\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

\usepackage{ifthen}
\usepackage{geometry}
\geometry{hmargin=2cm,top=0.7cm,bottom=1.5cm,headheight=3.5ex,includehead,includefoot}
\setlength{\parindent}{0pt}


\usepackage{mathtools}
\usepackage{unicode-math}
\setmainfont{STIX Two Text}
\setmathfont{STIX Two Math}

\usepackage{graphicx}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{watermark}
\definecolor{lightgray}{gray}{.60}
\definecolor{lightlightgray}{gray}{.80}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\usepackage[inline]{enumitem}
\setlist[enumerate,2]{label=\alph*),leftmargin=*}

\usepackage{tabularray}
\usepackage{listofitems}

% Maths
\usepackage[output-decimal-marker={,}]{siunitx}
\usepackage[e]{esvect}
\usepackage{simples-matrices}
\usepackage{nicematrix}
\usepackage{tkz-tab}

\usepackage{lastpage}

\usepackage{luamplib}
\everymplib{verbatimtex \leavevmode etex;
            input repere;
            }


 \usepackage{babel}
     \frenchbsetup{SuppressWarning,CompactItemize=false,og=«,fg=»}
     \DecimalMathComma

\usepackage[pagestyles]{titlesec}

  \usepackage[%
              unicode,%
              pdftitle={Bac blanc LFB - 2025},%
              pdfauthor={LFB},
              colorlinks,%
              linkcolor=darkgray%
              ]{hyperref}

\newcounter{exercice}
\newcounter{ptexos}
\newenvironment{exercice}[1]{%
                          \refstepcounter{exercice}
                          \par
                          \textbf{\large Exercice \arabic{exercice}\hfill #1 points}\par\nopagebreak
                          \vspace{-0.7\baselineskip}
                          \hrulefill
                          \par\nopagebreak\medskip\nopagebreak}{\par\vspace{5\baselineskip}}

\newcounter{partie}[exercice]
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \refstepcounter{partie}
                      \par \vspace{0.5ex}\noindent
                     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
                     }\nopagebreak\par\medskip%
                     }{\par\vspace{1em}}


%\settitlemarks{section,subsection}
\newpagestyle{BB}{
  \sethead{}% odd-left
          {}% odd-center
          {}% odd-right
  \setfoot{}% odd-left
          {}% odd-center
          {\thepage{}/\pageref{LastPage}}% odd-right
               }

\pagestyle{BB}


%%%% Python
\usepackage{listings}
\lstset{basicstyle =\ttfamily,
        language=Python,%
        frame=tblr,
        rulecolor=\color[gray]{0.6},
        numbers=left,
        numberstyle=\tiny,
        }



%%%%%% Commandes mathématiques
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\oij}{\left(O~;\vect{\imath}~;\vect{\jmath}\right)}
\newcommand{\oijk}{\left(O~;\vect{\imath}~;\vect{\jmath}~;\vect{k}\right)}
\newcommand{\coord}[1]{\matrice[1]{#1}}
\newcommand{\limn}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow 0}}
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\systeme}[1]{\left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right.}

%%%%% Intervalles
\usepackage{interval}
\intervalconfig{separator symbol={~;}}
\NewDocumentCommand{\intervalleFF}{m m}{\interval[scaled]{#1}{#2}}
\NewDocumentCommand{\intervalleOF}{m m}{\interval[open left,scaled]{#1}{#2}}
\NewDocumentCommand{\intervalleFO}{m m}{\interval[open right,scaled]{#1}{#2}}
\NewDocumentCommand{\intervalleOO}{m m}{\interval[open,scaled]{#1}{#2}}
\newcommand{\oinf}{\intervalleOO{0}{+\infty}}

\newcommand{\nuple}[2][;]{\setsepchar{#1}
                  \readlist\comp{#2}
                  \left(
                  \foreachitem\cc\in\comp{\cc{}\,{\compsep[\cccnt]}\,}%
                  \!\!
                  \right)}
\NewDocumentCommand{\tuple}{r()}{\nuple{#1}}


