\documentclass[12pt]{article}
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\newboolean{solution}
\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
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                                    \par\medskip}
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% \setboolean{solution}{true}
\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 1}$  : Révisions, fonctions et suites (1h)}{}{T\up{ale} }{27 septembre 2023}



\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
  \begin{exercice}[(1 point)]
    Déterminer les dérivées  des fonctions définies par les expressions suivantes~:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,
                 leftmargin=*,
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = \ $}]

\item $(x^3-3x^2+1)\text{e}^{-2x}$ sur $\R$\\

\item $\dfrac{3\text{e}^{x}-2}{\text2{\e}^{x}+1}$ sur $\R$

\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{corrige}
 On a 
 \begin{align*}
  f_1'(x)&=(3x^2-6x)\e^{-2x}+(x^3-3x^2+1)(-2)\e^{-2x}\\
  &=(-2x^3+9x^2-6x-2)\e^{-2x}
 \end{align*}

 
 \begin{align*}
  f_2'(x)&=\dfrac{3\e^x(2e^x+1)-(3e^x-2)2\e^x }{(2e^x+1)^2} \\
  &=\dfrac{7\e^x}{(2e^x+1)^2}
 \end{align*}
\end{corrige}

  \end{exercice}

 \begin{exercice}[(3 points)]
% ES 2006  
On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
u_{1}	&=&12 &\text{et}\\
u_{n+1} &=& \dfrac{1}{3}u_{n} + 5 &  \text{pour tout entier naturel}~ n \geqslant  1\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Utiliser les droites d'équations $y = x$ et $y = \dfrac{1}{3}x+ 5$ pour construire (sans calcul) les quatre premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$.

Que peut-on conjecturer à propos de la limite et du sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
\begin{corrige}
 Avec le tracé, on conjecture que $(u_n)$ décroissante et qu'elle semble converger vers $7,5$.
\end{corrige}

\item Soit la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n \geqslant  1$, par : $v_{n} =  u_{n} - \dfrac{15}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique.
		\begin{corrige}
		 On a pour tout $n\in\N$
		   \begin{align*}
		    v_{n+1} &=u_{n+1} - \dfrac{15}{2} \\
		     &=\dfrac{1}{3}u_{n} + 5- \dfrac{15}{2} \\
		     &=\dfrac{1}{3}u_{n} - \dfrac{5}{2} \\
		     &=\dfrac{1}{3}(u_{n} - 3\dfrac{5}{2}) \\
		     &=\dfrac{1}{3}v_{n}
		   \end{align*}

Donc $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ avec $v_{1} =u_{1} - \dfrac{15}{2}=\dfrac{9}{2} $
		\end{corrige}

		\item Exprimer alors $v_{n}$ en fonction de $n$.
		\begin{corrige}
		 Alors par théorème pour $n\in\N^\star$, $v_{n}=v_1q^{n-1}=\dfrac{9}{2} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$
		\end{corrige}

		
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ puis en déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\begin{corrige}
		 Comme $-1<\dfrac{1}{3}<1$, on a $\limite{n}{\pI} v_n=0$.
		 
		 Alors comme pour tout entier naturel $n \geqslant  1$, $v_{n} =  u_{n} - \dfrac{15}{2}$, on déduit  $u_{n} =  v_{n} + \dfrac{15}{2}$ et d'après les règles sur les limites, on a alors  $\limite{n}{\pI} u_n=\dfrac{15}{2}$.
		\end{corrige}

	\end{enumerate}
% \item Est-il possible de déterminer $n$ de sorte que : 
% 	\begin{enumerate}
% 		\item $u_{n } -  \dfrac{15}{2} \leqslant  10^{-6}$ ?
% 		\item $u_{n } -  \dfrac{15}{2} \geqslant  10^{6}$ ?
% 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

% 
% \psset{unit=0.7cm}
% \begin{pspicture}(17,12)
% 
% \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(17,12)
% \psline[linewidth=1.25pt](0,5)(16.5,10.5)
% \psline[linewidth=1.25pt](0,0)(12,12)
% \rput{45}(11,10.5){\boldmath $y = x$} \rput{17}(14,9){\boldmath $y = \frac{1}{3}x + 5$\unboldmath}
% \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(17,12)
% \end{pspicture}

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
   u:=0.5cm;
repere(-1,17 ,1u,-1,12,1u);
 draw quadrillage(1,1) withpen pencircle scaled 0.5 withcolor 0.7white;
draw axes(1,1)  withpen pencircle scaled 1.2;   % ne met pas le 0 à l'origine
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
%  vardef f(expr x)= 3.2*(x-0.5)*exp(-x+0.5) enddef;
%   vardef g(expr x)= -f(x-1) enddef;
%  path Cf;
%  Cf=courbefonc(g,-1,4,60); 
%  draw Cf withpen pencircle scaled 1.2 withcolor rouge;

fin;
\end{emp}
\end{center}

 \end{exercice}

 \newpage
 
 \begin{exercice}[(4 points)]$\ $\\
 
  
\begin{textefig}
\begin{figmp}
   u:=0.8cm;
repere(-2,3 ,1u,-4,3,1u);
 draw quadrillage(1,1) withpen pencircle scaled 0.5 withcolor 0.7white;
draw axes(1,1)  withpen pencircle scaled 1.2;   % ne met pas le 0 à l'origine
 draw cadre withpen pencircle scaled 2;
 vardef f(expr x)= (2x-3)*exp(x-1)-x**2+x enddef;
%   vardef g(expr x)= -f(x-1) enddef;
 path Cf;
 Cf=courbefonc(f,-7,17,60); 
 draw Cf withpen pencircle scaled 1.2 withcolor rouge;

