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% \setboolean{solution}{true}
\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
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\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 2}$  : Suites (1h20)}{}{T\up{ale} }{19 octobre 2023}



\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
%  


\begin{exercice}[(13 point)]
 
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n +1} = \dfrac{6u_n + 2}{u_n +5}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\begin{corrige}
 On a $u_1=\dfrac{50}{13}$.
\end{corrige}

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
\[f(x) = \dfrac{6x + 2 }{x +5}.\]

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		
En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.

\begin{corrige}
 On a pour $x\geq 0$ : 
 \begin{align*}
  f'(x)&=\dfrac{(x +5)6-(6x+2)}{(x +5)^2}\\
  &=\dfrac{28}{(x +5)^2}
 \end{align*}
 
 Cette dernière expression étant positive, on en déduit $f'(x)>0$ sur  $[0~;~+\infty[$ et donc $f$ strictement croissante sur  $[0~;~+\infty[$ et en particulier pour $x> 2$, $f(x)>f(2)$.
 
 Comme $f(2)=2$, on a bien pour $x\geq 2$, $f(x)>2$.
\end{corrige}

		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a $u_n > 2$.
		
\begin{corrige}
 Montrons par récurrence que pour $n\in\N$, on a $u_n > 2$..
 
 Initialisation : $u_0=8$ donc la propriété est initialisée.
 
 Hérédité. Soit $k\in\N$, on suppose $u_k > 2$ et montrons $u_{k+1}>2$.
 
 Comme $u_k > 2$ , alors d'après la question précédente $f(u_k)>2$ donc $u_{k+1}>2$ et l'hérédité est démontrée.
 
 Conclusion : On a bien  pour tout entier naturel n, on a $u_n > 2$.
 
\end{corrige}


	\end{enumerate}
\item 

	\begin{enumerate}
	\item Montrer que  que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[u_{n+1} - u_n = \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n +5}.\]

\begin{corrige}
 Pour $n\in\N$,
 \begin{align*}
  u_{n+1} - u_n &=f(u_n)-u_n\\
  &=\dfrac{6u_n + 2 }{u_n +5}-u_n\\
  &=\dfrac{6u_n + 2 -(u_n +5)u_n}{u_n +5}\\
   &=\dfrac{-u_n^2+u_n + 2 }{u_n +5}
 \end{align*}

 D'autre part : $\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)=-u_n^2+u_n + 2$
 
 Donc on a bien 
 \[
  u_{n+1} - u_n =\dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n +5}.
 \]

\end{corrige}

		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\begin{corrige}
		 On sait d'après la question 2b que pour $n\in\N$, on a $u_n>2$,
		 
		 on déduit donc :
		 \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
		  \item $2-u_n<0$
		  \item $u_n+1>3>0$
		  \item $u_n+5>6>0$
		 \end{enumerate}
Et donc par produit :
\[
  \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n +5}<0
 \]
 
 Donc :
 
 \[
  u_{n+1} - u_n <0 
 \]
 
 La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
		\end{corrige}

		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
		\begin{corrige}
		D'après ce qui précéde, la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $2$, donc par théorème, elle converge vers $\ell\geq 2$
		\end{corrige}

	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par:
\[v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}.\]


	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_0$.
		\begin{corrige}
		 On $v_0=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
		\end{corrige}

		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac47$.
		\begin{corrige}
		On a pour $n\in\N$ :
		 \begin{align*}
		  v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1} - 2}{u_{n+1} + 1}\\
		  &=\dfrac{f(u_n) - 2}{f(u_n) + 1}\\
		  \\
		  &=\dfrac{\dfrac{6u_n + 2 }{u_n +5} - 2}{\dfrac{6u_n + 2 }{u_n +5} + 1}\\
		  \\
		   &=\dfrac{\dfrac{6u_n + 2 -2(u_n +5)}{u_n +5}}{\dfrac{6u_n + 2 + (u_n +5)}{u_n +5} }\\
		   \\
		  &=\dfrac{4u_n -8}{7u_n + 7}\\
		  &=\dfrac47\dfrac{u_n -2}{u_n + 1}\\
		  &=\dfrac47 v_n
		 \end{align*}

		 Donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac47$ avec $v_0=\dfrac23$.
		\end{corrige}

		\item Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$.
		