\newboolean{solution}

\NewTColorBox{corrigeboite}{O{}}{%
   breakable,
   enhanced,
   colframe=lightlightgray,
   colback=lightlightgray,
   coltext=black,
   title=Correction :,
   coltitle=black,
   fonttitle=\bfseries,
   attach boxed title to top left,
   boxed title style={left=0pt,
      boxrule=0pt,
      colframe=white,
      colback=white,
   },#1
}


\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
{\ifthenelse{\boolean{solution}}
   {\par\medskip
      \begin{corrigeboite}[left=0pt]
  #1
      \end{corrigeboite}
      \par\medskip}
   {}
}
{}


\ifdefined\affsol
\setboolean{solution}{\affsol}
\else
\setboolean{solution}{false}
\fi



\begin{document}


\thiswatermark{\put(240,-350){%
                   \makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{%
                   \rotatebox{45}{\color{lightlightgray}BAC BLANC}}}}%
                   }

{\sffamily
\begin{center}

\begin{Large}
\textbf{BACCALAURÉAT GÉNÉRAL}

\vspace{0.7\baselineskip}

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

\vspace{0.7\baselineskip}

\textbf{SESSION 2025}
\end{Large}

\vspace{2\baselineskip}

\begin{LARGE}
\textbf{MATHÉMATIQUES}
\end{LARGE}

\vspace{3\baselineskip}

\begin{Large}
\textbf{Jour 2}
\end{Large}

\vspace{3\baselineskip}

\begin{large}
Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures}
\end{large}

\end{center}

\vfill

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

\vfill

Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.

Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages numérotées de 1/\pageref{LastPage} à \pageref{LastPage}/\pageref{LastPage}.

\vfill

\vfill

\textit{La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes
ou infructueuses, seront valorisées.}
}
\vfill

\vfill



\newpage



\begin{exercice}{4}
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Remplir la feuille annexe selon les modalités expliquées ci-dessous :
\begin{itemize}
\item  \textbf{Ne pas oublier d'écrire nom, prénom et classe dans le cadre et de noircir le code personnel.}
\item Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
\item Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève aucun point.
\item  Noircir proprement, pour chaque question, la case correspondant à la bonne réponse. En cas d'erreur, effacer à l’aide de blanc correcteur en couvrant la case cochée par erreur.
Dans ce cas, ne pas reconstituer la case effacée, cela pourrait être considéré comme une bonne réponse.
\item \textbf{Ne pas glisser le qcm dans la copie mais le rendre séparément.}
\end{itemize}
\end{exercice}

\vspace{-\baselineskip}

\begin{exercice}{5}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\oinf$ par :
\[f(x) = x \ln (x) - x - 2\]

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\oinf$.

On note $f'$ sa dérivée, $f''$ sa dérivée seconde et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $\oinf$, on a $f'(x) = \ln (x)$.

  \begin{corrige}
  $f$ est dérivable sur $\oinf$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables et, pour tout $x\in\oinf$ :
  \[ f'(x)=1\times\ln(x)+x\times\frac{1}{x}-1=\ln(x)+1-1=\boxed{\ln(x)} \]
  \end{corrige}

  \item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point
d'abscisse $x = \e$.

\begin{corrige}
L'équation réduite de la tangente $T$ est : $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$.

On a $f'(\e)=\ln(\e)=1$ \quad et \quad $f(\e)=\e\ln(\e)-\e-2=\e-\e-2=-2$.

Ainsi : \fbox{$T:y=x-\e-2$}
\end{corrige}

  \item Justifier que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\oinf$.

  \begin{corrige}
  $f'$ est dérivable sur $\oinf$ et, pour tout $x\in\oinf$ : \[ f''(x)=\frac{1}{x} \]
  Pour tout $x\in\oinf$, $f''(x)>0$ donc \fbox{$f$ est convexe sur $\oinf$.}
  \end{corrige}

  \item En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$.

  \begin{corrige}
$f$ est convexe sur $\oinf$ donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes.

