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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spécial BB
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\renewenvironment{exercice}[1][]{%
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                     \par
                      \vspace{2em}
                     {\bfseries {\Large Exercice \arabic{exercice}}
                     \quad \hrulefill \quad #1} \par\nobreak\vspace{0.5em}
                     }{\par \vspace{.5em}
			}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thiswatermark{\put(230,-350){%
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                   \rotatebox{45}{\color{lightgray}SPECIALITE MATHS}}}}%
                   }


\vfill
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\centering\begin{Huge}BACCALAURÉAT GÉNÉRAL\end{Huge}\par
\end{minipage}}


\vfill

\begin{large} 20 mars 2024 \end{large}

\vfill

\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}

\vfill

\begin{Large}Série S\end{Large}

\vfill

\begin{large}\textbf{Durée de l'épreuve : 4 heures}

\textbf{Coefficient : 16}\end{large}

\vfill

\begin{large}\textit{Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à \pageref{LastPage}}
\end{large}
\end{center}

\vfill

{\setlength{\fboxsep}{1em}
\setlength{\fboxrule}{1pt}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}
\begin{large}L'emploi des calculatrices est autorisé, dans les conditions prévues par la réglementation en vigueur.


\vspace{\baselineskip}
Le candidat doit traiter les quatre exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\end{large}
\end{minipage}}}

\vfill
\newpage


\begin{exercice}[(5 points)]
 % liban juin 2017
 
\parbox{0.5\linewidth}{On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-contre.\index{géométrie dans l'espace}

Les arêtes sont de longueur 1.

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{D}~;~\vect{\text{DA}},~\vect{\text{DC}},~\vect{\text{DH}}\right)$.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(9,8)
%\psgrid
\psline(0.5,0.8)(5.3,0.3)(7.4,1.4)(7.4,6.7)(5.3,5.6)(5.3,0.3)%ABCGFB
\psdots(0.5,0.8)(5.3,0.3)(7.4,1.4)(2.6,1.9)(7.4,6.7)(5.3,5.6)(0.5,6.1)(2.6,7.2)(3.95,3.75)
%(4.3,4.05)
\psline(5.3,5.6)(0.5,6.1)(0.5,0.8)%FEA
\psline(7.4,6.7)(2.6,7.2)(0.5,6.1)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.8)(2.6,1.9)(2.6,7.2)%ADH
\psline[linestyle=dashed](2.6,1.9)(7.4,1.4)%DC
\psline[linestyle=dashed](2.6,1.9)(5.3,5.6)%DMF
\uput[l](0.5,0.8){A} \uput[d](5.3,0.3){B} \uput[r](7.4,1.4){C} 
\uput[ul](2.6,1.9){D} \uput[ul](0.5,6.1){E} \uput[u](5.3,5.6){F} 
\uput[ur](7.4,6.7){G} \uput[u](2.6,7.2){H} \uput[dr](3.95,3.75){$M$} 
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{DF}}$ est normal au plan (EBG).\index{vecteur normal}
\item Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).\index{equation de plan@équation de plan}
\item En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG).

On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan (AHC) a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3} \right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], on associe le point $M$ du segment [DF] tel que 

$\vect{\text{D}M} = x\vect{\text{DF}}$. 

On s'intéresse à l'évolution de la mesure $\theta$ en radian de l'angle $\widehat{\text{EMB}}$ lorsque le point $M$ parcourt le segment [DF]. On a $0 \leqslant  \theta \leqslant \pi$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que vaut $\theta$ si le point $M$ est confondu avec le point D ? avec le point F ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les coordonnées du point $M$ sont $(x~;~x~;~x)$.

		\item Montrer que $\cos (\theta) = \dfrac{3x^2 - 4x + 1}{3x^2 - 4x + 2}$. On pourra pour cela s'intéresser au produit scalaire des
vecteurs $\vect{M\text{E}}$ et $\vect{M\text{B}}$.\index{produit scalaire}
	\end{enumerate}
\item On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction 
	
	\[f \::\: x \longmapsto \dfrac{3x^2 - 4x + 1}{3x^2 - 4x + 2}.\]
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,3.6)
%\psgrid	
\psframe(9.5,3.6)	\psline(0,3)(9.5,3)\psline(2,0)(2,3.6)
\uput[u](1,2.9){$x$} \uput[u](2.1,2.9){$0$} \uput[u](4.5,2.9){$\frac{1}{3}$} \uput[u](7,2.9){$\frac{2}{3}$} \uput[u](9.4,2.9){$1$} 
\rput(1,1.75){Variations}
\rput(1,1.25){de $f$}
\uput[d](2.1,3){$\frac{1}{2}$}\rput(4.5,1.5){$0$}\uput[u](7,0){$- \frac{1}{2}$}\uput[d](9.4,3){$0$}
\psline{->}(2.4,2.6)(4.2,1.65)\psline{->}(4.8,1.3)(6.6,0.4)
\psline{->}(7.4,0.4)(9.2,2.65)
\end{pspicture}
\end{center}