		En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
		\begin{corrige}
		 On déduit par théorème que pour tout $n\in\N$ : $v_n=\dfrac23 \left(\dfrac47\right)^n$
		 
		 De plus $-1<\dfrac47<1$ donc par théorème $\limite{n}{\pI}\left(\dfrac47\right)^n=0$
		 
		 et on déduit $\limite{n}{\pI}v_n=0$.
		 
		 Mais d'après la définition de $(v_n)$, on a
		 
		 \[v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}.\]
		 
		 Donc par règles sur les limites :
		 
		 \[\limite{n}{\pI} v_n = \dfrac{\ell - 2}{\ell + 1}.\]
		 
		 donc \[ \dfrac{\ell - 2}{\ell + 1}=0\]
		 
		 et finalement $\ell=2$.
		 
		\end{corrige}

		

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
		\item  On considère la fonction
Python seuil ci-contre, où A est un nombre réel strictement plus grand que 2.

Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande seuil (2.001) puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{def}&seuil (A) :\\
&n = 0\\
&u = 8\\
&\textbf{while} u $>$ A :\\
&\qquad u = (6*u + 2)/(u + 5)\\
&\qquad n = n + 1\\
&\textbf{return} n\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{corrige}
 On vient de voir que $(u_n)$ est décroissante et converge vers $\ell=2$. Le programme renvoie le rang $n$ à partir du quel $u_n\leq 2,001$.
 
 A l'aide d'un tableau à la calculatrice, on obtient $n=14$.
 
 Cela veut dire que $u_{13}> 2,001$ et $u_{14}\leq  2,001$.
\end{corrige}

\end{exercice}




\newpage
%   \begin{exercice}[(1 point)]
%    Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n\in\N$ par $u_0=3, u_1=6$ et $u_{n+2}=\dfrac{5}{4}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n$.
%    
%    \subsection*{Partie A.}
%    \begin{enumerate}
%     \item Compléter la fonction Python ci-dessous.
%     \begin{lstlisting}[language=python]
%      def suite(n):
%         u=3
%         v=6
%         L=[u,v]
%         for i in range(....):
%             w=....
%             L.append(....)
%             u=v
%             v=
%         return L   
%     \end{lstlisting}
% \item Vérifier que pour $n=5$, le résultat obtenu est $[3, 6, 6.75, 6.9375, 6.984375, 6.99609375, 6.9990234375]$
% 
% \item Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de $(u_n)$ ?
%    \end{enumerate}
%    
%   \subsection*{Partie B.}
%   On définie $(v_n)$ et $(w_n)$ sur $\N$ par $v_{n}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n$ et $w_n=u_n-7$
%   \begin{enumerate}
%    \item \begin{enumerate}
%           \item Montrer que $(v_n)$ est stationnaire et préciser sa valeur.
%           \item En déduire que pour $n\in\N$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}$
%          \end{enumerate}
%     \item \begin{enumerate}
%            \item A l¡aide de la question précédente, montrer que pour tout $n\in\N$, on a
%            \[
%             u_n\leq u_{n+1}\leq 15
%            \]
%            \item En déduire la convergence de $(u_n)$.
% 
%           \end{enumerate}
% \item Démontrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
% \item En déduire la forme explicite de $(u_n)$ puis sa limite.
%   \end{enumerate}
% 
%   \end{exercice}

 \begin{exercice}[(4 points)]
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, 
\[
 u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}n+1
\]
\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_1$.
 \item Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ :
 \[
  n\leq u_n \leq n+3
 \]
\item En déduire la limite de $(u_n)$.
\item Déterminer la limite de $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)$.
\end{enumerate}

\begin{corrige}
 \begin{enumerate}
 \item $u_1=\dfrac{1}{2}u_0+1=\dfrac52$.
 \item  On montre par récurrence que pour tout $n\in\N$ : $n\leq u_n \leq n+3$
 
 {\bf Initialisation : } On a bien pour $n=0$ : $0\leq 3\leq 3$.
 
