\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 1}$  : Révisions, fonctions et suites (2h)}{}{T\up{ale} }{3 octobre 2022}



\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 \begin{exercice}[(6 points)]
% amerique du sud juin 2022 sujet 2
On considère la suite  $\left(u_n\right)$ définie par  $u_0 = \np{2000}$ et $u_{n+1} = 0,9u_n + 100$.


\begin{enumerate}
 \item 
 \begin{enumerate} 
 \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :\: $\np{1000} < u_{n+1}  \leqslant u_n$.
 \item Que pouvez-vous dire sur la suite $\left(u_n\right)$ ?
\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{1000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
		\item En déduire que la forme explicite de $(v_n)$ puis de $(u_n)$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}

	\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
	\begin{enumerate}[resume]
	\item Soit $S > 1000$, on souhaite déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leqslant S$. Compléter le programme Python ci-contre pour qu'il réalise cette tâche.
	
	\end{enumerate}

\end{minipage}\hspace{1cm}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}


\begin{lstlisting}[language=python]
def population(S) :
    n=0
    u=2000
    while ............ :
        u=.................
        n=................
    return ...............

\end{lstlisting}

\end{minipage}
% \end{enumerate}

 \end{exercice}

 \begin{exercice}[(3 points)]
 On définit sur $\R$,  $\fonction{f}{x}{x^2\E^{-x}}$.
  \begin{enumerate}
   \item Montrer que la dérivée de $f$ s'exprime pour $x\in\R$ par :
   \[
    f'(x)=\E^{-x}(2x-x^2)
   \]
\item Etudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représantative de $f$ au point d'abscisse 1.
  \end{enumerate}

 \end{exercice}

  \begin{exercice}[(3 points)]
   Pour tout entier $m\in \Z$, on définit sur $\R$, la fonction $f_m$ par 
   
   \[f_m(x)=(m-1)x^2-(4m+1)x+m-5\]
   
   et on note $\calc_m$ sa courbe représentative. On considère également la droite $\cald : y= -x+1$.
   \begin{enumerate}
    \item Montrer que $\calc_m$ et $\cald$ n'ont pas de point d'intersection si est seulement si $3m^2 +7m -6<0$
    \item En déduire l'ensemble des $m \in \Z$, pour lesquels $\calc_m$ et $\cald$ n'ont pas de point d'intersection.
   \end{enumerate}

  \end{exercice}

  
  
  
\begin{exercice}[(2 points)] Complétez par le résultat ou bien par indéterminé le cas échéant.

\begin{enumerate}[itemsep=0.5cm, label=\ding{93}]
 \item Si $\limite{n}{\pI} u_n = \mI$ et $\limite{n}{\pI} v_n = -3 $ alors $\limite{n}{\pI} \dfrac{u_n}{v_n} = \dotfill$

  \item Si $\limite{n}{\pI} u_n = \pI$ et $\limite{n}{\pI} v_n = 0 $ alors $\limite{n}{\pI} \dfrac{u_n}{v_n} = \dotfill$
   \item Si $\limite{n}{\pI} u_n = \pI$ et $\limite{n}{\pI} v_n = -10^{10^{10}} $ alors $\limite{n}{\pI} \dfrac{u_n}{v_n} = \dotfill$ 
%          \item Si $\limite{n}{\pI} u_n = \E$ et $\limite{n}{\pI} v_n = \pI $ alors $\limite{n}{\pI} {u_n}+{v_n} = \dotfill$
   \item Si $\limite{n}{\pI} u_n = -10^{-3}$ et $\limite{n}{\pI} v_n = \mI $ alors $\limite{n}{\pI} {u_n}{v_n} = \dotfill$
   