Ainsi \fbox{$\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la tangente $T$.}
  \end{corrige}

 \end{enumerate}
\item
 \begin{enumerate}
  \item Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$.
\begin{corrige}
$  \left.%
  \begin{aligned}
   \limo x\ln(x)=0 \text{ (Croissance comparée)}\\
   \limo -x-2=-2
  \end{aligned}
  \right\rbrace$
  donc, par somme, \fbox{$\limo f(x)=-2$.}
\end{corrige}

  \item Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $+\infty$.

  \begin{corrige}
  Pour tout $x\in\oinf$, $f(x)=x(\ln(x)-1)-2$.

$  \left.%
  \begin{aligned}
   \limpinf x=+\infty\\
   \limpinf \ln(x)-1=+\infty
  \end{aligned}
  \right\rbrace$
  donc, par produit, $\limpinf x(\ln(x)-1)=+\infty$.

  Conclusion : \fbox{$\limpinf f(x)=+\infty$}
  \end{corrige}

 \end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\oinf$.

\begin{corrige}
La fonction $\ln$ s'annule en 1, est négative sur $\intervalleOO{0}{1}$ et positive sur $\intervalleOO{1}{+\infty}$. On en déduit le tableau ci-dessous :
   \begin{center}
   \small
   \begin{tikzpicture}
   \tikzset{t style/.style = dashed}
   \tkzTabSetup[doubledistance=2pt]
   \tkzTabColors[backgroundcolor=lightlightgray]
   \tkzTabInit[espcl=3,
               lgt=2,
               deltacl=0.4]
   {$x$ /0.7,
   Signe de\\ $f'(x)$ /1.1,
   Variations\\ de $f$ /2}
   {$0$,$1$,$+\infty$}
   \tkzTabLine{d,-,z,+, }
   \tkzTabVar{D+/$-2$,-/$-3$,+/$+\infty$}
   \end{tikzpicture}
   \end{center}

\end{corrige}

\item
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans
l'intervalle $\oinf$. On note $\alpha$ cette solution.

\begin{corrige}
Sur $\intervalleFO{1}{+\infty}$ :

\begin{NiceTabular}{l\}}
$f$ est dérivable donc continue sur $\intervalleFO{1}{+\infty}$\\
$f$ est strictement croissante sur $\intervalleFO{1}{+\infty}$\\
$f(1)= -3 $, $\limpinf f(x)=+\infty$ et $0\in\intervalleFO{-3}{+\infty}$
\end{NiceTabular}
\parbox{0.45\linewidth}{donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intervalleFO{1}{+\infty}$.}

Sur $\intervalleOF{0}{1}$ :

$f$ est strictement décroissante sur $\intervalleOF{0}{1}$ et $\limo f(x)=-2<0$ donc $f$ ne s'annule pas sur $\intervalleOF{0}{1}$

Conclusion :

\fbox{l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans
l'intervalle $\oinf$.}
\end{corrige}

  \item Justifier que le réel $\alpha$ appartient à l'intervalle $\intervalleOO{4,3}{4,4}$.

  \begin{corrige}
  $f(4,3)\approx -0,028<0$ et $f(4,4)\approx 0,119>0$. Ainsi \fbox{$\alpha\in\intervalleOO{4,3}{4,4}$}
  \end{corrige}

  \item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\oinf$.

