\documentclass[12pt]{article}
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 \input{tabvar}
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% \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 11}$  : Intégrales (1h)}{}{T\up{ale} }{2 mai 2023}
%%%
%ATTENTION; CE SUJET EST UNE COPIE EXACTE DU DS14 DE 2018.



\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
\begin{exercice}[(6 points)]
%ES junin 2011 centre étranger
On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan $\oij$, la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 6~;~6]$.
 
La droite $(T)$ d'équation $y  = x + 3$ est tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$  au point I de coordonnées $(0~;~3)$. 

\psset{unit=0.85cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-7.15,-2.5)(7.1,7.1)
\def\pshlabel#1{\small #1}
\def\psvlabel#1{\small #1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](-7,-2.5)(7,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-7,-2.5)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\f{-x^4/96-3*x^3/16-7*x^2/12+x+3}
\def\g{0.001588*x^5-0.017613*x^4+0.051399*x^3-0.295048*x^2+x+3}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-6}{0}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{6}{\g}
\psdots[dotstyle=+,linecolor=blue,linewidth=1.5pt,dotscale=1.5](-6,3)(-4,-1)(-2,0)(0,3)(2,4)(5.5,0)(6,-1)
\psline(-5.5,-2.5)(4,7)
\uput[dl]{45}(2.75,5.75){$(T) : \quad y = x + 3$}
\rput(5.5,1){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[ul](0,3){I}
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{Cet exercice est un \textbf{questionnaire à choix multiples}. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées; une seule de ces réponses convient. 
Vous justifierez votre réponse.}

\emph{Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre dérivé de $f$ en $0$ est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $0$&\textbf{b.}~~ 1& \textbf{c.}~~ 3\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On pose J $= \displaystyle\int_{- 1}^{0} f(x)\:\text{d}x$. On peut affirmer que : 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $-2< \text{J}<0$&\textbf{b.}~~ $-4 <\text{J} <-2$&\textbf{c.}~~ $2 < \text{J} < 4$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On appelle $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$.
	\begin{enumerate}
		\item $F$ est croissante sur l'intervalle $[-3~;~2]$ ; 
		\item $F$ est décroissante sur l'intervalle $[-1~;~5]$ ; 
		\item $F$ est croissante sur l'intervalle $[-1~;~5]$ 
	\end{enumerate}
\item  On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[- 6~;~6]$ par : $g(x)~=~\text{exp}~[f(x)]~=~\text{e}^{f(x)}$ On peut affirmer que :
	\begin{enumerate}
		\item la fonction $g$ a les m\^emes variations que $f$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$. 
		\item la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[- 6~;~6]$
		\item la fonction $g$ a les variations inverses de celles de $f$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$. 
	\end{enumerate}
	
\item Quelle est la valeur de l'intégrale  	$\displaystyle\int_{0}^1 \left(3x - x^2 \right) \,\mathrm{d} x $ ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~ $0$&\textbf{b.}~~ $\dfrac{7}{6}$&\textbf{c.}~~ $2$\\
\end{tabularx}

\item La fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]0~;~4]$ par $g(x) = \ln x$. Parmi les trois courbes suivantes, laquelle représente une primitive de la fonction $g$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
a. & b. & c. \\ \hline
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-.2,-2.2)(4,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.33}{4}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-.2,-2.2)(4,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*ln(x)-x}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{4}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-.2,-2.2)(4,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x-x*ln(x)+1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{4}{\f}
\end{pspicture} \\ \hline
\end{tabularx}
%\end{enumerate}

	
\end{enumerate}
\end{exercice}


% \newpage
\begin{exercice}[(14 points)]
 % inde avril 2012
On considère les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : 

\[I_{n} = \int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\:\text{d}x\quad \text{et} \quad  J_{n} = 	\int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2}\:\text{d}x.\] 
 
\begin{enumerate}
\item Sont représentées ci-dessous les fonctions $f_{n}$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par 

\[f_{n}(x) =  \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\]

pour différentes valeurs de $n$ : 

\medskip

\psset{unit=7cm,comma=true,arrowsize=2pt 4}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(1.1,1.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=10](0,0)(1.1,1.2)
\psaxes[Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.1,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{1}{1 1 x add div}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x neg exp 1 x add div}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 x add div}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 3 mul neg exp 1 x add div}
\uput[u](0.9,0.53){\blue $f_{0}$}\uput[u](0.9,0.22){$f_{1}$}\uput[u](0.9,0.1){$f_{2}$}\uput[u](0.9,0.02){$f_{3}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$ en expliquant la démarche. 
		\item  Démontrer cette conjecture.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 0$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] : 

\[0 \leqslant 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} 	\leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\leqslant \text{e}^{- nx}.\]

		\item Montrer que les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ sont convergentes et déterminer leur limite.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\

		\item A l'aide d'une intégration par parties (en posant $u=\dfrac{1}{1+x}$ dans $I_n$), montrer 
\[I_{n} = \dfrac{1}{n}\left(1 - \dfrac{\text{e}^{- n}}{2} - J_{n} \right).\]
		
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} nI_{n}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}[Bonus (1 point)]
Soit $\varphi$ définie par 
\[
 \varphi(x)=\int_x^{x^2} \dfrac{1}{\ln t} \, \dt
\]
On ne cherchera pas à expliciter une primitive de $\varphi$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer le domaine de définition $D$ de $\varphi$.
 \item Déterniner les variations de $\varphi$.
\end{enumerate}


\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
