\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule.tex}
% \usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte
\usepackage[light,math]{kurier}
  \usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm} % pour les fontes de maths
\geometry{a4paper,hmargin=1.8cm,vmargin=1.5cm}

\usepackage{xcolor}



\usepackage{xcolor}
\usepackage[skins,breakable]{tcolorbox}
\definecolor{Couleur1}{rgb}{0.7,0,0}
\definecolor{Couleur2}{rgb}{1,0.6,0}
\newboolean{solution}
\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
                    breakable,
                    enhanced,
                    colframe=Couleur2!5,
                    colback=Couleur2!5,
                    coltext=Couleur1,
                    title=Correction :,
                    coltitle=Couleur1,
                    fonttitle=\bfseries,
                    attach boxed title to top left,
                    boxed title style={left=0pt,
                                       boxrule=0pt,
                                       colframe=white,
                                       colback=white,
                                       },
                    }


\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
                               {\ifthenelse{\boolean{solution}}
                                   {\par\medskip
                                    \begin{corrigeboite}
                                    #1
                                    \end{corrigeboite}
                                    \par\medskip}
                                   {}
                               }
                               {}

\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 13 : }$ Test intégrales (30 min)}{}{T\up{ale} }{22 avril 2024.}

\setcounter{exercice}{0}




% \emph{L'usage de la calculatrice est autorisé.}

\begin{exercice}
 Calculer les intégrales suivantes :
  \begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect I_{\arabic*} = \ $},
                 itemsep=1cm]
          
%   \item  $\ds\int_1^\E \dfrac{1+\ln x}{x}\, dx$
%   \item  $\ds\int_0^\frac{\pi}{2} (2t+1)\sin t\dt$
   \item  $\ds\int_0^1 \dfrac{\e^{-x}}{\e^{-x}+1}\, dx$
  \item  $\ds\int_0^\frac{\pi}{2} (t+2)\cos t\dt$  
%  \item  $\ds\int_0^3 x\E^{-x^2} \, dx $
%  \item  $\ds\int_1^\E \dfrac{\E^{x}}{(\E^x+1)^3}\, dx$
%   \item $\ds\int_0^1 \dfrac{2}{(3x+1)^4}\, dx$
% 
%  \item $\ds\int_1^2 \dfrac{x^3}{x^4+1}\, dx$
%  \newpage
%  \item $\ds\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x)\E^{\sin(2x)} \,dx$
%    \item $\ds\int_0^1 \sqrt{\E^{1+4x}} \,dx$
 \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
On considère la suite $(I_n)$ définie pour $n\in \N$ par 
\[
 I_n=\int_0^1 x^n e^{x^2}\dx
\]

\begin{enumerate}
 \item Montrer que $(I_n)$ est décroissante.
 \item Montrer que pour tout $x\in [0;1]$ et pour tout $n\in\N$, on a :
 \[
  x^n\leq x^n \e^{x^2} \leq \e x^n 
 \]
 \item En déduire que pour $n\in \N$ :
 \[
  \dfrac{1}{n+1}\leq I_n\leq  \dfrac{\e}{n+1}
 \]
\item Que peut-on en déduire pour $(I_n)$ ?

\end{enumerate}

\end{exercice}



% 
% \begin{exercice}
% On considère la suite $(I_n)$ définie pour $n\in \N$ par 
% \[
%  I_n=\int_1^\e (\ln x)^n\dx
% \]
% 
% \begin{enumerate}
%  \item Montrer que $(I_n)$ est une suite positive.
%  \item Montrer que pour tout $x\in [1;\e]$ et pour tout $n\in\N$, on a :
%  \[
%   (\ln x)^{n+1} \leq (\ln x)^n  
%  \]
%  \item En déduire que $(I_n)$ est décroissante.
%  
% \item Avec une majoration adéquate de  $(\ln x)^n$, montrer que pour tout $n\in\N$, on a $I_n\leq \e -1$.
% 
% 
% \end{enumerate}
% 
% \end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