  \begin{corrige}
  À l'aide des variations de $f$ et de la question précédente, on obtient le signe de $f$ :
   \begin{center}
   \small
   \begin{tikzpicture}
   \tikzset{t style/.style = dashed}
   \tkzTabSetup[doubledistance=2pt]
   \tkzTabColors[backgroundcolor=lightlightgray]
   \tkzTabInit[espcl=3,
               lgt=2,
               deltacl=0.4]
   {$x$ /0.7,
   Variations\\ de $f$ /2,
   Signe de\\ $f(x)$ /1.2}
   {$0$,$1$,$\alpha$,$+\infty$}
   \tkzTabVar{D+/$-2$,-/$-3$,R,+/$+\infty$}
   \tkzTabVal{2}{4}{0.5}{}{$0$}
   \tkzTabLine{d,,-,,0,+,}
   \end{tikzpicture}
   \end{center}
  \end{corrige}
 \end{enumerate}
\item On considère la fonction \lstinline!seuil! suivante écrite dans le langage Python :

On rappelle que la fonction \lstinline!log! du module \lstinline!math! (que l'on suppose importé)
désigne la fonction logarithme népérien $\ln$.

\begin{center}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{lstlisting}
def seuil(pas):
    x = 4.3
    while x*log(x) - x - 2 < 0:
        x = x + pas
    return x
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

Quelle est la valeur renvoyée à l'appel de la fonction \lstinline!seuil(0.01)! ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

\begin{corrige}
La valeur renvoyée à l'appel de la fonction \lstinline!seuil(0.01)! est $4,32$. Il s'agit de la plus petite valeur dont l'image est positive lorsqu'on parcourt les réels par pas de $0,01$ à partir de $4,3$. C'est donc la valeur approchée par excès de $\alpha$ à $0,01$ près.
\end{corrige}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}{5}
\begin{partie}\label{foncf}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervalleFO{1}{+\infty}$ par
\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\]
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\begin{enumerate}
%\item Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervalleFO{1}{+\infty}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout nombre réel $x \geqslant 1$, $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

  \begin{corrige}
  Pour tout nombre réel $x \geqslant 1$,
  \[ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\times x-\ln(x)\times1}{x^2}=\boxed{\frac{1-\ln(x)}{x^2}} \]
  \end{corrige}

  \item Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.

 \begin{center}
    \small
    \begin{tikzpicture}
    \tikzset{t style/.style = dashed}
    \tkzTabInit[
                espcl=3,
                lgt=2,
                deltacl=0.5]
    {$x$ /0.7,
    Signe de\\$f'(x)$ /1.2}
    {$1$,$\e$,$+\infty$}
    \tkzTabLine{,+,z,-,}
    \end{tikzpicture}
 \end{center}

 \begin{corrige}
 Pour tout nombre réel $x>1$, $x^2>0$. $f'(x)$ est donc du signe de $1-\ln(x)$ sur $\intervalleFO{1}{+\infty}$.
 \begin{itemize}[label=\textbullet]
 \item $1-\ln(x) > 0 \iff \ln(x)<1 \iff x<\e$ (fonction exponentielle croissante sur $\R$)
 \item $1-\ln(x) < 0 \iff \ln(x)>1 \iff x>\e$ (fonction exponentielle croissante sur $\R$)
  \item $1-\ln(x) = 0 \iff \ln(x)=1 \iff x=\e$
 \end{itemize}

 Les trois résultats ci-dessus justifient le tableau de signes de $f'(x)$.
 \end{corrige}

  \item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.

  \begin{corrige}
  On déduit de la question précédente le tableau ci-dessous :
     \begin{center}
     \small
     \begin{tikzpicture}
     \tikzset{t style/.style = dashed}
     \tkzTabColors[backgroundcolor=lightlightgray]
     \tkzTabInit[espcl=3,
                 lgt=2,
                 deltacl=0.4]
     {$x$ /0.7,
      Signe de\\ $f(x)$ /1.2,
     Variations\\ de $f$ /2}
     {$1$,$\e$,$+\infty$}
    \tkzTabLine{,+,z,-,}
     \tkzTabVar{-/$0$,+/$\e^{-1}$,-/$0$}
     \end{tikzpicture}
     \end{center}
  \end{corrige}
 \end{enumerate}
%\item Soit $k$ un nombre réel positif ou nul.
% \begin{enumerate}
  \item Montrer que l'équation $f(x) = \frac{1}{4}$ admet une unique solution sur l'intervalle $\intervalleFO{1}{\e}$.
\begin{corrige}
\begin{NiceTabular}{l\}}
$f$ est dérivable donc continue sur $\intervalleFF{1}{\e}$\\
$f$ est strictement croissante sur $\intervalleFF{1}{\e}$\\
$f(1)=0 $ et $f(\e)\approx 0,368$ donc $\frac{1}{4}\in\intervalleFF{f(1)}{f(\e)}$
\end{NiceTabular}
\parbox{0.5\linewidth}{donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x) = \frac{1}{4}$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intervalleFF{1}{\e}$.}
\end{corrige}

