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\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
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\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 4}$  : Continuité et Suites (2h)}{}{T\up{ale} }{22 novembre 2023}



\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
%  


\begin{exercice}[(10 points)]
%  {(Sujet Calédonie 26 oct 2022 - 10 pts)} 
 On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
\[f(x) = x^3 \text{e}^x\]
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}

\item On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = - 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ puis $u_2$.\\
		On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à $10^{-3}$.
		\begin{corrige}
		 On a $u_1=f(u_0)=f(-1)=-\e^{-1}\simeq 0,368$ et de même $u_2=(-\e^{-1})^3 \e^{-\e^{-1}}\simeq -0,034$.
		\end{corrige}

        \smallskip
		\item On considère la fonction \texttt{fonc}, écrite en langage Python ci-dessous.\\

\begin{minipage}{0.524\linewidth}
On rappelle qu'en langage Python,

\og \texttt{i in range (n)}\fg{} signifie que

\texttt{i} varie de 0 à \texttt{n -1}.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.40\linewidth}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\texttt{def}& \texttt{fonc (n)} :\\
&\texttt{u =- 1}\\
&\texttt{for i in range(n) :}\\
&\quad \texttt{u=u**3*exp(u)}\\
&\texttt{return u}\\\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par \texttt{fonc(2)} arrondie à $10^{-3}$.

\begin{corrige}
		 Le script applique 2 fois la fonction $f$, la valeur renvoyée est donc $u_2$ et $u_2\simeq -0,034$.
\end{corrige}
	\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2 \text{e}^x(x + 3)$.
        \smallskip
        \begin{corrige}
		\begin{eqnarray*}
		 f'(x)&=3x^2\e^x+x^3\e^x\\
		 &=x^2(x+3)\e^x
		\end{eqnarray*}

\end{corrige}
		\item Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\R$ est celui représenté ci-dessous\\ (variations, limites et extremum) :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)
\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$} \uput[u](1.2,1.9){$- \infty$} \uput[u](4,1.9){$-3$} \uput[u](6.5,1.9){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[d](1.2,2){0}\uput[u](4,0){$- 27\text{e}^{-3}$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.52)(6.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{corrige}
Sur $\R$ : 
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item $x^2\geq 0$.
 \item $\e^x>0$
\end{enumerate}
donc par produit $f'$ est du signe de $x+3$ qui est affine. On en déduit alors le signe voulu pour $f'(x)$.


{\bf Limites :}

{\bf en $\pI$ : }  $\limite{x}{\pI}{x^3}=\pI$, $\limite{x}{\pI}{\e^x}=\pI$, alors par produit $\limite{x}{\pI}{f(x)}=\pI$.

{\bf en $\mI$ : }  $\limite{x}{\mI}{f(x)}=0$ par théorème de croissance comparée.


{\bf valeur en $-3$ : } $f(-3)=(-3)^3\e^{-3}=-27\e^{-3}$.
\end{corrige}

		\item Démontrer, que pour tout entier naturel $n$, on a :
        \[- 1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0.\]
        
        \begin{corrige}
          On montre par récurrence que pour tout $n\in\N$ : $- 1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0$
 
 {\bf Initialisation : } On a bien pour $n=0$ : $- 1 \leqslant u_0 \leqslant u_{1} \leqslant 0$.
 
 {\bf Hérédité : } pour $k\in\N$, supposons $- 1 \leqslant u_k \leqslant u_{k+1} \leqslant 0$
 
 On a : 
 \begin{eqnarray*}
  - 1 &\leqslant u_k &\leqslant u_{k+1} \leqslant 0\\
  \text{Donc~~~~~ } f(-1) &\leqslant f(u_k) &\leqslant f(u_{k+1}) \leqslant f(0)\text{~~~~~~~~~~~(car $f$ est croissante pour $x>-3$)}\\
  \text{Donc~~~~~ } \dfrac{-1}{\e} &\leqslant u_{k+1} &\leqslant u_{k+2} \leqslant 0 
 \end{eqnarray*}
Et $ \dfrac{-1}{\e}\geq -1$ donc on a $-1 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 0$ qui est la propriété au rang $k+1$.
  et l'hérédité est démontrée.
 
