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\begin{document}
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\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
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\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 6}$  : Fonctions et Probabilités (2h)}{}{T\up{ale} }{17 janvier 2024}



\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
%  12, 11non,10, 9non, 8tb mais non,7jsp,6,5,4non, 3non
\begin{exercice}[(6 points)]
 % Bac 2023 polynesie
 
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

Les utilisateurs de vélo d'une ville sont classés en deux catégories disjointes:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
\item[$\bullet~~$]ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.
\end{itemize}

\medskip

Un sondage donne les résultats suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]21\,\% des utilisateurs ont moins de 35 ans.

Parmi eux, 68\,\% utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l'utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
\item[$\bullet~~$]parmi les 35 ans ou plus, seuls 20\,\% utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l'utilisent uniquement pour leurs loisirs.
\end{itemize}

On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.

Dans tout l'exercice on considère les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$J$ : \og la personne interrogée a moins de 35 ans \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$T$ : \og la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$\overline{J}$ et $\overline{T}$ sont les évènements contraires de $J$ et $T$.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire un arbre pondéré représentant la situation.
\begin{corrige}
 D'après l'énoncé et la loi des noeuds, on a :
 \begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep=1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$J$~}\taput{0,21}}
	{\TR{$T$}\taput{0,32}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,68}
	}
\pstree{\TR{$\overline{J}$~}\tbput{0,79}}
	{\TR{$T$}\taput{0,2}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,8}
	}
}
\end{center}
\end{corrige}

\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de $35$~ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.
\begin{corrige}
 On a $P(J\cap T)=P(J)P_J(T)=0,21\times0,32=0,0672$
\end{corrige}


\item Calculer la valeur exacte de la probabilité de $T$.
\begin{corrige}
 $J$, $\overline{J}$ forment une partition de l'univers donc d'après la formule des probabilités totales, on a :
 \begin{align*}
  P(T)&=P(J\cap T)+P(\overline{J}\cap T)\\
        &=P(J)P_J(T)+P(\overline{J})P_{\overline{J}}(T)\\
        &=0,21\times0,32+0,79\times0,2\\
        &=0,2252
 \end{align*}
\end{corrige}
\item On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.

Démontrer que la probabilité qu'il ait moins de 35 ans est $0,30$ à $10^{-2}$ près.
\begin{corrige}
 On a $P_T(J)=\dfrac{P(J\cap T)}{P(J)}=\dfrac{0,0672}{0,2252}\simeq 0,3$
\end{corrige}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels.

\medskip

On admet que 30\,\% d'entre elles ont moins de $35$~ans.

On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de $120$~personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire.

On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

\medskip

On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.

\medskip

$X$ représente le nombre de personnes de l'échantillon ayant moins de $35$~ans.

\medskip

\emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
\begin{corrige}
 \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
  \item On a une expérience de Bernoulli qui consiste à choisir un individu au hasard et dont l'issue succés est \og L'individu est une personne de moins de 35 ans \fg~ avec pour probabilité 0,3.
  \item On répète 120 fois cette expérience de manière indépendante.
 \end{enumerate}
 Alors par théorème la bariable $X$ qui compte le nombre de succés suit une loi binomiale de paramètres $n=120$ et $p=0,3$.

\end{corrige}

\item Déterminer la probabilité que $30$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de $35$~ans. Vous donnerz un arrondi à $10^{-3}$.
\begin{corrige}
 $P(X=30)=\cp{30}{120}0,3^{30} 0,7^{90}\simeq 0,04$
\end{corrige}

% \item Calculer la probabilité qu'au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de $35$~ans.
 \item Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction \textbf{binomiale$(i, n, p)$} créée pour l'occasion qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

\begin{lstlisting}[language=python]
def proba(k):
    P=0
    for i in range(0,k+1) :
      P=P+binomiale(i,120,0.3)
return P
\end{lstlisting}

Déterminer, à $10^{-3}$ près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l'on saisit \texttt{proba(30)} dans la console Python.

Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\begin{corrige}
Le programme est une boucle qui calcule 

\[P=P(X=0)+P(X=1)+\dots+P(X=30)=P(X\leq 30)\]

D'après la calculatrice, on obtient alors : $P=0,136$.

Ceci veut dire que la probabilité d'avoir moins $30$ utilisateurs de vélo de moins de $35$~ans parmi les 120 est de 0,136.  
\end{corrige}

\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(10 points)]
 % bac 2022
\textbf{Les parties B et C sont indépendantes}

\medskip

On considère la fonction $f$  définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x - x \ln x,\]


\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
\begin{corrige}
 Par croissance comparée, $\limite{x}{0}x\ln x=0$, alors par somme $\limite{x}{0}f(x)=0$
\end{corrige}

\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\begin{corrige}
 On a $f(x)=x(1-\ln x)$ 
 et $\limite{x}{\pI}(1-\ln x)=\mI $  alors par produit $\limite{x}{\pI}f(x)=\mI$
\end{corrige}
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x > 0$, on a : $f'(x) = - \ln x$.
		\begin{corrige}
		 Pour $x>0$, on a :
		 $f'(x)=1-(\ln x + x\dfrac1x)=- \ln x$
		\end{corrige}

		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
		\begin{corrige}
		 On a donc 
		 \[f'(x)>0 \ssi -\ln x >0 \ssi \ln x<0 \ssi x\in]0;1[\]
		 ainsi on déduit le tableau de variations suivant :
		 
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,espcl=5]{ $x$ / 1,
$f'(x)$ / 1,
Variations de \\$f$ / 2}
{ $0$ , $1$ ,$\pI$}
{ d,+,z,-,}
{ D-/  0, +/$1$ , -/ \mI }%
\end{tikzpicture}
\end{corrige}
\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur $]0~;~+\infty[$.
\begin{corrige}
 \begin{align*}
  f(x)=x &\ssi x-x\ln x=x\\
  &\ssi -x\ln x=0\\
  &\ssi \text{$x=0$ ou $\ln x=0$}\\
  &\ssi \text{$x=0$ ou $x=1$}
 \end{align*}

 Et $f$ étant définie sur pour $x>0$, $f(x) = x$ admet $x= 1$ pour unique solution.
\end{corrige}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A. 

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 &=& 0,5\\
u_{n+1} &=& u_n - u_n \ln u_n \:\text{ pour tout entier naturel } n,
\end{array}\right.\]

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0,5 \leqslant  u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
\begin{corrige}
 On montre par récurrence que pour tout $0,5 \leqslant  u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$
 
 {\bf Initialisation : } On a $u_0=\dfrac12$ et $u_1=\dfrac12-\dfrac12\ln\dfrac12\simeq 0,8 $ donc finalement : 
 \[
   0,5 \leqslant u_0 \leqslant u_{1} \leqslant 1
 \]
 
 {\bf Hérédité : } pour $k\in\N$, supposons $0,5 \leqslant u_k \leqslant u_{k+1} \leqslant 1$
 
 On a : 
 \begin{eqnarray*}
  0,5 &\leqslant u_k &\leqslant u_{k+1} \leqslant 1\\
   \text{Donc~~~~~ } f(0,5) &\leqslant f(u_k) &\leqslant f(u_{k+1}) \leqslant f(1)\text{~~~~~~~~~~~(car $f$ est croissante pour $x\in]0;1]$)}\\
  \text{Donc~~~~~ } \dfrac12-\dfrac12\ln\dfrac12 &\leqslant u_{k+1} &\leqslant u_{k+2} \leqslant 1   
 \end{eqnarray*}
 Et $ \dfrac12-\dfrac12\ln\dfrac12 \simeq 0,8 \geq 0,5$ donc on a $0,5 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 1$ qui est la propriété au rang $k+1$.
  et l'hérédité est démontrée.
 