 {\bf Hérédité : } pour $k\in\N$, supposons $k\leq u_k \leq k+3$
 
 On a : 
 \begin{eqnarray*}
  k \leq& u_k &\leq k+3\\
  \text{Donc~~~~~ } \dfrac12k\leq & \dfrac12u_k &\leq \dfrac12(k+3) \text{~~~~~~~~~~~(par produit par $\dfrac12 >0$)}\\
  \text{Donc~~~~~ } \dfrac12k+1+ \dfrac12k\leq& \dfrac12u_k +\dfrac12k+1 &\leq \dfrac12(k+3)+\dfrac12k+1 \text{~~~~~~~~~~~(par somme de $\dfrac12k+1$)}\\
  \text{Donc~~~~~ }  k+1\leq & u_{k+1} & \leq k+ \dfrac52
 \end{eqnarray*}

 Comme $\dfrac52 \leq 4 $, on a bien $k+1\leq u_{k+1}\leq k+ 4 $ et l'hérédité est démontrée.
 
  {\bf Conclusion : }  pour tout $n\in\N$ : $n\leq u_n \leq n+3$
\item 

$\limite{n}{\pI} n =\pI$, donc à l'aide de l'inégalité précédente et du théorème de comparaison, on en déduit $\limite{n}{\pI} u_n =\pI$


\item En reprenant l'inégalité précédente et en divisant par $n>0$ on a :
\[
 1\leq \dfrac{u_n}{n} \leq 1+\dfrac{3}{n}
\]

De plus $\limite{n}{\pI} 1+\dfrac{3}{n}=1$

donc d'après le théorème des gendarmes :  $\limite{n}{\pI} \dfrac{u_n}{n}=1$.


\end{enumerate}
\end{corrige}

 \end{exercice}

 
  \begin{exercice}[(3 point)]
   Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n\in\N$ par $u_0=3, u_1=6$ et $u_{n+2}=\dfrac{5}{4}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n$.
%    
%    \subsection*{Partie A.}
%    \begin{enumerate}
%     \item Compléter la fonction Python ci-dessous.
%     \begin{lstlisting}[language=python]
%      def suite(n):
%         u=3
%         v=6
%         L=[u,v]
%         for i in range(....):
%             w=....
%             L.append(....)
%             u=v
%             v=
%         return L   
%     \end{lstlisting}
% \item Vérifier que pour $n=5$, le résultat obtenu est $[3, 6, 6.75, 6.9375, 6.984375, 6.99609375, 6.9990234375]$
% 
% \item Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de $(u_n)$ ?
%    \end{enumerate}
%    
%   \subsection*{Partie B.}

  On définie $(v_n)$ 
  %et $(w_n)$ 
  sur $\N$ par $v_{n}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n$ %et $w_n=u_n-7$
%   \begin{enumerate}
%    \item
   \begin{enumerate}
          \item Montrer que $(v_n)$ est stationnaire et préciser sa valeur.
          
          \begin{corrige}
           On a pour tout $n\in\N$ :
           
           \begin{align*}
            v_{n+1}-v_n&=u_{n+2}-\dfrac{1}{4}u_{n+1}-(u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n)\\
&=\dfrac{5}{4}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n - \dfrac{1}{4}u_{n+1}-u_{n+1}+\dfrac{1}{4}u_n)\\
&=0
           \end{align*}
Ainsi $(v_n)$ est stationnaire et pour tout $n\in\N$, $v_n=v_0=u_1-\dfrac14u_0=\dfrac{21}{4}$
          \end{corrige}

          \item En déduire que pour $n\in\N$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}$
          
          \begin{corrige}
           On a par définition de $(v_n)$, $v_{n}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n$ et donc
           
           pour $n\in\N$ :
           
           \[
            \dfrac{21}{4}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n
           \]

