\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}
% \usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte
\usepackage[light,math]{kurier}
  \usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm} % pour les fontes de maths
\geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1.5cm}

\usepackage{xcolor}



\usepackage{xcolor}
\usepackage[skins,breakable]{tcolorbox}
\definecolor{Couleur1}{rgb}{0.7,0,0}
\definecolor{Couleur2}{rgb}{1,0.6,0}
\newboolean{solution}
\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
                    breakable,
                    enhanced,
                    colframe=Couleur2!5,
                    colback=Couleur2!5,
                    coltext=Couleur1,
                    title=Correction :,
                    coltitle=Couleur1,
                    fonttitle=\bfseries,
                    attach boxed title to top left,
                    boxed title style={left=0pt,
                                       boxrule=0pt,
                                       colframe=white,
                                       colback=white,
                                       },
                    }


\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
                               {\ifthenelse{\boolean{solution}}
                                   {\par\medskip
                                    \begin{corrigeboite}
                                    #1
                                    \end{corrigeboite}
                                    \par\medskip}
                                   {}
                               }
                               {}

\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 14 : }$ Intégrales (2h)}{}{T\up{ale} }{29 avril 2024}

\setcounter{exercice}{0}




% \emph{L'usage de la calculatrice est autorisé.}

\begin{exercice}[(7 points)]
 Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt :

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-2.)(5.,1.)
\pscustom[linewidth=0.8pt,fillcolor=lightgray!60,fillstyle=solid]{\psplot{-1.57}{4.6}{EXP(-x)*(-COS(x)+SIN(x)+1.0)}\lineto(4.6,0)\psplot{4.6}{-1.57}{-EXP(-x)*COS(x)}\lineto(-1.57,0)\closepath}
\psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-1.57}{4.6}{EXP(-x)*(-COS(x)+SIN(x)+1.0)}
\psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-1.57}{4.6}{-EXP(-x)*COS(x)}
\end{pspicture*}
\end{center}

Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
\[f(x) = \text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\text{~~et~~} g(x) = -\text{e}^{-x}\cos x\]
On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\R$.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Étude de la fonction $f$ :}

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout $x\in\R$ : $-\text{e}^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\text{e}^{-x}$.
\medskip
\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
\medskip
\item Démontrer que, pour tout $x\in\R$, $f'(x)=\text{e}^{-x}(2\cos x-1)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
\medskip
\item Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~\pi]$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-\pi~;~\pi]$.
		\smallskip
		\item En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi~;~\pi]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Aire du logo :} On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. L'unité graphique est de 2 centimètres.\\

\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_g$ sur $\R$.
\medskip
\item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par : \[H(x)=\left(-\frac{\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}-1\right)\text{e}^{-x}\]

On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x=-\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
        \item Montrer que $H$ est une primitive de la fonction\\ $d: x\mapsto (\sin x+1)\text{e}^{-x}$ sur $\R$.
        \smallskip
		\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique.
		\smallskip
		\item Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm\up{2}.
		\smallskip
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.1)(5.1,3.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.1)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-2}{5}{(1+sin(x)-cos(x))*2.71828^(-x)}
\uput[u](1.5,0.4){$\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{-cos(x)*2.71828^(-x)}
\uput[d](1.5,0){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{minipage}
\end{exercice}

\newpage 


\begin{exercice}[(5,5 points)]

Soit $f$ définie sur $\R_+$ par 
\[
 f(x)=\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}
\]
\begin{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}

 \item Montrer que pour tout $x \geq 0$ on a $e^{-x}\leq e^{x}$.
\item Montrer que $f$ est décroissante sur $\R_+$ et dresser le tableau de  variations (complet) de $f$ sur $[0;\pI[$.
\end{enumerate}
\item  Pour $n$ entier naturel, on considère 
\[
I_n=\int_n^{n+1} f(x) dx
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n \in \N$, $I_n\geq 0$.
 \item Montrer que pour tout $n \in \N$
\[
 f(n+1)\leq I_n\leq f(n)
\]
\item En déduire que $(I_n)$ est décroissante.
\item Montrer que $(I_n)$ converge.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(8 points)]
% Ex4 sujet 2 annales 2009 amerique du nord juin 2008
On considère les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ non nul par :
\[ x_{n} = \int_{0}^1 t^n \cos t\:\text{d}t \quad \text{et}\quad  y_{n} = \int_{0}^1 t^n \sin t\:\text{d}t .\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(x_{n}\right)$ est à termes positifs.
		\item Étudier les variations de la suite $\left(x_{n}\right)$.
		\item Que peut-on en déduire quant \`a la convergence de la suite $\left(x_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, ~$x_{n} \leqslant \dfrac{1}{n+1}$. 
		\item  En déduire la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
\[ 
x_{n+1} = -(n + 1)y_{n} + \sin (1). 
\]

		\item  En déduire que $\limite{n}{+ \infty} y_{n} = 0$.
		\item  Déterminer alors $\limite{n}{\infty} n y_{n}.$
	\end{enumerate}
% \item	On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $y_{n+1} = (n + 1)x_{n} - \cos (1)$.\\
% D\'eterminer $\limite{n}{+\infty} n x_{n}$ et $\limite{n}{\infty} n y_{n}.$
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exerciced}
 
Soit $g$ la foncion définie pour tout $x$ strictement positif par 
\[
g(x)=\int_0^{\ln x} \dfrac{e^t}{1+e^{2t}} \dt
\]
On admet que $g$ est bien définie et dérivable sur $\R_+^\star$.

On ne cherchera pas à calculer cette intégrale.
\begin{enumerate}
% \item Montrer que $g$ est bien définie.
\item 
Déterminer ls fonction dérivée $g'$ de $g$.
\item Soit $h : x \mapsto g(\tan x)$ définie sur $\R^\star_+$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la dérivé $h'$ de $h$.
\item En déduire  que pour tout $x>0$, on a 
\[
g(\tan x) = x -\dfrac{\pi}{4}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exerciced}


\end{empfile}
\end{document}


 