   {\bf Conclusion : } pour tout $n\in\N$ : $0,5 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
\end{corrige}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
		
		\begin{corrige}
		 On déduit de la question précédente que $(u_n)$ est croissante et majorée par 1. Donc par propriété, elle converge vers une limite $\ell\in[0,5;1]$.
		\end{corrige}

		\item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $\ell$.
		\begin{corrige}
		On a :
		 \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
		  \item $f$ est continue sur $[0,5;1]$.
		  \item  $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell\in [0,5;1]$.
		  \item  Pour $n\in\N$, on a $u_{n+1}=f(u_n)$.
		 \end{enumerate}

		 Donc par théorème du point fixe : $f(\ell)=\ell$ et donc d'après la partie A, $\ell=1$.
		\end{corrige}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour un nombre réel $k$ quelconque, on considère la fonction $f_k$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par:

\[f_k(x) = kx - x \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $k$, montrer que $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint en $x_k = \text{e}^{k- 1}$.
\begin{corrige}
 On a : $f_k'(x)=k-\ln x -x\dfrac{1}{x}=k-1- \ln x$,
 
 ainsi pour étudier le signe de $f_k'$, on résout :
 \begin{align*}
  f_k'(x)>0 &\ssi k-1- \ln x >0\\
  &\ssi \ln x < k-1\\
  &\ssi  x < \e^{k-1} ~~~~~~~\text{En applicant la fonction $\exp$ qui ext croissante sur $\R$}
 \end{align*}
On a alors le tableau de variations :

\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,espcl=5]{ $x$ / 1,
$f_k'(x)$ / 1,
Variations de \\$f$ / 2}
{ $0$ , $\e^{k-1}$ ,$\pI$}
{ d,+,z,-,}
{ D-/  0, +/$f_k(\e^{k-1})$ , -/ \mI }%
\end{tikzpicture}

Ainsi, $f_k$ admet un maximum atteint en $x_k = \text{e}^{k- 1}$.
\end{corrige}

\item Vérifier que, pour tout nombre réel $k$, on a : $x_k = y_k$.
\begin{corrige}
 On a alors $y_k=f_k(x_k)=k\e^{k-1}-\e^{k-1}\ln \e^{k-1}= k\e^{k-1}-(k-1)\e^{k-1}=\e^{k-1}=x_k$.
 
 Ceci correspond on résultat cherché.

\end{corrige}

\end{enumerate}

\end{exercice}

\newpage
\begin{exercice}[(6 points)]
 % Métrople 2023
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right),\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\oij$ tracée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=2.25cm,yunit=2.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-0.8)(2.4,2.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-0.8)(2.4,2.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-3}{2.4}{2.71828 x neg exp 1 add ln}
\psplotTangent[linestyle=dashed]{0}{4}{2.71828 x neg exp 1 add ln}
\psline[linestyle=dashed](-3,2.7)(3.4,-0.45)
\psdots(-2.2,2.3)(2.3,0.1)
\uput[u](-2.2,2.3){$M_a$}\uput[u](2.3,0.1){$N_a$}
\uput[dl](-1.6,1.8){\red $\mathcal{C}$}\uput[d](2.3,-0.43){$T_0$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
% 		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
% 		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		
% Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$, montrer que, pour tout nombre réel $x$,\: $f'(x) = \dfrac{-1}{1 + \text{e}^x}$.
\begin{corrige}
 On a pour tout $x\in\R$, 
 \begin{align*}
  f'(x)&=\dfrac{(1+\e^{-x})'}{1+\e^{-x}}\\
        &=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}\\
        &=\dfrac{-1}{\e^{x}+1} ~~~~~~\text{(on multiplie numérateur et dénominateur par $\e^x$}\\
 \end{align*}