Pour quelles positions du point $M$ sur le segment [DF] :
	\begin{enumerate}
		\item le triangle $M$EB est-il rectangle en $M$ ?
		\item l'angle $\theta$ est-il maximal ?
	\end{enumerate}% \hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\newpage
\begin{exercice}[(5 points)]
 
Pour tout réel $k$ strictement positif, on désigne par $f_{k}$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ telle que : 

\[f_{k}(x) = kx\text{e}^{-kx}.\]
 
On note $\mathcal{C}_{k}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $\oij$.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude du cas}~\boldmath $k = 1$\unboldmath 

\medskip

On considère donc la fonction $f_{1}$ définie sur $\R$ par 

\[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x}.\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote que l'on précisera. 
\item Étudier les variations de $f_{1}$ sur $\R$ puis dresser son tableau de variation sur $\R$. 
% \item Démontrer que la fonction $g_{1}$ définie et dérivable sur $\R$ telle que : 
% 
% \[g_{1}(x) = - (x + 1)\text{e}^{- x}\]
%  
% est une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\R$. 
% \item Étudier le signe de $f_{1}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
% \item Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{1}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 10$. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : Propriétés graphiques} 

\medskip

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{a}$ et $\mathcal{C}_{b}$ où $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à $\mathcal{C}_{b}$ au point O origine du repère.
 
\begin{center}
\psset{unit=7cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.2)(1.4,0.65)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=gray,subgridcolor=gray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(-0.25,-0.19)(1.39,0.65)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{-0.1}{1.4}{2 x mul  2.71828 x 2 mul exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{-0.1}{1.4}{10 x mul  2.71828 x 10 mul exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{-0.1}{1.4}{3 x mul  2.71828 x 3 mul exp div}
\psplot{-0.1}{1.4}{3 x mul}
\uput[l](0.17,0.5){$T$}\uput[dl](0.28,0.18){$\mathcal{C}_{a}$}
\uput[d](0.68,0.26){$\mathcal{C}_{b}$}
\uput[ur](0.9,0.3){$\mathcal{C}_{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif, les courbes 
$\mathcal{C}_{k}$ passent par un même point.
\item  
	\begin{enumerate}
			\item Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif et tout réel $x$ on a 
			
			\[f'_{k}(x) = k(1 - kx)\text{e}^{- kx}.\]
			 
			\item Justifier que, pour tout réel $k$ strictement positif, $f_{k}$ admet un maximum et calculer ce maximum. 
			\item En observant le graphique ci-dessus, comparer $a$ et 2. Expliquer la démarche. 
			\item Écrire une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{k}$ au point O origine du repère. 
			\item En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de $b$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[(5 points)]
 
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac15 u_n^2$.\index{suites}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item Recopier et compléter la fonction ci-dessous écrite en langage Python.
Cette fonction est nommée \emph{suite\_u} et prend pour paramètre l'entier naturel $p$.

Elle renvoie la valeur du terme de rang $p$ de la suite $\left(u_n\right)$.\index{script python}

\begin{center}
\begin{tabular}{l}
\texttt{def suite\_u(p) :}\\
	\quad \texttt{u= \ldots}\\
	\quad \texttt{for i in range(1,\ldots) :}\\
	\quad \quad \texttt{u =\ldots}\\
	\quad \texttt{return u}\\
	\end{tabular}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\: $0 < u_n \leqslant 4$.\index{récurrence}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{suite convergente}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie l'égalité $\ell = \dfrac15 \ell^2$.
		\item En déduire la valeur de $\ell$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \ln \left(u_n\right)$ et $w_n = v_n - \ln (5)$.\index{fonction logarithme}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $v_{n+1} = 2v_n - \ln (5)$.
		\item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison 2.\index{suite géométrique}
		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $w_n$ en fonction de $n$ et montrer que $v_n = \ln \left(\dfrac45 \right) \times 2^n + \ln (5)$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n$ et retrouver $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$.\index{limite de suite}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(5 points)]
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Il s'agit de remplir la feuille annexe selon les modailités expliquées ci-dessous :

\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
 
\item Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.


\item Vous devez {\bf noircir proprement la case pour chaque question}, correspondant à la bonne réponse. 
Si vous vous trompez, effacez à l'aide de blanco en couvrant la case cochée par erreur. 
Dans ce cas, {\bf ne reconstituez pas la case effacée, cela pourrait être considéré comme une bonne réponse} 

\item Pensez à écrire vos noms, prénom et classe dans le cadre et à noircir votre code.

\end{enumerate}

\end{exercice}





\end{document}


 
