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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spécial BB
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\renewenvironment{exercice}[1][]{%
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                      \vspace{2em}
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                     \quad \hrulefill \quad #1} \par\nobreak\vspace{0.5em}
                     }{\par \vspace{.5em}
			}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thiswatermark{\put(230,-350){%
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                   \rotatebox{45}{\color{lightgray}SPECIALITE MATHS}}}}%
                   }


\vfill
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\centering\begin{Huge}BACCALAURÉAT GÉNÉRAL\end{Huge}\par
\end{minipage}}


\vfill

\begin{large} 21 mars 2024 \end{large}

\vfill

\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}

\vfill

\begin{Large}Série S\end{Large}

\vfill

\begin{large}\textbf{Durée de l'épreuve : 4 heures}

\textbf{Coefficient : 16}\end{large}

\vfill

\begin{large}\textit{Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à \pageref{LastPage}}
\end{large}
\end{center}

\vfill

{\setlength{\fboxsep}{1em}
\setlength{\fboxrule}{1pt}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}
\begin{large}L'emploi des calculatrices est autorisé, dans les conditions prévues par la réglementation en vigueur.


\vspace{\baselineskip}
Le candidat doit traiter les quatre exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\end{large}
\end{minipage}}}

\vfill
\newpage



\begin{exercice}[(5 points)]
  %metropole juin 2014
\begin{minipage}{10cm}
 Dans l'espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des 
triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA].  

\medskip

On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}, \vect{\text{AC}}, \vect{\text{AD}}\right)$ de l'espace.

\medskip 
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{center}
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture*}(-1.8,-2.1)(3.5,3.5)
    % \psframe(-1.8,-2.1)(3.5,3.5)
    % \psgrid(-4,-4)(4,4)
    \pspolygon(-1.6,-1.6)(0,3)(3,0) % triangle BDC
    % droite (DF)
    % m = (-0.8-3)/0.7 = -3.8/0.7 = -5.429
    % y = -5.429 x + 3
    \psplot{-0.2}{1}{-5.429 x mul 3 add}
    \psset{linestyle=dashed}
    \psline(0,3)(0,0)(3,0) % D-A-C
    \psline(0,0)(-1.6,-1.6) % A-B
    % marquage des points
    \psdots(0,3)(0,0)(1.5,0)(3,0)(-0.8,-0.8)(-1.6,-1.6)(0.7,-0.8)
    % etiquettes des points
    \uput[ur](0,3){$D$} \uput[ul](0,0){$A$} 
    \uput[ur](1.5,0){$G$} \uput[dr](3,0){$C$} 
    \uput[ul](-0.8,-0.8){$E$} \uput[dr](-1.6,-1.6){$B$} 
    \uput[dr](0.7,-0.8){$F$}
  \end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{P}$ le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF). 

On note H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (DF). 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des points D et F. 
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite (DF). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$. 
		\item Calculer les coordonnées du point H. 
		\item Démontrer que l'angle $\widehat{\text{EHG}}$ est un angle droit. 
	\end{enumerate}
\item On désigne par $M$ un point de la droite (DF) et par $t$ le réel tel que $\vect{\text{D}M} = t\vect{\text{DF}}$. On note $\alpha$ la mesure en radians de l'angle géométrique $\widehat{\text{E}M\text{G}}$ (on a donc $\alpha \in [0;\pi]$). 

Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ pour que $\alpha$ soit maximale. 
\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(t)= \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}$. 
		
		\medskip
		
		Montrer que $M\left(\dfrac{t}{2};\dfrac{t}{2};-t+1 \right)$ et en déduire $M\text{E}^2 = f(t)$.
		
		\medskip
		
		\item Démontrer que le triangle $M$EG est isocèle en $M$.
		
		En déduire que $\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\dfrac{1}{M\text{E}}$. 
		
		\medskip
		
		\item On admet que $\alpha$ est maximal si et seulement si $\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right)$ est maximal. 

En déduire que $\alpha$ est maximal si et seulement si $M\text{E}$ est minimal.

