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\begin{document}
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\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
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                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
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\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 9 : }$ Exercice de suites (1h)}{}{T\up{ale} }{6 mars 2024}

% \devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 7}$  : Espace et QCM général (1h)}{}{T\up{ale} }{}
\setcounter{exercice}{0}




% \emph{L'usage de la calculatrice est autorisé.}
\begin{exercice}
% 2018 sept antille Guyanne

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$, et pour tout entier naturel $n$,\index{suite}

\[u_{n+1} = \text{e} \times \sqrt{u_n}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
		
\[1 \leqslant u_n \leqslant  \text{e}^2.\]

\begin{corrige}
		On montre par récurrence que pour tout $n\in\N$ : $1 \leqslant u_n \leqslant  \text{e}^2$
		
		 {\bf Initialisation : } On a bien pour $n=0$ : $1\leq u_0\leq \e^2$, car $u_0=1$.
 
 {\bf Hérédité : } Pour $k\in\N$, supposons $1\leq u_k \leq \e^2$
 
 On a : 
 \begin{eqnarray*}
  1 \leq& u_k &\leq \e^2\\
  \text{Donc~~~~~ } 1 \leq & \sqrt{u_k} &\leq \e \text{~~~~~~~~~~~(car $x\mapsto \sqrt{x}$ est croissante)}\\
  \text{Donc~~~~~ } \e \leq & e\sqrt{u_k} &\leq \e^2 \text{~~~~~~~~~~~(Par produit avec $\e>0$) }\\
  \text{Donc~~~~~ } \e \leq & u_ {k+1} &\leq \e^2
 \end{eqnarray*}

  {\bf Conclusion : }  pour tout $n\in\N$ : $1 \leqslant u_n \leqslant  \text{e}^2$
  
		\end{corrige}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
		\begin{corrige}
		La fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est croissante, donc en l'appliquant à l'inégalité précédente, il vient $1\leq \sqrt{u_n}\leq \e$ et en particulier $\e-\sqrt{u_n}\geq 0$.
		
		\medskip
		 
		 Pour $n\in \N$ :  $u_{n+1}-u_n =\e\sqrt{u_n}-u_n =\sqrt{u_n}(\e-\sqrt{u_n})$
		 
		 \medskip
		 
		 et d'après les inégalités précédentes $\sqrt{u_n}\geq 0$ et $\e-\sqrt{u_n}\geq 0$, donc par produit $u_{n+1}-u_n\geq 0$.
		 
		 \medskip
		 
		 Ainsi la suite $(u_n)$ est croissante.

		\end{corrige}

		\item En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
		
		\begin{corrige}
		 La suite $(u_n)$ est donc croissante et majorée par $\e^2$ donc elle converge vers $\ell\in[1;\e^2]$
		\end{corrige}

	\end{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on pose
	
\[v_n = \ln \left(u_n\right) - 2.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.\index{suite géométrique}
		\begin{corrige}
		 Pour tout $n\in\N$ :
		 \begin{align*}
		  v_{n+1}&=\ln \left(u_{n+1}\right) - 2\\
		         &=\ln \left(e\sqrt{u_n}\right) - 2\\
		         &=1+ \dfrac{1}{2}\ln \left(u_{n}\right) - 2\\
		         &=\dfrac{1}{2}\ln \left(u_{n}\right) - 1\\
		         &=\dfrac{1}{2}(\ln \left(u_{n}\right) - 2)\\
		         &=\dfrac{1}{2} v_n
		 \end{align*}

		 Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$ et premier terme $v_0=\ln u_0 -2=-2$.
		\end{corrige}

		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

\[v_n = - \dfrac{1}{2^{n-1}}.\]
		\begin{corrige}
		 D'après ce qui prèceède, on a par propriété : 
		 
		 Pour tout $n\in\N$ :
		 \[
		  v_n=v_0 q^n =-2 \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = - \dfrac{1}{2^{n-1}}
		 \]

         
		\end{corrige}

		\item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
		
		\begin{corrige}
		 On a pour tout $n\in\N$ : 
		 \begin{align*}  
		 v_n = \ln \left(u_n\right) - 2 &\ssi \ln \left(u_n\right) =  2 +v_n \\
                                        &\ssi u_n =  \e^{2 +v_n} \\
                                        &\ssi u_n =  \e^{2 - \frac{1}{2^{n-1}}} \\
		 \end{align*}
		\end{corrige}

		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		\begin{corrige}
		 On a $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc par théorème, $\limite{n}{\pI} \frac{1}{2^{n-1}} =0$.
		 
		 On a alors $\limite{n}{\pI} 2 - \frac{1}{2^{n-1}} =2$ et donc par composée avec la fonction exponenetielle : 
		 
		 \[\limite{n}{\pI} u_n =\e^2\]
		\end{corrige}

 	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on s'interroge sur le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ si l'on choisit d'autres valeurs que 1 pour $u_0$.
	
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en
justifiant.\index{vrai-faux}
	
\medskip
	
\textbf{Affirmation 1} : \og Si $u_0 = \np{2024}$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \fg
	
\textbf{Affirmation 2} : \og Si $u_0 = 2$, alors pour tout entier naturel $n$,\: $1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^2$. \fg
	
\textbf{Affirmation 3} : \og La suite $\left(u_n\right)$ est constante si et seulement si 
$u_0 = 0$. \fg
\end{enumerate}
\begin{corrige}
 Dans cette question, comme $u_0$ change, toute la suite change et tout les résultats de la question précédente deviennent caduques. Faire un dessin avec $f(x)=\e\sqrt{x}$ et $y=x$, permet d'avoir une bonne vision de ce qu'il se passe pour la suite selon la valeur de $u_0$.

 \textbf{Affirmation 1} : Si $u_0 = \np{2024}$, alors $u_1=\e\sqrt{2024}$ et donc $u_1<u_0$ donc $(u_n)$ n'est pas croissante.
 
\textbf{Affirmation 2} :   Si $u_0 = 2$, alors l'Initialisation de la récurence de la partie précédent est valable et donc on a bien pour tout $n\in \N$ : 
\[ 1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^2\]

\textbf{Affirmation 3} : C'est faux, en effet, pour $u_0=0$, la suite est stationnaire, mais aussi pour $u_0=\e^2$...
\end{corrige}

\end{exercice}

\begin{exercice}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[f(x)=\cos x-\left( 1-\dfrac{x^2}{2} \right)\]
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $f'$.
 \item Déterminer $f''$.
 \item Étudier les variations de $f'$. Calculer $f'(0)$ et en déduire le signe de $f'$.
 \item Dresser le tableau de variations de $f$.
 \item En déduire que :
 \[\forall x\in\R,\quad 1-\dfrac{x^2}{2}\leq \cos x\]
\end{enumerate}
\end{exercice}



\end{empfile}
\end{document}


 