           Ce qui montre que 
           \[
            u_{n+1}=\dfrac{21}{4}+\dfrac{1}{4}u_n
           \]

          \end{corrige}

         \end{enumerate}
%     \item \begin{enumerate}
%            \item A l¡aide de la question précédente, montrer que pour tout $n\in\N$, on a
%            \[
%             u_n\leq u_{n+1}\leq 15
%            \]
%            \item En déduire la convergence de $(u_n)$.
% 
%           \end{enumerate}
% \item Démontrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
% \item En déduire la forme explicite de $(u_n)$ puis sa limite.
%   \end{enumerate}

  \end{exercice}
%   \newpage

\begin{exerciced}
 Soit $f$ une fonction décroissante sur $\R$ et une suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0\in\R$.
 
 On définit les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ des termes de rangs pairs et impairs par : 
 
 pour $n\in\N$ : $v_n=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$.
 
 On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=f(f(x))$.
 \begin{enumerate}
  \item Exprimer une relation de récurrence pour $(v_n)$ et $(w_n)$  à l'aide de $g$.
  \item Montrer que $g$ est croissante.
  \item Montrer que $(v_n)$ et $(w_n)$ sont monotones.
  \item Montrer que si $(v_n)$ est croissante alors $(w_n)$ est décroissante (et réciproquement).
 \end{enumerate}

 \begin{corrige}
 \begin{enumerate}
  \item On a $v_{n+1}=u_{2n+2}=f(u_{2n+1})=f(f(u_{2n}))=g(v_n)$.
 
 De même on a $w_{n+1}=g(w_n)$.
 
 \item Soient $a,b\in\R$ avec $a<b$ alors comme $f$ décroissante $f(a)>f(b)$ et en appliquant $f$ à nouveau, il vient $f(f(a))<f(f(b))$, c'est-à-dire $g(a)<g(b)$.
 
 Ceci signifie que $g$ est croissante sur $\R$.
 
 \item Il s'agit de la même démonstration pour $(v_n)$ et $(w_n)$. Faisons-le pour $(v_n)$.
 
 Supposons par exemple $v_0\leq v_1$, on va montrer que dans ce cas $(v_n)$ est croissante.
 
 Cela se fait par récurrence. L'initialisation est évidente et pour l'hérédité : si pour $k\in\N$ on a $v_k\leq v_{k+1}$, on a par application de $g$ qui ext croissante $v_{k+1}\leq v_{k+2}$
 
 Ainsi l'hérédité est démontrée et nous pouvons conclure que $(v_n)$ est croissante.
 
 \medskip
 
 Si $v_0\geq v_1$, alors la même démonstration montre que $(v_n)$ est décroissante.
 
 \item Supposons $(v_n)$ croissante alors :
 
 pour tout $n\in\N$, on a $v_{n}\leq v_{n+1}$

  \begin{align*}
   v_{n} & \leq v_{n+1} \\
   \text{donc~~~~~~~~~~~} u_{2n} & \leq u_{2n+2} \\
   \text{donc~~~~~~~~~~~} f(u_{2n}) & \geq f(u_{2n+2}) \text{~~~~~~~~~~car $f$ est décroissante}\\
   \text{donc~~~~~~~~~~~} u_{2n+1} & \geq u_{2n+3} \\
   \text{donc~~~~~~~~~~~} w_n & \geq w_{n+1} 
  \end{align*}

%  \begin{align*}
%   w_{n+1}-w_n&=u_{2n+3}-u_{2n+1}\\
%   &=f(u_{2n+2})-f(u_{2n}) \\
%   &=f(v_{n+1})-f(v_{n}) 
%  \end{align*}
% Or pour tout $n$ on a $v_n\leq v_{n+1}$ donc $f$ étant décroissante, on a 
% 
% $f(v_{n+1})\leq f(v_{n}) $ et donc  $w_{n+1}-w_n\leq 0$ 

donc $(w_n)$ décroissante.


Cela achève l'exercice.

\end{enumerate}
 
 \end{corrige}

\end{exerciced}

\end{empfile}
\end{document}


 