%  \item Si $k > \dfrac{1}{\e}$, l'équation $f(x) = k$ admet-elle des solutions sur l'intervalle $\intervalleFO{1}{+\infty}$ ?

%Justifier.
% \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{partie}

\begin{partie}

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[g(x) = \e^{\frac{x}{4}}\]

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = \e^{\frac{u_n}{4}}$ c'est-à-dire : $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\R$.

\begin{corrige}
$g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $g'(x)=\frac{1}{4}\e^{\frac{x}{4}}>0$.

donc \fbox{$g$ est strictement croissante sur $\R$.}
\end{corrige}

\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant  u_{n+1} \leqslant \e$.

  \begin{corrige}
   \begin{itemize}[itemsep=1ex]
   \item Initialisation : On a $u_0=1$ et $u_1=\e^{\frac{1}{4}} \approx 1,28$ donc $ u_0<u_1\leqslant\e$.

   L'inégalité est vraie pour $n=0$.
    \item Hérédité : Soit $p\in\N$. Supposons $ u_{p} < u_{p+1} \leqslant \e$.

    $g$ est  strictement croissante sur $\R$ donc $f(u_{p})<f(u_{p+1})\leqslant g(\e)$

   ainsi $u_{p+1}<u_{p+2}\leqslant \e^{\frac{\e}{4}}\leqslant \e$. Car $ \e^{\frac{\e}{4}}\approx1,97$

   La propriété est héréditaire.

    \item Conclusion : \fbox{Pour tout $n\in\N$, $u_n <u_{n+1} \leqslant \e $.}
   \end{itemize}

  \end{corrige}
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

 \begin{corrige}
 D'après la question précédente, $(u_n)$ est croissante et majorée par $\e$ donc \fbox{$(u_n)$ est convergente.}
 \end{corrige}
\end{enumerate}

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell$ est solution de l'équation :
\[\e^{\frac{x}{4}} = x\]

\begin{enumerate}[resume]
\item En déduire que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = \dfrac{1}{4}$, où $f$ est la fonction étudiée dans
la partie \ref{foncf}.

\begin{corrige}
Remarque : Si un réel $x$ est solution de $\e^{\frac{x}{4}} = x $ alors $x>0$.

\medskip
On a alors :

$\e^{\frac{x}{4}} = x \iff \ln\left(\e^{\frac{x}{4}}\right)=\ln(x) \iff \frac{x}{4}=\ln(x) \iff \frac{1}{4}=\frac{\ln(x)}{x} \iff f(x)=\frac{1}{4}$

 \fbox{$\ell$ est donc solution de l'équation $f(x) = \dfrac{1}{4}$}
\end{corrige}

\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.

\begin{corrige}
À l'aide de la calculatrice, on trouve \fbox{$\ell\approx 1,43$}
\end{corrige}
\end{enumerate}

\end{partie}
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}{6}
Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d'une pyramide $EFGHS$.
On a  $DC= 6$,\:\: $ DA = DH= 4$.

Soit les points $I$, $J$ et $K$ tels que :
$\vect{DI} = \dfrac{1}{6}\vect{DC}, \quad \vect{DJ} = \dfrac{1}{4}\vect{DA},\quad \vect{DK} = \dfrac{1}{4}\vect{DH}$.