  {\bf Conclusion : } pour tout $n\in\N$ : $- 1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0$.
        \end{corrige}


		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
        \smallskip
        
        \begin{corrige}
		D'après ce qui précéde, la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $0$, donc par théorème, elle converge vers $\ell\leq 0$
		\end{corrige}
		\item On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$, montrer que $f(\ell) = \ell$
		
		\begin{corrige}
		On a :
		\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item $u_{n+1}=f(u_n)$.
 \item $(u_n)$ converge vers $\ell$
 \item $f$ continue sur $\R$.
\end{enumerate}
Donc par théorème du point fixe $f(\ell)=\ell$.
		\end{corrige}
		
		
	\end{enumerate}
	 \item Soit $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^2\E^x$.
		
On admet que le tableau de variations de $g$ est le suivant :

     \begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,espcl=5]{ $x$ / 1,
$g'(x)$ / 1,
Variations de \\$g$ / 2}
{ $\mI$  ,$\pI$}
{ ,+,}
{  -/0 , +/  $\pI$}%
\end{tikzpicture}

 \begin{enumerate}
%   \item Déterminer les limites de $g$ en $\mI$ et $\pI$.
%   \item Montrer que $g$ est strictement croissante.
  \item Montrer que $g(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$ et qu'elle satisfait $\alpha>\dfrac{1}{2}$.
  \begin{corrige}
   	On a sur $\R$ :
		\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item $g$ strictement croissante.
 \item $g$ continue
 \item $\limite{x}{\mI}g(x)=0$ et $\limite{x}{\pI}g(x)=\pI$ avec $1\in ]0;\pI[$.
\end{enumerate}
donc par corollaire du théorème des valeurs intermédiaires $g(x)=1$ admet une unique racine et d'après la calculatrice $\alpha\simeq 0,7$.
  \end{corrige}

  \item En déduire la valeur de $\ell$.
  \begin{corrige}
   On a :
   \begin{eqnarray*}
    f(\ell)=\ell &\ssi& \ell^3\e^\ell=\ell\\
    & \ssi& \ell(\ell^2\e^\ell-1)=0\\
    & \ssi& \ell (g(\ell)-1)=0
   \end{eqnarray*}
Donc $\ell=0$ ou $g(\ell)=1$.

Donc $\ell=0$ ou $\ell=\alpha\simeq 0,7$ d'après la question précédente.

On sait de plus que $\ell\leq 0$, donc par conséquent $\ell=0$.
  \end{corrige}

 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage

\begin{exercice}[(8 points)]
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = (2x-5)(1-\e^{-x}).\]
 {\bf Partie A : }
 
 Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : \[g(x) = 2\e^x+2x-7.\]
 \begin{enumerate}
  \item Determiner les limites de $g$ en en $\pI$ et en $\mI$.
  \begin{corrige}
   Il n'y a pas d'indétermination. Par somme $\limite{x}{\pI}{g(x)}=\pI$ et  $\limite{x}{\mI}{g(x)}=\mI$
  \end{corrige}

  \item Montrer que $g$ est croissante sur $\R$.
    \begin{corrige}
     On a $g'(x)=2\e^x+2$ qui est strictement positive donc $g$ est strictement croissante.
    \end{corrige}

  \item Montrer que $g$ admet une unique racine $\alpha$ sur $\R$ ; donner un encadrement à $10^{-2}$ de $\alpha$.
  \begin{corrige}
    	On a sur $\R$ :
		\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item $g$ strictement croissante.
 \item $g$ continue
 \item $\limite{x}{\mI}g(x)=\mI$ et $\limite{x}{\pI}g(x)=\pI$ avec $0\in ]\mI;\pI[$.
\end{enumerate}
donc par corollaire du théorème des valeurs intermédiaires $g(x)=0$ admet une unique racine et d'après la calculatrice $0,94<\alpha<0,95$.
  \end{corrige}

