\documentclass[11pt]{article}
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  \usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm} % pour les fontes de maths
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\usepackage{xcolor}
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\definecolor{Couleur2}{rgb}{1,0.6,0}
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                    colback=Couleur2!5,
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\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
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                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 12 : }$ Equations différentielles (45 min)}{}{T\up{ale} }{8 avril 2024}

\setcounter{exercice}{0}




% \emph{L'usage de la calculatrice est autorisé.}

\begin{exercice}
 Résouddre : 
 $2y'-3y=1$~~~~~~~avec $y(0)=3$.
\end{exercice}

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\begin{exercice}
{\bf Partie A : Cas particulier}

On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E}) : \quad  y'+ y = \cos x.\]

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $u$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $u(x) = \dfrac{\sin x + \cos x }{2}$ est une solution de (E).
\item Résoudre l'équation différentielle (E$_{0}) : \quad  y'+ y = 0$.
\item Démontrer qu'une fonction $v$, définie et dérivable sur $\R$, est solution de (E) si et seulement si $v - u$ est solution de (E$_{0}$).
\item En déduire toutes les solutions de (E).
\item Déterminer la fonction $f_{2}$, solution de (E), qui prend la valeur $1$ en $0$.
\end{enumerate}

{\bf Partie B : Généralisation} 

On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E}) : \quad  y'+ay=\varphi\]


où $\varphi$ est unje fonction définie sur $\R$.

On admet que l'on dispose d'une solution particulière $u$ de l'éqution $(E)$. C'est-à-dire : 

pour tout $x\in \R$, on a :

\[
 u'(x)'+au(x)=\varphi(x)
\]

On note $(E_0)$, l'équation homogène associée (c'est-à-dire sans second membre) :

\[(E_0) : \quad  y'+ay=0\]

\begin{enumerate}
 \item Donner sans aucun type de justification les solutions $f$ de $(E_0)$.
 \item Démontrer qu'une fonction $v$,  est solution de (E) si et seulement si il existe $f$ solution de $(E_0)$ telles que $v - u=f$.
\item En déduire le thèorème suivant :

\begin{theoreme*}
 Les solutions d'une équation différentielle $(\text{E}) : \quad  y'+ay=\varphi$, sont la somme d'une solution particulière de $(\text{E})$ et d'une solution générale de $(E_0)$.
\end{theoreme*}

\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exerciced}
On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par :

\[
 \varphi(x)=\int_x^{x^2+x} \e^{t^2} \dt
\]


Vous ne chercherez pas à calculer cette intégrale. C'est impossible.

Déterminer la dérivée $\varphi'$ de $\varphi$. 
\end{exerciced}


\newpage

\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 12 : }$ Equations différentielles (45 min )}{}{T\up{ale} }{8 avril 2024.}

\setcounter{exercice}{0}




% \emph{L'usage de la calculatrice est autorisé.}

\begin{exercice}
 Résouddre : 
 $3y'-2y=2$~~~~~~~avec $y(0)=3$.
\end{exercice}

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\begin{exercice}
{\bf Partie A : Cas particulier}

On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E}) : \quad  y'- y = \cos x.\]

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $u$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $u(x) = \dfrac{\sin x - \cos x }{2}$ est une solution de (E).
\item Résoudre l'équation différentielle (E$_{0}) : \quad  y'- y = 0$.
\item Démontrer qu'une fonction $v$, définie et dérivable sur $\R$, est solution de (E) si et seulement si $v - u$ est solution de (E$_{0}$).
\item En déduire toutes les solutions de (E).
\item Déterminer la fonction $f_{2}$, solution de (E), qui prend la valeur $1$ en $0$.
\end{enumerate}

{\bf Partie B : Généralisation} 

On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E}) : \quad  y'+ay=\varphi\]


où $\varphi$ est unje fonction définie sur $\R$.

On admet que l'on dispose d'une solution particulière $u$ de l'éqution $(E)$. C'est-à-dire : 

pour tout $x\in \R$, on a :

\[
 u'(x)'+au(x)=\varphi(x)
\]

On note $(E_0)$, l'équation homogène associée (c'est-à-dire sans second membre) :

\[(E_0) : \quad  y'+ay=0\]

\begin{enumerate}
 \item Donner sans aucun type de justification les solutions $f$ de $(E_0)$.
 \item Démontrer qu'une fonction $v$,  est solution de (E) si et seulement si il existe $f$ solution de $(E_0)$ telles que $v - u=f$.
\item En déduire le thèorème suivant :

\begin{theoreme*}
 Les solutions d'une équation différentielle $(\text{E}) : \quad  y'+ay=\varphi$, sont la somme d'une solution particulière de $(\text{E})$ et d'une solution générale de $(E_0)$.
\end{theoreme*}

\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exerciced}
On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par :

\[
 \varphi(x)=\int_x^{x^2+x} \e^{t^2} \dt
\]


Vous ne chercherez pas à calculer cette intégrale. C'est impossible.

Déterminer la dérivée $\varphi'$ de $\varphi$. 
\end{exerciced}

\end{empfile}
\end{document}


 