On note $\vect{\imath} = \vect{DI},\:\vect{\jmath} = \vect{DJ},\: \vect{k} = \vect{DK}$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(D~;\vect{\imath}~;\vect{\jmath}~;\vect{k}\right)$.

On admet que le point $S$ a pour coordonnées $\nuple{3;2;6}$.
\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-1,7,0.9cm,-1,6,0.9cm);
pair A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,i,j,k,S,P,Q;
D=(3.6,1.5);H=(3.6,4.7);A=(6,1.1);C=(0.3,0.7);
I-D=i=(C-D)/6;J-D=j=(A-D)/4;K-D=k=(H-D)/4;
B=A+6i;
E-A=F-B=G-C=4k;
S=(3.1,5.6);
P=(4.3,4.8);Q=(4.3,5.35);
drawoptions(epaisseur 1);
draw A--E--F--G--C--B--A;
draw B--F;
draw A--D--C dashed evenly;
draw E--H--G dashed evenly;
draw D--H dashed evenly;
draw S--G; draw S--F; draw S--E;
draw S--H dashed evenly;
draw P--Q;
marque_p:="";
nomme.rt(A);nomme.bot(B);nomme.lft(C);nomme.bot(D);
nomme.rt(E);nomme.llft(F);nomme.lft(G);nomme.urt(H);
nomme.top(S);
nomme.bot(P);nomme.top(Q);
draw vecteur.ulft(D,i) epaisseur 2;
draw vecteur.urt(D,j) epaisseur 2;
draw vecteur.urt(D,k) epaisseur 2;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, sans justifier, les coordonnées des points $B$, $E$, $F$ et $G$.

\begin{corrige}
Par lecture graphique, on a : \fbox{$B\tuple(6;4;0)$, $E\tuple(0;4;4)$, $F\tuple(6;4;4)$ et $G\tuple(6;0;4)$}
\end{corrige}

\item Démontrer que le volume de la pyramide $EFGHS$ représente le septième du volume total de la maison.
On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule :
\[V = \dfrac{1}{3} \times (\text{aire de la base}) \times  \text{hauteur}\]

\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item Pyramide

$\mathcal{V}_{EFGHS}=\frac{1}{3}\times \mathcal{A}_{EFGH}\times h=\frac{1}{3}\times6\times4\times2=16$

\item Maison

$\mathcal{V}_{\text{Maison}}=\mathcal{V}_{ABCDEFGH}+\mathcal{V}_{EFGHS}=4\times4\times6+16=112$
\end{itemize}

On a alors $\dfrac{\mathcal{V}_{EFGHS}}{\mathcal{V}_{\text{Maison}}}=\dfrac{16}{112}=\dfrac{1}{7}$

\fbox{Le volume de la pyramide $EFGHS$ représente le septième du volume total de la maison.}
\end{corrige}

\item
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\coord{0,1,1}$ est normal au plan $(EFS)$.

  \begin{corrige}
  On a $\vect{EF}\coord{6,0,0}$ et $\vect{ES}\coord{3,-2,2}$
  \begin{itemize}[label=\textbullet]
  \item $\vect{n}\cdot \vect{EF}=0\times6+1\times0+1\times0=0$
  \item $\vect{n}\cdot \vect{ES}=0\times3+1\times(-2)+1\times2=0$
  \end{itemize}
  Le vecteur $\vect{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $(EFS)$.

  Conclusion : \fbox{$\vect{n}$ est normal au plan $(EFS)$.}
  \end{corrige}

  \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est $y + z - 8 = 0$.

\begin{corrige}
 $\vect{n}\coord{0,1,1}$ est normal à $(EFS)$ donc une équation cartésienne de $(EFS)$ est de la forme :

 $y+z+d=0$.

 De plus $E\in(EFS)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation.

