\documentclass[12pt]{article}

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% \setboolean{corr}{true}
% \NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b}{\ifthenelse{}{\par  \color{red} {\bf Correction :} \par #1 \color{black} }{}}{}
% 
% \NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b}{\ifthenelse{\par  \color{green} {\bf Correction :} \par }{#1}{\color{black}}}{}
\usepackage{xcolor}
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\newboolean{solution}
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                    enhanced,
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                    colback=Couleur2!5,
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                    title=Correction :,
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                                    #1
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                                    \par\medskip}
                                   {}
                               }
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\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
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\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
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\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 3}$  : Limites (1h)}{}{T\up{ale} }{9 novembre 2022}



\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 

\begin{exercice}[(9 points)]
Déterminer dans chaque cas la limite de $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}
                 ,itemsep=1cm
                 ]
\item $\sqrt{x}-x$ ; \quad en $\pI$.



% \item $\dfrac{\E^x}{\E^x +x}$ ; \quad en $\pI$ 
% \item $ \ds \dfrac{3x-1}{9-27x};$ \quad en $\frac{1}{3}$                 
\item $ \ds \dfrac{12x-3}{5-20x};$ \quad en $\dfrac{1}{4}$  
% \item $\dfrac{-3x+4x^3}{3x^3+x-3}$ ; \quad en $\mI$     
% \item $\dfrac{x-5}{x^2-x-6}$ ; \quad en $-2^+$ 
\item $\dfrac{-x+5}{x^2-5x+6}$ ; \quad en $2^+$ 

% \item $\E^{\frac{1}{x-1}}$ ; \quad en $1^-$   

\item $\E^{x-x^3}$ ; \quad en $\pI$   
% \item $\dfrac{\E^{2x}}{\E^{3x}-\E^{x}}$ ; \quad en $\pI$ 

% \item $\dfrac{2x^2-3x-2}{x-2}$ ; \quad en $2$       
% \item $2x^2 - \sin x$ ; \quad en $\mI$
\item $2x - \sin x^2$ ; \quad en $\pI$
% \item $f(x)=\sqrt{x^3}-x$ ; \quad en $\pI$
% \item $\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x+1}$ ; \quad en $\pI$   
\item $\E^{2x+3}-\E^{2x+1}$ ; \quad en $\pI$ 
% \item $\dfrac{\E^{3x}-\E^x}{\E^{4x}-\E^{7x}+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}

 \item  On a par factorisation : $f_1(x)=\sqrt{x}(1-\sqrt{x})$. Donc par produit des limites : $\limite{x}{\pI}f_1(x)=\mI$.

 \item On a 
 \begin{align*}
f_2(x)&=\ds \dfrac{12x-3}{5-20x}\\
&=\ds \dfrac{3(4x-1)}{5(1-4x)}\\
&=\ds \dfrac{-3}{5}
  \end{align*}
  Donc $\limite{x}{\frac{1}{4}}f_2(x)=-\ds \dfrac{3}{5}$.


\item On a $\limite{x}{2}(-x+5)=3$.

D'autre part : $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ car $2$ est racine évidente. 

On a donc le tableau de signes suivant :

\begin{tikzpicture}
\tikzset{h style/.style =
{pattern=north west lines}}
\tkzTabInit[color,espcl=1.5]%
{$x$ / 1,$x^2-5x+6$ / 1}%
{$\mI$,$2$,$3$,$\pI$}%
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}

Ainsi $\limite{x}{2^+}x^2-5x+6=0^-$ et donc par quotient $\limite{x}{2^+}f_3(x)=\mI$.


\item On a par théorème du plus haut degré : $\limite{x}{\pI}x-x^3=\mI$.