  \item En déduire le signe de $g$.
  \begin{corrige}
   D'après le tableau de variations, on a alors :
   
      \begin{tikzpicture}
\tikzset{h style/.style =
{pattern=north west lines}}
\tkzTabInit[color,espcl=2.5]%
{$x$ / 1,
$g(x)$ /1}%
{$\mI$,$\alpha$,$\pI$}%
% \tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
% \tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
  \end{corrige}

 \end{enumerate}

  {\bf Partie B : }
  
  \begin{enumerate}
  \item Determiner les limites de $f$ en en $\pI$ et en $\mI$.
  \begin{corrige}
   $\limite{x}{\pI}2x-5=\pI$, $\limite{x}{\pI}(1-\e^{-x})=1$ donc par produit $\limite{x}{\pI}f(x)=\pI$
   
    $\limite{x}{\mI}2x-5=\mI$, $\limite{x}{\mI}(\e^{-x}=\pI$ (par composée) et donc $\limite{x}{\mI}(1-\e^{-x})=\mI$.
    
    Alors, par produit $\limite{x}{\mI}f(x)=\pI$
  \end{corrige}

  \item Déterminer $f'$ et montrer que
  \[
   f'(x)=g(x)\e^{-x}
  \]
  \begin{corrige}
  Pour $x\in\R$ :
   \begin{eqnarray*}
		 f'(x)&=2(1-\e^{-x})+(2x-5)(\e^{-x})\\
		 &=2-2\e^{-x}+2x\e^{-x}-5\e^{-x}\\
		 &= \e^{-x}(\e^x-2+2x-5)\\
		  &= \e^{-x}g(x)
		\end{eqnarray*}
  \end{corrige}

  \item Dresser le tableau de variations de $f$.
  \begin{corrige}
   Sur $\R$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$. On déduit donc le tableau de variation de $f$ :
   
   \medskip
   
     \begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,espcl=5]{ $x$ / 1,
$f'(x)$ / 1,
Variations de \\$f$ / 2}
{ $\mI$ , $\alpha$ ,$\pI$}
{ ,-,z,+,}
{ +/ $\pI$, -/$f(\alpha)$ , +/ $\pI$}%
\end{tikzpicture}




  \end{corrige}

  \item Montrer que 
  \[
   f(\alpha)=\dfrac{(2\alpha-5)^2}{2\alpha-7}
  \]
  
  \begin{corrige}
   On sait par définition de $\alpha$ que $g(\alpha)=0$. Donc $ 2\e^\alpha+2\alpha-7=0$ et en particulier on peut écrire $\e^\alpha=\dfrac12(7-2\alpha)$. 
   
   
   On a alors :

   \begin{eqnarray*}
    f(\alpha)&=(2\alpha-5)(1-\e^{-\alpha})\\
    &=(2\alpha-5)(1-\dfrac{2}{7-2\alpha})\\
     &=(2\alpha-5)(\dfrac{7-2\alpha-2}{7-2\alpha})\\
     &=(2\alpha-5)(\dfrac{5-2\alpha}{7-2\alpha})\\
    &=\dfrac{(2\alpha-5)^2}{2\alpha-7}
   \end{eqnarray*}

  \end{corrige}

   \end{enumerate}
  {\bf Partie C : }
  
  \begin{enumerate}
\item Soit $h$ définie sur $[0;1]$ par $h(x)=\dfrac{(2x-5)^2}{2x-7}$


On admet que pour $x\in[0;1]$ :
\[
 h'(x)=\dfrac{2(2x-5)(2x-9)}{(2x-7)^2}
\]

Dresser le tableau de variations de $h$.

\begin{corrige}
 Sur $[0;1]$ : 
 \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item $(2x-5)<0$
 \item $(2x-9)<0$
 \item $(2x-7)^2>0$
\end{enumerate}
 donc  par produit $h'(x)>0$.
 Alors, $h$ est croissante sur $[0;1]$.


 \begin{tikzpicture}

 \tkzTab[lgt=3,espcl=5]{ $x$ / 1,
$h'$ / 1,
Variations de \\$h$ / 2}
{ $0$ ,$1$}
{ ,+,}
{ -/$-\dfrac{25}{7} $, +/ $-\dfrac{9}{5}$}%