 On a donc : $y_E+z_E+d=0$ donc $4+4+d=0$ soit $d=-8$

 \fbox{Une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est : $y+z-8=0$.}
\end{corrige}

 \end{enumerate}
\item On installe une antenne sur le toit, représentée par le segment $[PQ]$. On dispose des données suivantes:
\begin{itemize}
\item le point $P$ appartient au plan $(EFS)$ ;
\item le point $Q$ a pour coordonnées $\nuple{2;3;5,5}$ ;
\item la droite $(PQ)$ est dirigée par le vecteur $\vect{k}$.
\end{itemize}
 \begin{enumerate}
  \item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est :
  \[ \left\{
  \begin{aligned}
  x&= 2\\
  y&=3\\
  z&=5,5+t
  \end{aligned}
  \right.\quad t\in\R\]


\begin{corrige}
  La droite $(PQ)$ passe par $Q\tuple(2;3;5,5)$ et a pour vecteur directeur $\vect{k}\coord{0,0,1}$.

  Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc : \fbox{$\systeme{x&=2\\y&=3\\z&=5,5+t}$ \quad $t\in\R$}

\end{corrige}

  \item En déduire les coordonnées du point $P$.

\begin{corrige}
$P$ est le point d'intersection de la droite $(PQ)$ et du plan $(EFS)$.
    \[ \begin{aligned}
    P\tuple(x;y;z) \in (PQ) \cap (EFS) & \Leftrightarrow \exists t\in\R, \systeme{&x=2\\&y=3\\&z=5,5+t\\&y+z-8=0}
     \Leftrightarrow \exists t\in\R, \systeme{&x=2\\&y=3\\&z=5,5+t\\&3+5,5+t-8=0}\\
     &\Leftrightarrow \exists t\in\R, \systeme{t&=-0,5\\x&=2\\y&=3\\z&=5}
    \end{aligned} \]

    Le point $P$ a pour coordonnées : \fbox{$P\tuple(2;3;5)$.}

\end{corrige}

  \item En déduire la longueur $PQ$ de l'antenne.

  \begin{corrige}
  $PQ=\sqrt{(2-2)^2+(3-3)^2+(5,5-5)^2}=\boxed{0,5}$
  \end{corrige}

 \end{enumerate}
\item Un oiseau vole en suivant une trajectoire modélisée par la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :
  \[ \left\{
  \begin{aligned}
  x&= -4+6s\\
  y&=7-4s\\
  z&=2+4s
  \end{aligned}
  \right.\quad s\in\R\]

Déterminer la position relative des droites $(PQ)$ et $\Delta$.

L'oiseau va-t-il percuter l'antenne représentée par le segment $[PQ]$ ?


\begin{corrige}
On étudie l'existence d'un éventuel point d'intersection des deux droites.
\[ \begin{aligned}
M\tuple(x;y;z)\in (PQ)\cap \Delta & \Leftrightarrow \exists t,s \in\R \quad \systeme{x&=2=-4+6s\\y&=3=7-4s\\z&=5,5+t=2+4s}\Leftrightarrow \exists t,s \in\R \quad \systeme{s&=1\\s&=1\\5,5+t&=2+4}\\
 & \Leftrightarrow \exists t,k \in\R \quad \systeme{s&=1\\t&=0,5}
\end{aligned} \]

Les deux droites admettent donc un unique point d'intersection $M$ (elles sont sécantes) dont on obtient les coordonnées en remplaçant la valeur de $t$ dans la représentation paramétrique de $(PQ)$ (ou de $s$ dans celle de $\Delta$).

\fbox{$(PQ)$ et $\Delta$ sont sécantes en $M\tuple(2;3;6)$}

\bigskip

On a $\vect{PQ}\coord{0,0,{0,5}}$ et $\vect{PM}\coord{0,0,1}$ donc $\vect{PM}=2\vect{PQ}$ donc $M$ n'appartient pas au segment $[PQ]$.

Conclusion : \fbox{L'oiseau ne va pas percuter l'antenne}
\end{corrige}

\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}