Et d'autre part $\limite{X}{\mI}\e^X=0$,

donc par composition (avec $X=x-x^3$), on a $\limite{x}{\pI}f_4(x)=0$

\item Pour tout $x \in\R$,
\[
 -1\leq -\sin x^2 \leq 1
\]

Donc par somme :

\[
 2x-1\leq -\sin x^2 \leq 2x+1
\]

Et d'autre part $\limite{x}{\pI}2x-1=\pI$, donc par comparaison, $\limite{x}{\pI}f_5(x)=\pI$

\item On a par factorisation :

$f_6(x)=\e^{2x}(\e^3-\e)$

et $\limite{x}{\pI}\e^{2x}=\pI$ (par composée évidente).

donc par produit : $\limite{x}{\pI}f_6(x)=\pI$

\end{enumerate}
\end{corrige}



\end{exercice}


\begin{exercice}[(9 points)]
 \begin{enumerate}
  \item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
  \[
   g(x)=\e^x-x
  \]
  
  \begin{enumerate}
   \item Déterminer la limite de $g$ en $\pI$ et $\mI$.
   \begin{corrige}
    En $\mI$, comme $\limite{x}{\mI}\e^x=0$ on en déduit $\limite{x}{\mI}g(x)=\pI$
    
    En $\pI$, par factorisation $g(x)=\e^x(1-\dfrac{x}{\e^x})$
    
    Par croissance comparée $\limite{x}{\pI}\dfrac{x}{\e^x} =0$ donc finalement par produit :
    $\limite{x}{\pI}g(x)=\pI$
   \end{corrige}

   \item Calculer, pour tout $x\in\R, g'(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$.

   \begin{corrige}
     pour tout $x\in\R, g'(x)=\e^x-1$.
     
     \begin{align*}
      g'(x)<0 &\ssi \e^x < 1\\
      &\ssi \e^x < \e^0\\
      &\ssi x < 0  \text{~~~~~~~~~~~(Car $\exp$ strictement croissante sur $\R$)}.
     \end{align*}
     
     On déduit alors le tableau de variations :
     
     
     \begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,espcl=5]{ $x$ / 1,
$g'(x)$ / 1,
Variations de \\$g$ / 2}
{ $\mI$ , $0$ ,$\pI$}
{ ,-,z,+,}
{ +/$\pI$ , -/$1$ , +/ $\pI$}%
\end{tikzpicture}


   \end{corrige}

   \item Justifier que pour tout $x\in\R, g(x)>0$.
   
   \begin{corrige}
    D'après le tableau de variations, 1 est le minimum de $g$ sur $\R$ donc pour $x\in\R, g(x)>0$.
   \end{corrige}

  \end{enumerate}

  \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
  \[
   f(x)=\dfrac{\e^x}{\e^x-x}
  \]
  \begin{enumerate}
   \item Expliquer pourquoi $f$ est bien définie sur $\R$.
   \begin{corrige}
    $f$ est bien définie lorsque son dénominateur ne s'annule pas. D'après la question précédente,  pour $x\in\R, g(x)>0$ ce qui veut dire que $\e^x-x>0$ et donc que le dénominateur est non nul pour tout $x\in\R$.
    
    $f$ est bien définie sur $\R$.
   \end{corrige}

   \item Déterminer la limite de $f$ en $\mI$.
   \begin{corrige}
    $\limite{x}{\mI}\e^x=0$ et donc par somme, $\limite{x}{\mI}\e^x-x=\pI$.
    
    Donc par quotient  $\limite{x}{\mI}f(x)=0$
   \end{corrige}

   \item Montrer que sur $\R$, on a :
  \[
   f(x)=\dfrac{1}{1-\dfrac{x}{\e^x}}
  \]  
  \begin{corrige}
   Pour tout $x\in\R$, 
   \begin{align*}
     f(x)&=\dfrac{\e^x}{\e^x-x}\\
     &=\dfrac{\e^x}{\e^x(1-\dfrac{x}{\e^x})}~~~~~~~~~~~\text{(factorisation par $\e^x$) }\\
     &=\dfrac{1}{1-\dfrac{x}{\e^x}}
   \end{align*}

  \end{corrige}

  
  \item En déduire la limite de $f$ en $\pI$.
  \begin{corrige}
   Par inverse de la croissance comparée : $\limite{x}{\pI} \dfrac{x}{\e^x}=0$ et donc on a $\limite{x}{\pI}f(x)=1$
  \end{corrige}

  \item La courbe représentative $\calc$ de $f$ admet-elle des asymptotes ? Si oui, lesquelles ?
  \begin{corrige}
   $\limite{x}{\mI}f(x)=0$ donc l'axe des abscisses est asymptote à $\calc_f$ en $\mI$.
   