fin;
\end{figmp}

\begin{enonce}
Soit $f$ définie sur $\R$ par  $f(x)=(2x-3)\e^{x-1}-x^2+x$. On a tracé sur le graphe ci-contre la courbe $\calc_f$ représentative de $f$.
 \begin{enumerate}
  \item Au vu de ce graphique, quelle conjecture peut-on faire sur les variations de $f$ ?
  \item On introduit la fonction $g$ définie sur $\R$ par : 
  \[
   g(x)=(\e^{x-1}-1)(2x-1)
  \]

  Dresser le tableau de signe de $g$.
 

  \item \begin{enumerate}
         \item  Montrer que pour tout $f'=g$, et en déduire le tableau de variations de $f$. 
  \item Que dire alors de votre conjecture ?
        \end{enumerate}
        
\item On note $\calt$ la tangente à $\calc_f$ en 0. Déterminer l'équation réduite de $\calt$.
 \end{enumerate}
\end{enonce}
\end{textefig}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item Au vu du graphique, on conjecture que $f$ est strictement croissante sur $\R$.
 \item
   On va faire un tabelau de signe mais il nous faut le signe de $\e^{x-1}-1$.
   
   \begin{align*}
    \e^{x-1}-1\geq 0 &\ssi \e^{x-1} \geq \e^0\\
     &\ssi x-1\geq 0 ~~~~~~\text{(Car exp est strictement croissante)}\\
     &\ssi x\geq 1
   \end{align*}

   On peut alors dresser le tableau de signes :
   
   \begin{tikzpicture}
\tikzset{h style/.style =
{pattern=north west lines}}
\tkzTabInit[color,espcl=2.5]%
{$x$ / 1,
$e^{x-1}-1$ / 1,
$2x-1$ /1,
$g(x)$ /1}%
{$\mI$,$\dfrac{1}{2}$,$1$,$\pI$}%
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}


\item \begin{enumerate}
       \item 

      On a pour tout $x\in\R$ : 
      \begin{align*}
       f'(x)&=2\e^{x-1}+(2x-3)\e^{x-1} -2x+1 \\
       &=\e^{x-1}(2x-1)-(2x-1) \\
       &=(2x-1)(\e^{x-1}-1) \\
       &=g(x)
      \end{align*}
Et ainsi l'égalité est démontrée.

On déduit alors le tableau de variations de $f$ :

On a $f(1)=-1$ et

\begin{align*}
f(\dfrac{1}{2})&=2\e^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2} \\
                &=2\e^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{4} \\
                &\simeq -0,96
\end{align*}
 
     \begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,espcl=3]{ $x$ / 1,
$f'(x)$ / 1,
Variations de \\$f$ / 2}
{ $\mI$ , $\dfrac{1}{2}$ ,$1$, $\pI$}
{ ,+,z,-,z,+,}
{ -/ ,+/ $f(\dfrac{1}{2})$ , -/$-1$ , +/ }%
\end{tikzpicture}

\item Il en ressort que notre conjecture était incorrecte.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

   
\end{corrige}
 \end{exercice}

 \begin{exercice}[(2 points)] 
  On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :

\[
 u_{n+1}=3u_n- 2n+1 
\]


Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N$  : $u_n=3^n+n$.

\begin{corrige}
 Montrons par récurrence que pour tout $n \in \N$  : $u_n=3^n+n$.
 
{\bf Initialisation : } Pour $n=0$, $u_0=1$ et $3^n+n=1$. La propriété est initialisée.

{\bf Hérédité :} Soit $k\in\N$, on suppose que $u_k=3^k+k$, et montrons que $u_{k+1}=3^{k+1}+k+1$

On a :

\begin{align*}
 u_{k+1}&=3u_k- 2k+1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{Par définition de $(u_n)$}\\
 &= 3\times(3^{k}+k)-2k+1~~~~~~~~~~\text{Par hypothèse de récurrence}\\
 &= 3^{k+1}+k+1
\end{align*}

L'hérédité est donc démontrée.

{\bf Conclusion : } Pour tout $n\in\N$, on a $u_n=3^n+n$.
\end{corrige}

\end{exercice}


\begin{exerciced}
 Montrer que pour tout $n\in\N^\star$ et tout $a>1$, on a :
 \[
  \dfrac{a^n-1}{a-1} \leq n a^{n-1}
 \]
\begin{corrige}
 On a $\dfrac{a^n-1}{a-1}=1+a+a^2+\dots+a^{n-1}$ 
 
 D'autre part : pour tout $i$ entre $0$ et $n-1$ on a puisque $a>1$ 
 
 $a^{n-1-i}\geq 1$ et donc  $a^{n-1}\geq a^i$
 
 on a donc $1+a+a^2+\dots+a^{n-1} \leq na^{n-1}$. Ceci montre le résultat.
 

\end{corrige}

\end{exerciced}


\end{empfile}
\end{document}


 
