\documentclass[11pt]{article}

\input{Preambule.tex}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}


\usepackage{xcolor}
\usepackage[skins,breakable]{tcolorbox}
\definecolor{Couleur1}{rgb}{0.7,0,0}
\definecolor{Couleur2}{rgb}{1,0.6,0}
\newboolean{solution}
\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
                    breakable,
                    enhanced,
                    colframe=Couleur2!5,
                    colback=Couleur2!5,
                    coltext=Couleur1,
                    title=Correction :,
                    coltitle=Couleur1,
                    fonttitle=\bfseries,
                    attach boxed title to top left,
                    boxed title style={left=0pt,
                                       boxrule=0pt,
                                       colframe=white,
                                       colback=white,
                                       },
                    }


\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
                               {\ifthenelse{\boolean{solution}}
                                   {\par\medskip
                                    \begin{corrigeboite}
                                    #1
                                    \end{corrigeboite}
                                    \par\medskip}
                                   {}
                               }
                               {}

\setboolean{solution}{true}
\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
% \begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
%                 % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
%                 % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
% \input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 5}$  : Suites et fonction (1h30)}{}{T\up{ale} }{19 décembre 2022}



\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 

\begin{exercice}[(11 points)]
 
\textbf{Partie A :} On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\R$ par 
\[f(x) = x\text{e}^{- x}.\]
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et en déduire les variations de $f$.
  \item Etudier les limites de $f$ en $\mI$ et $\pI$.
 \end{enumerate}

\textbf{Partie B :} Ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.\\
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.\\

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{6cm}
\item En utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, placer les termes $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$ sur l'axe des                       abscisses. Laisser les tracés apparents.
        
Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et sa limite éventuelle.
        
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
\[ 0 < u_{n+1}\leq u_{n}\leq1\].

\item \begin{enumerate}
        \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 
		\item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $f(x)=x$. 
		
            Résoudre cette équation et déterminer la valeur de cette limite.
	\end{enumerate}
       \end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{center} 
 \psset{xunit=4cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.5,1.1)
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.1)}
\multido{\n=0.0+0.5}{3}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.5](0,0)(-0.1,-0.1)(2.5,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{1.1}{x}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{2.5}{x 2.71828 x exp div}
\uput[l](0.8,0.8){$\Delta$}
\uput[u](1.8,0.3){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}




\end{enumerate}
\textbf{Partie C :}\\

Etudier la convexité de $f$ sur $\R$, et donnez les coordonnées des points d'inflexion.



 
% \textbf{Partie C :}\\
% 
% \begin{minipage}{10cm}
% Soit la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
% \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\]
% Compléter l'algorithme ci-contre afin qu'il calcule $S_{100}$.
% \end{minipage}
% \begin{minipage}{9cm}
% \begin{center}
%  \begin{tabular}{|l|}\hline 
% Déclaration des variables :\\ 
% \hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
% 			$S$ et $u$ sont des nombres réels\\
% 			$k$ est un nombre entier
% 		\end{tabular}\\
% Initialisation :\\ 
% \hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
% 			$u$ prend la valeur \ldots \ldots\\
% 			$S$ prend la valeur \ldots \ldots\\
% 		\end{tabular}\\
% Traitement :\\
% \hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
% Pour $k$ variant de 1 à \ldots.\\
% 			\hspace{1cm}\begin{tabular}{l} 
% 				$u$ prend la valeur $u \times  \text{e}^{- u}$\\
% 				$S$ prend la valeur \ldots.\\
% 				\end{tabular}\\
% Fin Pour\\ 
% Afficher \ldots \ldots\\ 
% \end{tabular}\\\hline
% \end{tabular}
% \end{center}
% \end{minipage}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(9 points)]
Soit $f$ défnie sur $\R^\star_+$ par :
\[
 f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x^2}
\]
On note $\calc$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
 \item 
 \begin{enumerate}
 \item Déterminer la limite de $f$ en 0. 
 \item Déterminer la limite de $f$ en $\pI$.
 \item Donner une interprétation graphique de ces deux limites.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item Résoudre l'inéquation sur $\R^\star_+$:
        \[
         -1-2\ln x >0
        \]

       \item Montrer que pour tout $x>0$, on a 
       \[
        f'(x)=\dfrac{ -1-2\ln x}{x^3}
       \]
\item En déduire le tableau de variations de $f$
      \end{enumerate}
\item Déterminer les points d'intersecion de $\calc$ avec l'axe des abscisses.
        \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exerciced}
Quel est le maximum de $q(x,y)=xy^2$ sachant que $x \geq 0$ et $x+y=20$ ?
\end{exerciced}


% \end{empfile}
\end{document}


 
