\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 10}$  : La Totale  }{}{T\up{ale} }{1 mars 2023}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
\begin{exercice}\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}
%[Bac 2022]


\textbf{Partie 1}

\medskip

Julien doit prendre l'avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport. 

S'il prend le bus de $8$~h, il est sûr d'être à l'aéroport à temps pour son vol.

Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d'arriver à temps à l'aéroport.

Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu'il manque son bus est de $0,8$.

S'il manque son bus, il se rend à l'aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d'être à l'heure à l'aéroport.

\smallskip

On notera :

\setlength\parindent{12mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement: \og Julien réussit à prendre son bus \fg ;
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement: \og Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $P_B(V)$.
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.\index{arbre pondéré}
\item Montrer que $P(V) = 0,6$.
\item Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ? Justifier.
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{Partie 2}

\medskip

Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu'il n'y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l'embarquement du vol sur lequel ils ont réservé.
On appelle cette pratique le surbooking.

Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5\,\% de chance de ne pas se présenter à l'embarquement.

Considérons un vol dans un avion de $200$~places pour lequel $206$~billets ont été vendus.
On suppose que la présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l'embarquement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.\index{loi binomiale}
\item En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l'embarquement ?\index{espérance}
% \item Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l'embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près.
% \item Calculer $P(X \leqslant 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction \textbf{binomiale$(i, n, p)$} créée pour l'occasion qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def proba(k):\\
\quad  P=0\\
\quad for i in range(0,k+1) :\\
\qquad P=P+binomiale(i,206,0.95)\\
\quad return P\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Déterminer, à $10^{-3}$ près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l'on saisit proba(200) dans la console Python.

Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

\item La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros.

Si plus de $200$ passagers se présentent à l'embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d'avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé.

On appelle :

\setlength\parindent{12mm}
\begin{description}
\item[ ] $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer
bien qu'ayant acheté un billet;
\item[ ] $C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d'affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.
\end{description}

On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$y_i$					&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$P\left(Y = y_i\right)$	&\np{0,94775}&\np{0,03063}&\np{0,01441}&\np{0,00539}&\np{0,00151}&\np{0,00028}& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
        \item Justifier la valeur correspondant à $P(Y = 1)$.
		\item Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$.\index{loi de probabilité}
		\item Justifier que: $C = \np{51500} - 850Y$.
		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d'un tableau.
		
Calculer l'espérance de la variable aléatoire $C$ à l'euro près.\index{espérance}
		\item Comparer le chiffre d'affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d'affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.
	\end{enumerate}
	
	\item La compagnie aime prendre des risques. Comment choisir le plus grand nombre possible $n$ de billets vendus pour que la probabilité de refuser des personnes à l'embarquement soit inférieure à 0,1 ?
	
\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
