant un réel fixé.

 On  définit pour tout $n\in\N$ les deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$ par : $v_n= u_{2n}$ et $w_n= u_{2n+1}$

 Montrer que  $(v_n)$ et $(w_n)$ sont des suites monotones.


\end{exerciced}

\end{document}


 