\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage


\begin{exercice}[(2 points)]
 Soit pour $n\geq 2$ avec $n\in \N$, $u_n=\dfrac{n+\cos(3n)}{1-n^2}$.
 \begin{enumerate}
  \item Donner (en justifiant) un encadrement de $(u_n)$ par les nombres $\dfrac{n+1}{1-n^2}$ et $\dfrac{n-1}{1-n^2}$.
  \item En déduire la limite de $(u_n)$. 
 \end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(4 points)]

Déterminer les limites des suites suivantes :
 
\begin{enumerate}[itemsep=0.5cm]
 \item $u_n=(n-n^3)(4+n^2)$ ; $n \in \N$.
 \item $v_n=\dfrac{5n-n^2}{2n^4-6n^2}$ ; $n \in \N^\star$.
 \item $w_n=5^{2n}-12^n$
 \item $h_n=-\dfrac{3n}{\E^{-n}}$
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(1 point)]
Soit la suite $(u_n)$ de terme général $u_n=\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{3}{n^2}+\dots+\dfrac{n}{n^2}$ pour $n\in\N^\star$.


Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\dfrac{1}{2}$.
\end{exercice}


\begin{exerciced} 
Soit $(u_n)$ définie pour $n\in \N$ par $u_n=n2^n$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout $k\in \N$ : 
 \[u_{k+1}-u_k=(k+2)2^k\]
 \item En déduire 
 \[
  S_n=\sum_{k=0}^{n} (k+2)2^k
 \]

\end{enumerate}

\end{exerciced}

\begin{exerciced} 
Montrer par récurrence que pour tout $n\in \N^\star$ :
\[
 \dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+\dots +\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{n}{2n+1}.
\]
 
\end{exerciced}

\begin{exerciced} 
 Soit $x \in ]-1;1[$ et $y \in ]-1;1[$, montrer que :
 \[
  \dfrac{x+y}{1+xy} \in ]-1;1[
 \]
 
 Indication : pour  $y \in ]-1;1[$ fixé, vous pourrez étudier la fonction $f_y(x)=\dfrac{x+y}{1+xy}$
\end{exerciced}



\newpage



\devpers{$\pmb{  \cald \cals ~ \caln^o 1}$  : Révisions, fonctions et suites (2h)}{}{T\up{ale} }{3 octobre 2022.}



\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 \begin{exercice}[(6 points)]
% amerique du sud juin 2022 sujet 2
On considère la suite  $\left(u_n\right)$ définie par  $u_0 = \np{2000}$ et $u_{n+1} = 0,9u_n + 100$.


\begin{enumerate}
 \item 
 \begin{enumerate} 
 \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :\: $\np{1000} < u_{n+1}  \leqslant u_n$.
 \item Que pouvez-vous dire sur la suite $\left(u_n\right)$ ?
\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{1000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
		\item En déduire que la forme explicite de $(v_n)$ puis de $(u_n)$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}

	\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
	\begin{enumerate}[resume]
	\item Soit $S > 1000$, on souhaite déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leqslant S$. Compléter le programme Python ci-contre pour qu'il réalise cette tâche.
	
	\end{enumerate}

\end{minipage}\hspace{1cm}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}


\begin{lstlisting}[language=python]
def population(S) :
    n=0
    u=2000
    while ............ :
        u=.................
        n=................
    return ...............

\end{lstlisting}

\end{minipage}
% \end{enumerate}

 \end{exercice}

 \begin{exercice}[(3 points)]
 On définit sur $\R$,  $\fonction{f}{x}{x^2\E^{-x}}$.
  \begin{enumerate}
   \item Montrer que la dérivée de $f$ s'exprime pour $x\in\R$ par :
   \[
    f'(x)=\E^{-x}(2x-x^2)
   \]
\item Etudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représantative de $f$ au point d'abscisse 1.
  \end{enumerate}

