\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte  
\usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm} % pour les fontes de maths
\geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 14. Mini épreuve blanche}{}{T\up{ale} }{28 avril 2022}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}

 
 Vous devez traiter l'exercice \Ovalbox{I}, le  \Ovalbox{II} ou le \Ovalbox{III} et le  \Ovalbox{IV} ou le \Ovalbox{V}
 
\begin{exercice}[(8 points)]
 % Antille guyanne juin 2019
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{a}{1 + \text{e}^{-bx}}.\]

La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée
ci-dessous.

La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A(0~;~0,5).
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A passe par le point B(10~;~1).

\begin{center}
\psset{xunit=0.675cm,yunit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(20,1,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(20,1.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{1 1 2.71828 x 0.2 mul neg exp add div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{14}{x 0.05 mul 0.5 add}
\psdots(10,1)\uput[ul](10,1){B}
\uput[u](17,0.95){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $a = 1$.

On obtient alors, pour tout réel $x \geqslant 0$,

\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-bx}}.\]

\item  On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$\index{dérivée}

\[f'(x) = \dfrac{b\text{e}^{-bx}}{\left(1 + \text{e}^{-bx}\right)^2}.\]
\item  En utilisant les données de l'énoncé, déterminer $b$.\index{fonction exponentielle}
\end{enumerate}



\textbf{Partie B}



La proportion d'individus qui possèdent un certain type d'équipement dans une
population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[p(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-0,2x}}.\]

Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1\up{er} janvier 2000.

Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d'individus équipés après $x$ années.

Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d'individus équipés au 1\up{er} janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d'individus équipés au milieu de l'année 2003.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est, pour ce modèle, la proportion d'individus équipés au 1er janvier
2010? On en donnera une valeur arrondie au centième.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
		\item Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
\item  On considère que, lorsque la proportion d'individus équipés dépasse 95\,\%, le
marché est saturé.
	
Déterminer, en expliquant la démarche, l'année au cours de laquelle cela se
produit.
% \item  On définit la proportion moyenne d'individus équipés entre 2008 et 2010 par
% 
% \[m = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_8^{10} p(x)\:\text{d}x.\]
% 	
% 	\begin{enumerate}
% 		\item Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$,
% 
% \[p(x) = \dfrac{\text{e}^{0,2x}}{1 + \text{e}^{0,2x}}.\]
% 
% 		\item En déduire une primitive de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.\index{primitive}
% 		\item Déterminer la valeur exacte de $m$ et son arrondi au centième.
% 	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{exercice}


\newpage
 \begin{exercice}[(8 points)]
  Les parties A et B sont indépendantes :
  
  {\large\bf Partie A}
  %bac s metropole juin 2020
  
  Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type $A$ et un jeu de type $B$.
% 

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :
\begin{itemize}
	\item si le joueur achève une partie de type $A$, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type $A$ avec une probabilité de $0,8$;
	\item si le joueur achève une partie de type $B$, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type $B$ avec une probabilité de $0,7$.
\end{itemize}

Pour une entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :\index{probabilités}

$A_n$ : \og la $n$-ième partie est une partie de type $A$.\fg

$B_n$ : \og la $n$-ième partie est une partie de type $B$.\fg

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$.

\begin{minipage}{.5\linewidth}
	\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci contre.\index{arbre}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : \[a_{n+1}=0,5a_n+0,3\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{center}%%% ex tikZ
{\bigskip
\psset{treesep=.75cm,levelsep=25mm,nodesepB=4pt, treesep=8mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A_n$}\ncput*{$a_n$}}
	                        {
	                        \TR{$A_{n+1}$}\ncput*{$\cdots$}
			                \TR{$B_{n+1}$}\ncput*{$\cdots$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B_n$}\ncput*{$\cdots$}}
	                        {
	                        \TR{$A_{n+1}$}\ncput*{$\cdots$}
			                \TR{$B_{n+1}$}\ncput*{$\cdots$}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}
%%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
%\begin{center}
%	% Racine à Gauche, développement vers la droite
%	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
%	% Styles (MODIFIABLES)
%	\tikzstyle{fleche}=[-,>=latex,thick]
%	\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle]
%	\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle]
%	\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,circle,inner sep=2pt]
%	% Dimensions (MODIFIABLES)
%	\def\DistanceInterNiveaux{3}
%	\def\DistanceInterFeuilles{1}
%	% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
%	\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
%	\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
%	\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
%	\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
%	% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
%	\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
%	\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$A_n$};
%	\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$A_{n+1}$};
%	\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$B_{n+1}$};
%	\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$B_n$};
%	\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$A_{n+1}$};
%	\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$B_{n+1}$};
%	% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
%	\draw[fleche] (R.east) --(Ra) node[etiquette] {$a_n$};
%	\draw[fleche] (Ra.east) --(Raa) node[etiquette] {$\dots$};
%	\draw[fleche] (Ra.east) --(Rab) node[etiquette] {$\dots$};
%	\draw[fleche] (R.east) --(Rb) node[etiquette] {$\dots$};
%	\draw[fleche] (Rb.east) --(Rba) node[etiquette] {$\dots$};
%	\draw[fleche] (Rb.east) --(Rbb) node[etiquette] {$\dots$};
%	\end{tikzpicture}
%\end{center}
%%:-+-+-+-+- Fin
\end{minipage}