\medskip

		\item Etudiez la fonction $f$ et conclure. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\newpage
\begin{exercice}[(5 points)]
 
Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$, définie sur $]0~;~ +\infty[$ ,par:

\[f(x) = 3x - x \ln (x) - 2 \ln (x).\]\index{fonction logarithme}

\smallskip

\textbf{PARTIE A: Étude d'une fonction auxiliaire }\boldmath $g$ \unboldmath

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = 2(x - 1) - x \ln (x).\]\index{fonction logarithme}

On note $g'$ la fonction dérivée de $g$. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $g(1)$ et $g(\text{e})$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + 0} g(x)$ en justifiant votre démarche.\index{limite de fonction}
\item Montrer que, pour tout $x > 0$,\: $g'(x) = 1 - \ln (x)$.\index{dérivée}

En déduire le tableau des variations de $g$ sur $]0~;~ +\infty[$.\index{tableau de variations}
\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions distinctes sur
$]0~;~ +\infty[$ : 

1 et $\alpha$ avec $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[\text{e}~;~+\infty[$.

On donnera un encadrement de $\alpha$ à 0,01 près.\index{valeurs intermédiaires}
\item En déduire le tableau de signes de $g$ sur $]0~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On considère dans cette partie la fonction $f$, définie sur $]0~;~ +\infty[$,par 

\[f(x) = 3x - x \ln (x)- 2\ln (x).\]\index{fonction logarithme}

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de cette fonction $f$ est donnée dans le repère $\oij$ ci-dessous. On admet que : $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = + \infty$.

\begin{center}
\psset{unit=0.82cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-2.01)(16,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](0,-2)(16,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-1.95)(16,5.95)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-1.95)(16,5.95)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{16}{x 3 mul x ln x 2 add mul sub}
\uput[ur](10.5,2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[u](15.75,0){$x$}
\uput[l](0,5.75){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ en justifiant votre démarche.\index{limite de fonction}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout $x > 0$,\: $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$.\index{dérivée}
		\item En déduire le tableau des variations de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$.\index{tableau de variations}
	\end{enumerate}	
\item On admet que, pour tout $x > 0$, la dérivée seconde de $f$, notée $f''$, est définie par $f''(x) = \dfrac{2 - x}{x^2}$.

Étudier la convexité de $f$ et préciser les coordonnées du point
 d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.\index{convexité}\index{point d'inflexion}
\end{enumerate}

\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[(5 points)]
  % 2021 mars
On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l !{=} l}
u_0		& v_0 = 1\\
u_{n+1}	&  u_n +v_n\\
v_{n+1}	&  2u_n + v_n
\end{array}\right.\]

Dans toute la suite de l'exercice, on \textbf{admet} que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ \textbf{sont strictement positives}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculez $u_1$ et $v_1$.
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $v_n \geqslant 1$.
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant  n + 1$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n$ :

\[r_n = \dfrac{v_n}{u_n}.\]

On admet que:

\[r_n^2 = 2 + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :

\[- \dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}.\]
		\item En déduire :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(- 1)^{n+1}}{u_n^2}.\]

		\item Déterminer la limite de la suite $\left(r_n^2\right)$ et en déduire que $\left(r_n\right)$ converge vers $\sqrt{2}$.
		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n$,

\[r_{n+1} = \dfrac{2 + r_n}{1 + r_n}.\]

		\item On considère le programme suivant écrit en langage Python :
		
		
\begin{lstlisting}[language=python]
 def seuil() :
 n=0
 r=1
 while abs(r-sqrt(2))>10**(-4) :
    r = (2+r)/(1+r)
    n = n+1
return n
\end{lstlisting}

\smallskip

(abs désigne la valeur absolue, sqrt la racine carrée et 10** (-4) représente $10^{-4}$).

La valeur de $n$ renvoyée par ce programme est 5.

 À quoi correspond-elle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[(5 points)]
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Il s'agit de remplir la feuille annexe selon les modailités expliquées ci-dessous :

\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
 
\item Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.


\item Vous devez {\bf noircir proprement la case pour chaque question}, correspondant à la bonne réponse. 
Si vous vous trompez, effacez à l'aide de blanco en couvrant la case cochée par erreur. 
Dans ce cas, {\bf ne reconstituez pas la case effacée, cela pourrait être considéré comme une bonne réponse} 

\item Pensez à écrire vos noms, prénom et classe dans le cadre et à noircir votre code.

\end{enumerate}

\end{exercice}



\end{document}


 