\end{tikzpicture}
\end{corrige}

\item En déduire un encadrement de $f(\alpha)$.

\begin{corrige}
 On a d'après ce qui précède :
 \begin{eqnarray*}
  0,94 &\leq \alpha &\leq 0,95\\
  \text{Donc~~~~~~~~} h(0,94) &\leq h(\alpha) &\leq h(0,95) \text{~~~~~~~~(Car $h$ est croissante)} \\
  \text{Donc~~~~~~~~} h(0,94) &\leq f(\alpha) &\leq h(0,95)
 \end{eqnarray*}

 Et à $10^{-2}$ on a : $-1,9\leq f(\alpha) \leq -1,88$
 
\end{corrige}



 \end{enumerate}
\end{exercice}

% \begin{exercice}[(7 points)]
%  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = x+1+x\text{e}^{-x}.\]
% On note $\mathcal{C_{f}}$ sa courbe représentative dans un repère  orthonormé.
% 
% \begin{enumerate}
% %  \item \begin{enumerate}
% %         \item Déterminer $f'$. %, la dérivée de $f$, et montrer que $f''(x)=(x-2)\text{e}^{-x}$ (la dérivée seconde de $f$).
% %         \item Etudier les variations de $f'$.
% %         \item En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
% %         \end{enumerate}
% \medskip        
% \item \begin{enumerate}
%        \item Déterminer les limites de $f$ en $\pI$ et en $\mI$. 
%        \item Déterminer la dérivée de $f$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
% \item Montrer que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$ ; donner un encadrement à $10^{-2}$ de $\alpha$.
% \item  Donner une équation de la tangente à $\mathcal{C_{f}}$ au point d'abscisse 0.
%  \end{enumerate}
% % \item \begin{enumerate}
% %        \item Donner une équation de la tangente à $\mathcal{C_{f}}$ au point d'abscisse 0.
% %        \item En déduire que, pour tout $x \leq 2$, on a $f(x) \leq 2x+1$. (utiliser la question 1)b))
% %       \end{enumerate}
% % \medskip   
% \item \begin{enumerate}
%         \item Prouver que, sur $\R$ \[\text{résoudre l'équation}~f(x)=2 ~~  \Longleftrightarrow ~~ \text{résoudre l'équation}~ \dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}=x\]
%          \item Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ définie sur $[0;1]$ par \[h(x)=\dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x}+1}.\]
%          \item Donner la valeur de $h(\alpha)$ en fonction de $\alpha$.
%         \end{enumerate}
% \end{enumerate}
% \end{exercice}

\begin{exercice}[(2 points)]$\ $\\
\begin{textefig}
\begin{figmp}
u:=0.8cm;
repere(-4,6 ,1u,-3,5,1u);
vardef f(expr x)=exp(x+1-2)-x-exp(-2) enddef;
vardef g(expr x)=exp(x+1-4)-x-exp(-4) enddef;
vardef h(expr x)=exp(x+1+1)-x-exp(+1) enddef;
% vardef h(expr x)=0-x**2-x+3 enddef;
path Cf,Cg,Ch;
Cf=courbefonc(f,-6,10,100) ;
Cg=courbefonc(g,-6,10,100);
Ch=courbefonc(h,-6,10,100);
draw quadrillage(1,1) withcolor 0.2white dashed evenly;
draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 0.8;
%draw axex(1,1);
%draw axey(1,1);
draw Cf withcolor red withpen pencircle scaled 1;
draw Cg withcolor blue withpen pencircle scaled 1;
draw Ch withcolor magenta withpen pencircle scaled 1;
nomme(Cf,"$C_{k_1}$") withcolor red ;
nomme(Cg,"$C_{k_2}$") withcolor blue ;
nomme(Ch,"$C_{k_3}$") withcolor magenta ;
draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{figmp}


\begin{enonce}
Pour $k\in\Z$, on définit sur $\R$ la fonction $f_k$ par :
\[
 f_k(x)=\E^{x+1-k}-x-\E^{-k}
\]