\end{corrige}

		% 		\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}	
\item On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $T_0$.
		\begin{corrige}
		 On a par propriété : $T_0 : y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
		 
		 Ici $f(0)=\ln 2$, $f'(0)=-\dfrac{1}{2}$, donc :
		 
		 \[
		  T_0 : y=- \dfrac{1}{2} x +\ln 2
		 \]

		\end{corrige}

		\item Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\R$.
		\begin{corrige}
		 On a pour tout $x\in \R$ :
		  \begin{align*}
  f'(x)&=\dfrac{(\e^{x}+1)'}{(\e^{x}+1)^2} ~~~~~~~~~~ \text{(En vertu de la formule $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}$)}\\
        &=\dfrac{\e^x}{(\e^x+1)^2}
 \end{align*}
 
 Et sur $\R$ : 
 \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
  \item $\e^x>0$
  \item $(\e^x+1)^2>0$
 \end{enumerate}
 
 Donc par produit pour $x\in\R$, $f''(x)>0$ et donc $f$ est convexe.

		\end{corrige}

		\item En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a :
		\[f(x) \geqslant  - \dfrac12x + \ln (2).\]
		\begin{corrige}
		 $f$ est une fonction convexe donc par propriété, son graphe est au-dessus de ses tangentes, et donc $\calc$ au dessus de $T_0$.
		 Ceci montre donc que :
		 
		 \[f(x) \geqslant  - \dfrac12x + \ln (2).\]
		\end{corrige}

		\end{enumerate}	
\item Pour tout nombre réel $a$ différent de 0, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-a$ et $a$. 

On a donc : $M_a\left(-a~;~ f(-a)\right)$ et $N_a\left(a~;~ f(a)\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) - f(-x) = - x$.
		
		\begin{corrige}
		On a pour $x\in\R$ :
		 \begin{align*}
		  f(x) - f(-x) &= \ln \left(1 + \e^{-x}\right) - \ln \left(1 + \e^x\right)\\
		  &= \ln \left(\dfrac{1 + \e^{-x}}{1 + \e^x}\right)\\
		  &=  \ln \left(\dfrac{\e^{-x}(\e^x + 1)}{1 + \e^x}\right)\\
		  &=  \ln \left(\e^{-x}\right)  \\
		    &=  -x 
		 \end{align*}

		\end{corrige}

		\item En déduire que les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
		\begin{corrige}
		 $\left(M_aN_a\right)$ a pour coefficient directeur : 
		 \begin{align*}
		 m &= \dfrac{y_{N_a}-y_{M_a}}{x_{N_a}-x_{M_a}}\\
		   &= \dfrac{f(a)-f(-a)}{a-(-a)}\\
		   &= \dfrac{-a}{2a} ~~~~~~~~~~~ \text{(d'après la question précédente)}\\
		   &=-\dfrac{1}{2}
		 \end{align*}

		 Le coefficient de $T_0$ est aussi $-\dfrac{1}{2}$ car $f'(0)=-\dfrac12$.
		 
		 Donc on a bien $\left(M_aN_a\right)$ parallèle $\left(M_aN_a\right)$
		\end{corrige}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exerciced}
 Déterminer le plus entier naturel $n$ tel que :
 \[
  \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \geq 2024
 \]
\begin{corrige}
 On a en utilisant la quantité conjugué :
 \begin{align*}
  \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} &=    \sum_{k=0}^n \dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{{\sqrt{k+1}}^2+{\sqrt{k}}^2}\\  
  &=    \sum_{k=0}^n {\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}\\
  &=    (1-0)+(\sqrt{2}-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+\dots+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\\
  &=\sqrt{n+1}  \text{~~~~~~~~~~(C'est une somme télescopique)}
 \end{align*}

 On a donc à résoudre $\sqrt{n+1}\geq 2024$, donc $n= 2024^2-1=\np{4096575}$
\end{corrige}

\end{exerciced}

\end{empfile}
\end{document}


 
