\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 2}$  : Bazooka 2 en 1 (30 min)}{}{T\up{ale} }{19 octobre 2022}



\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 \begin{exercice}
  % bac polynesie 2022
  
Soit $k$ un nombre réel.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1} = ku_n\left(1- u_n\right).\]

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. 

On y étudie deux cas de figure selon les valeurs de $k$.

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Dans cette partie, $k = 1,9$ et $u_0 = 0,1$.

On a donc,  pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 1,9u_n\left(1 - u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par $f(x) = 1,9x(1 - x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~1].
		\item En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.
	\end{enumerate}	
\item Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ construits à partir de la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et de la droite $D$ d'équation $y = x$.

Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ et sa limite éventuelle.

\medskip

\includegraphics[scale=0.45]{SuitePolynesie2022.eps}
% %%début
% \psset{unit=10cm,arrowsize=2pt 3,comma=true}
% \def\xmin{-0.3} \def\xmax{1.05}
% \def\ymin{-0.2} \def\ymax{0.65} 
% \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
% 
% %%% grille 1cm x 1cm
% \psgrid[unit=1cm,gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=gray](0,0)(1,1)
% %%% axes
% \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)
% %%% origine
% \uput[dl](0,0){O}
% %%% définition de la fonction
% \def\f{1.9 x mul  1 x sub mul}
% %%% tracé de la représentation graphique de la fonction
% \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{\f}
% %%%% nom de la courbe
% \uput[10](0.8,0.3){\blue $\mathscr{C}_f$}
% %%% droite d'équation y = x
% \psplot[plotpoints=1000,linecolor=rb!80]{0}{1}{x}
% \uput[d]{45}(0.65,0.65){\rb $D : y=x$}
% %%% \pstfixpoint[options]{abscisse début}{fonction}{nb itérations}
% \psFixpoint[linecolor=red,ArrowInside=-<]{0.1}{\f}{3}
% \psline[linestyle=dashed](0.1,0.171)(0,0.171)\uput[l](0,0.171){\small $u_1 = f\left(u_0\right)$}
% \uput[d](0.1,-0.075){\small $u_0$}
% \psline[linestyle=dashed](0.171,0.171)(0.171,0)\uput[d](0.171,-0.075){\small $u_1$}
% \psline[linestyle=dashed](0.269,0.269)(0.269,0)\uput[d](0.269,-0.075){\small $u_2$}
% \psline[linestyle=dashed](0.374,0.374)(0.374,0)\uput[d](0.374,-0.075){\small $u_3$}
% \psline[linecolor=red](0.374,0.374)(0.374,0.445)
% \end{pspicture*}
% %%fin
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les résultats de la question 1, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
		
\[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac12.\]

		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite $\ell$.
		\item On admet que $f(\ell)=\ell$. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item {\bf (hors barême)} Montrer que $\ell$ satisfait $f(\ell)=\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

 Dans cette partie, $k= \dfrac12$  et $u_0 = \dfrac14$.

On a donc, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac12 u_n \left(1 - u_n\right)$ et $u_0 = \dfrac14$.

On admet que pour tout entier naturel $n :\: 0 \leqslant u_n \leqslant \left(\dfrac12\right)^n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n :\: 0 \leqslant u_n \leqslant \left(\dfrac12\right)^n$.
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
\item On considère la fonction Python \texttt{algo (p)} où \texttt{p} désigne un entier naturel non nul:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\texttt{def algo(p) :}\\
\quad  \texttt{u =1/4}\\
\quad \texttt{n = 0}\\
\quad \texttt{while u > 10**(-p):}\\
\quad \quad \texttt{u = 1/2*u*(1 - u)}\\
\quad \quad \texttt{n = n+1}\\
\quad \texttt{ return(n)}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel non nul \texttt{p}, la boucle while ne tourne pas indéfiniment, ce qui permet à la commande \texttt{algo (p)} de renvoyer une valeur.
\end{enumerate}
 \end{exercice}

\end{empfile}
\end{document}


 