Sur le graphique ci-contre, il a été tracé plusieurs courbes $\calc_k$ correspondants à $f_k$ pour diverses valeurs de $k$.


 \begin{enumerate}
 \item Montrer que toutes les courbes $\calc_k$ passent par un même point $A$ que l'on déterminera.
 \item Dresser le tableau de variation de $f_k$ (on ne demande pas les limites).
 \item Déterminer à l'aide du graphique la valeur de $k_1, k_2$ et $k_3$ des 3 courbes représentées.
\end{enumerate}

\end{enonce}
\end{textefig}

\begin{corrige}

 \begin{enumerate}
 \item Soit $A(-1;1)$ alors pour tout $k\in\Z$ :$f_k(-1)=\e^{-k}+1-\e^{-k}=1$ donc $A\in \calc_k$. 
 \item Pour tout $k\in\Z$ :$f_k'(x)=\e^{x+1-k}-1$
 
 Donc $f_k'(x)>0\ssi =\e^{x+1-k}>1 \ssi x+1-k>0 \ssi x> k-1$.
 
 On déduit le tableau de variation de $f_k$ :
 \medskip
 
 \begin{tikzpicture}

 \tkzTab[lgt=3,espcl=5]{ $x$ / 1,
$f_k'(x)$ / 1,
Variations de \\$f$ / 2}
{ $\mI$ , $k-1$ ,$\pI$}
{ ,-,z,+,}
{ +/ , -/$f_k(k-1)$ , +/ }%

\end{tikzpicture}

avec $f_k(k-1)=\e^0-(k-1)-\e^{-k}=2-k-\e^{-k}$.

\item Le minimum de $f_k$ est en $k-1$. On déduit donc $k_2-1=3$, $k_1-1=1$ et $k_3-1=-2$. 
 
 Donc finalement : $k_1=2$,  $k_2=4$,  $k_3=-1$
\end{enumerate} 
\end{corrige}

\end{exercice}
% 
% \begin{exerciced}
% On considère la suite $(u_n)$ définie pour les entiers naturels non nuls par :
% \[
%  u_n=E\left(\dfrac{n^2-1}{n^2}\right)
% \]
% où $E$ représente la fonction partie entière.
% 
% La suite $(u_n)$ converge-t-elle ? Si oui, déterminer sa limite.
% 
% \begin{corrige}
%  On a $\dfrac{n^2-1}{n^2}=1- \dfrac{1}{n^2}$.
%  
%  On en déduit l'encadrement suivant pour tout $n\geq 2$ :
%  
%  \[
%   \dfrac{1}{4}\leq \dfrac{n^2-1}{n^2} < 1
%  \]
%  
%  Alors, on déduit $E\left(\dfrac{n^2-1}{n^2}\right)=0$ pour tout $n\geq 2$.
%  
%  Par conséquence $\limite{n}{\pI}u_ n=0$.
% 
% \end{corrige}
% 
% \end{exerciced}


\begin{exerciced} Soit $f$ une fonction continue sur $\R$ satisfaisant pour tout $x\in\R$, $(f(x))^2=1$.

Montrer que $f$ est constante.
\end{exerciced}

\begin{corrige}
 Si $f$ est une telle fonction alors pour tout $x\in\R$, on a $(f(x)-1)(f(x)+1)=0$ et donc $f(x)=1$ ou $f(x)=-1$.
 
 On raisonne par l'absurde : si $f$ n'st pas constante, alors elle prend deux valeurs distinctes qui sont nécessairement $1$ et $-1$. Donc il existe $a,b\in\R$ tels que $f(a)=1$ et $f(b)=-1$. De plus $f$ étant continue, par le théorème des valeurs intermédiaires elle va devoir prendre toutes les valeurs intermédiaires entre $-1$ et $1$. En particulier il existe $c\in\R$ tel que $f(c)=0$. Ceci est absurde car 
 on doit avoir $(f(c))^2=1$ !
\end{corrige}

\end{empfile}
\end{document}


 