 \end{exercice}

  \begin{exercice}[(3 points)]
   Pour tout entier $m\in \Z$, on définit sur $\R$, la fonction $f_m$ par 
   
   \[f_m(x)=(m-1)x^2-(4m+1)x+m-3\]
   
   et on note $\calc_m$ sa courbe représentative. On considère également la droite $\cald : y= -x+3$.
   \begin{enumerate}
    \item Montrer que $\calc_m$ et $\cald$ n'ont pas de point d'intersection si est seulement si $3m^2 +7m -6<0$
    \item En déduire l'ensemble des $m \in \Z$, pour lesquels $\calc_m$ et $\cald$ n'ont pas de point d'intersection.
   \end{enumerate}

  \end{exercice}

  
  
  
\begin{exercice}[(2 points)] Complétez par le résultat ou bien par indéterminé le cas échéant.

\begin{enumerate}[itemsep=0.5cm, label=\ding{93}]
 \item Si $\limite{n}{\pI} u_n = \mI$ et $\limite{n}{\pI} v_n = \pI $ alors $\limite{n}{\pI} {u_n}{v_n} = \dotfill$

  \item Si $\limite{n}{\pI} u_n = \pI$ et $\limite{n}{\pI} v_n = 0 $ alors $\limite{n}{\pI} \dfrac{u_n}{v_n} = \dotfill$
   \item Si $\limite{n}{\pI} u_n = \pI$ et $\limite{n}{\pI} v_n = -10^{10^{10}} $ alors $\limite{n}{\pI} \dfrac{v_n}{u_n} = \dotfill$ 
%          \item Si $\limite{n}{\pI} u_n = \E$ et $\limite{n}{\pI} v_n = \pI $ alors $\limite{n}{\pI} {u_n}+{v_n} = \dotfill$
   \item Si $\limite{n}{\pI} u_n = -10^{-100}$ et $\limite{n}{\pI} v_n = \mI $ alors $\limite{n}{\pI} {u_n}{v_n} = \dotfill$
   

\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage


\begin{exercice}[(2 points)]
 Soit pour $n\geq 2$ avec $n\in \N$, $u_n=\dfrac{3n+\cos(3n)}{1-n^4}$.
 \begin{enumerate}
  \item Donner (en justifiant) un encadrement de $(u_n)$ par les nombres $\dfrac{3n+1}{1-n^4}$ et $\dfrac{3n-1}{1-n^4}$.
  \item En déduire la limite de $(u_n)$. 
 \end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(4 points)]

Déterminer les limites des suites suivantes :
 
\begin{enumerate}[itemsep=0.5cm]
 \item $u_n=(n^3-n)(4-n^2)$ ; $n \in \N$.
 \item $v_n=\dfrac{5n-n^4}{2n^4-6n^2}$ ; $n \in \N^\star$.
 \item $w_n=3^{2n}-12^n$
 \item $h_n=-\dfrac{3n^2}{\E^{-n}}$
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[(1 point)]
Soit la suite $(u_n)$ de terme général $u_n=\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{3}{n^2}+\dots+\dfrac{n}{n^2}$ pour $n\in\N^\star$.


Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\dfrac{1}{2}$.
\end{exercice}


\begin{exerciced} 
Soit $(u_n)$ définie pour $n\in \N$ par $u_n=n2^n$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout $k\in \N$ : 
 \[u_{k+1}-u_k=(k+2)2^k\]
 \item En déduire 
 \[
  S_n=\sum_{k=0}^{n} (k+2)2^k
 \]

\end{enumerate}

\end{exerciced}

\begin{exerciced} 
Montrer par récurrence que pour tout $n\in \N^\star$ :
\[
 \dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+\dots +\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{n}{2n+1}.
\]
 
\end{exerciced}

\begin{exerciced} 
 Soit $x \in ]-1;1[$ et $y \in ]-1;1[$, montrer que :
 \[
  \dfrac{x+y}{1+xy} \in ]-1;1[
 \]
 
 Indication : pour  $y \in ]-1;1[$ fixé, vous pourrez étudier la fonction $f_y(x)=\dfrac{x+y}{1+xy}$
\end{exerciced}

\end{empfile}
\end{document}


 
