\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
% \usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte
\usepackage[light,math]{kurier}
  \usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm} % pour les fontes de maths
\geometry{a4paper,hmargin=1.8cm,vmargin=1.5cm}

\usepackage{xcolor}



\usepackage{xcolor}
\usepackage[skins,breakable]{tcolorbox}
\definecolor{Couleur1}{rgb}{0.7,0,0}
\definecolor{Couleur2}{rgb}{1,0.6,0}
\newboolean{solution}
\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
                    breakable,
                    enhanced,
                    colframe=Couleur2!5,
                    colback=Couleur2!5,
                    coltext=Couleur1,
                    title=Correction :,
                    coltitle=Couleur1,
                    fonttitle=\bfseries,
                    attach boxed title to top left,
                    boxed title style={left=0pt,
                                       boxrule=0pt,
                                       colframe=white,
                                       colback=white,
                                       },
                    }


\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
                               {\ifthenelse{\boolean{solution}}
                                   {\par\medskip
                                    \begin{corrigeboite}
                                    #1
                                    \end{corrigeboite}
                                    \par\medskip}
                                   {}
                               }
                               {}

\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 10 : }$ Proba, suites, fonction (1h)}{}{T\up{ale} }{13 mars 2024}

% \devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 7}$  : Espace et QCM général (1h)}{}{T\up{ale} }{}
\setcounter{exercice}{0}




% \emph{L'usage de la calculatrice est autorisé.}


\begin{exercice}
 % antilles sept 2011
 
 
Un site internet propose des jeux en ligne.
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
Pour un premier jeu : 
\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est égale à $\dfrac{2}{5}$. 
\item[$\bullet~~$] si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à $\dfrac{4}{5}$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout entier naturel non nul $n$, on désigne par $G_{n}$ l'évènement \og l'internaute gagne la $n$-ième partie \fg{} et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $G_{n}$.
 
L'internaute gagne toujours la première partie et donc $p_{1} = 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.75pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$G_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{G_{n}}$}\tbput{$1 - p_{n}$}}
	  {
		  \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	  
	  }
	
}
\end{center}

\vspace{0,5cm} 

\item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}$.  
\item Pour tout $n$ entier naturel non nul, on pose $u_{n} = p_{n} - \dfrac{1}{4}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$  est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $u_{1}$ à préciser. 
		\item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n - 1}  + \dfrac{1}{4}$. 
		\item Déterminer la limite de $p_{n}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip
 
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10~parties. 

On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
 
La probabilité de gagner chaque partie est égale à $\dfrac{1}{4}$. 

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier. 
		\item Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près. 
		\item Déterminer l'espérance de X.
	\end{enumerate} 
\item Le joueur doit payer 30~\euro{} pour jouer les 10~parties. 
Chaque partie gagnée lui rapporte 8~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur. 
		\item Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40~\euro. Le résultat sera arrondi à $10^{-5}$ près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}$\ $\\
% 2018 amerique du nord

\parbox{0.6\linewidth}{Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir
$\theta$ par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse
pas $1,6$ mètre.

Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air mais dans un
fluide, le modèle parabolique usuel n'est pas adopté.

On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un
plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie
sur l'intervalle [0~;~1[ par:

\[f(x) = bx + 2\ln (1- x)\]\index{fonction logarithme}

où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l'abscisse
du projectile, $f(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.}
\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{
\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(1.1,1.7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(1.1,1.7)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(1.1,1.7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.932}{5.69 x mul 1 x sub ln 2 mul add}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0.4,1.5)
\psarc(0,0){0.15}{0}{72}
\end{pspicture*}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~1[. On note $f'$ sa fonction dérivée.

On admet que la fonction $f$ possède un maximum sur l'intervalle [0~;~1[ et que, pour tout réel
$x$ de l'intervalle [0~;~1[ :\index{maximum}

\[f'(x) = \dfrac{- bx + b - 2}{1 - x}.\]

Montrer que le maximum de la fonction $f$ est égal à $b - 2 + 2\ln \left(\dfrac{2}{b}\right)$.
\item  Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $b$ la hauteur maximale du projectile ne dépasse
pas $1,6$~mètre.
\item  Dans cette question, on choisit $b = 5,69$.

L'angle de tir $\theta$ correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la
fonction $f$ au point d'abscisse $0$ comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus.\index{tangente}

Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\theta$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exerciced}
 Soit $f$ une fonction paire et dérivable sur $\R$.
 
 Montrer que $f'$ est une fonction impaire.
\end{exerciced}



\end{empfile}
\end{document}


 