   $\limite{x}{\pI}f(x)=1$ donc la droite d'équation $y=1$ est asymptote à $\calc_f$ en $\pI$.
  \end{corrige}

  \item Montrer que pour tout $x\in\R$ :
  \[
   f'(x)=\dfrac{\e^x(1-x)}{(\e^x-x)^2}
  \]
  
  \begin{corrige}
    Pour tout $x\in\R$, 
   \begin{align*}
     f'(x)&=\dfrac{(\e^x-x)\e^x-(\e^x-1)\e^x}{(\e^x-x)^2}\\
     &=\dfrac{\e^x(1-x)}{(\e^x-x)^2}
   \end{align*}
  \end{corrige}

  \item Dresser alors le tableau de variations de $f$.
\begin{corrige}
 Pour tout $x\in\R$, $\e^x>0$, $(\e^x-x)^2>0$ donc par produit le signe de $f'(x)$ est celui de $1-x$. On en déduit le tableau de variation suivant :
 
 \medskip
      \begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,espcl=5]{ $x$ / 1,
$f'(x)$ / 1,
Variations de \\$f$ / 2}
{ $\mI$ , $1$ ,$\pI$}
{ ,+,z,-,}
{ -/$0$ , +/$\dfrac{\e}{\e-1}$ , -/ $1$}%
\end{tikzpicture}


\end{corrige}

  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{exercice}


\newpage 


\begin{exercice}[(2 points)]
 On rappelle que la fonction partie entière de $x$ est définie sur $\R$ comme étant le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. 
 
 On rappelle qu'en conséquence, pour tout $x$ dans $\R$ on a :
 \[
  x-1 \leq E(x) \leq x ~~~~~~~~~~ (\star)
    \]

 
 Les deux questions sont indépendantes :
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\limite{x}{\pI}\dfrac{E(x)}{x} =1$
  \begin{corrige}
   Pour $x>0$, on en divisant l'inégalité donnée par $x$ :
  \[
  \dfrac{x-1}{x} \leq \dfrac{E(x)}{x} \leq 1
    \]  
    
    Et le membre de gauche satisfait : $\limite{x}{\pI}\dfrac{x-1}{x}=1$ (par théorème du plus haut degré).
    
    donc par théorème des gendarmes  $\limite{x}{\pI}\dfrac{E(x)}{x}=1$
  \end{corrige}

  \item Montrer par un raisonnement par l'absurde que dans $(\star)$, l'inégalité de gauche est améliorable et qu'en fait on a :
  \[
  x-1 < E(x) 
 \]
 
 \begin{corrige}
  Il s'agit de montrer qu'à gauche on ne peut pas avoir égalité. 
  
  Supposons le contraire : Si $x-1=E(x)$, alors comme $E(x)\in \Z$, il en est de même pour $x-1$ et donc pour $x$. C'est-à-dire $x\in\Z$. Mais alors dans ce cas $E(x)=x$. 
  
  Ceci est absurde car on a supposé $E(x)=x-1$ ....!
  
  
 \end{corrige}

 \end{enumerate}

\end{exercice}


% \begin{exerciced}
% $f(x)=\sqrt{3x+1}- \sqrt{x+4}$ pour $x\in \R^+$. Déterminez la limite de $f$ en $\pI$.
% \end{exerciced}

\begin{exerciced}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\dfrac{n!}{n^n}$.  Étudiez la limite de $(u_n)$.

\medskip

{\itshape On rappelle que $n!=1\times2\times3\times\dots\times n$}

\begin{corrige}
 On a :
 \begin{align*}
  u_n&=\dfrac{n!}{n^n}\\
  &=\dfrac{1\times2\times\dots\times(n-1)\times n}{n\times n\times \dots \times n \times n}\\
  &=\dfrac{1}{n}\times\dfrac{2}{n}\times\dots \dfrac{n-1}{n}\times\dfrac{n}{n} \\
 \end{align*}
 
 Chacun des facteurs $\dfrac{k}{n}$ avec $k$ entre 2 et $n$ est majoré par 1. Ainsi on peut écrire que $u_n\leq \dfrac{1}{n}$.
 
 et on termine avec le théorème des gendarmes car on a $0\leq u_n\leq \dfrac{1}{n}$.
 
 Donc $\limite{n}{\pI} u_n =0$

\end{corrige}


\end{exerciced}




\end{empfile}
\end{document}


 