Dans la suite de l'exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu $A$ lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$. La suite $(a_n)$ est donc définie par : $a_1=a$, et pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $a_{n+1}=0,5a_n+0,3$.
	\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
	\item \textit{Étude d'un cas particulier.} Dans cette question, on suppose que $a=0,5$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$.\index{récurrence}
		\item Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.
		\item Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est convergente et préciser sa limite.
	\end{enumerate}
\item \textit{Étude du cas général.} Dans cette question, le réel $a$ appartient à l'intervalle $[0~;~1]$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ par $u_n=a_n - 0,6$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.\index{suite géométrique}
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : \\
		$a_n = (a - 0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $(a_n)$. Cette limite dépend-elle de la valeur de $a$?
		\item La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type $A$ et une autre insérée en début des parties de type $B$. Quelle devrait-être la publicité la plus vue par un joueur s'adonnant intensivement aux jeux vidéo ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


{\large\bf Partie B : }

Une entreprise de peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. On constate que 
la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est \np{0,8763}. 



\begin{enumerate}
\item 
Le responsable qualité du site choisit au hasard 50 peluches, de manière indépendante.
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le nombre peluches de cet échantillon qui ne seront
pas acceptées à l’issue des tests.
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier.
 \item Calculer $P(X = 6)$ puis $P(X > 10)$.
\end{enumerate}

\item
Le responsable qualité du site choisit au hasard n peluches, de manière indépendante.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la probabilité $p_n$ que cet échantillon contienne au moins une peluche qui ne
sera pas acceptée à l’issue des tests.
\item En résolvant une inéquation, déterminer n pour que : $p_n \geq 0,99$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}


% 
% \begin{exercice}
%  % inspire de antilles 2014
%  
% Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D'expérience, le concepteur sait que 9\,\% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.
%  
% À l'issue des tests, il est noté que
% 
% \setlength\parindent{6mm}
% \begin{itemize}
% \item[$\bullet~~$] 96\,\% des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ; 
% \item[$\bullet~~$] 97\,\% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l'issue des tests.
% \end{itemize}
% \setlength\parindent{0mm}
%  
% On prélève une peluche au hasard dans la production de l'entreprise. On note
%  
% \setlength\parindent{6mm}
% \begin{itemize}
% \item[$\bullet~~$] $N$ l'évènement : \og la peluche répond aux normes en vigueur \fg{} ; 
% \item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement : \og la peluche est acceptée à l'issue des tests \fg.
% \end{itemize}
% \setlength\parindent{0mm}
% 
% \medskip
%  
% \textbf{Partie A}
% 
% \medskip
% \index{probabilités} 
% \begin{enumerate}
% \item Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.
% \index{arbre} 
% \item Démontrer que la probabilité qu'une peluche soit acceptée à l'issue des tests est \np{0,8763}. 
% \item Calculer la probabilité qu'une peluche qui a été acceptée à l'issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.
% \end{enumerate}
% 
% \bigskip
%  
% \textbf{Partie B}
% 
% 
% Le responsable qualité du site choisit au hasard 50 peluches, de manière indépendante.
% On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre peluches de cet échantillon qui ne seront
% pas acceptées à l’issue des tests.
% \begin{enumerate}
%  \item Quelle est la loi suivie par X ? Justifier.
%  \item Calculer P(X = 6) puis P(X > 10).
% \end{enumerate}
% 
% \textbf{Partie C}
% 
% Le responsable qualité du site choisit au hasard n peluches, de manière indépendante.
% \begin{enumerate}
%  \item Déterminer la probabilité $p_n$ que cet échantillon contienne au moins une peluche qui ne
% sera pas acceptée à l’issue des tests.
% \item En résolvant une inéquation,déterminer n pour que : $p_n \geq 0,99$.
% \end{enumerate}
% 
% \end{exercice}





 \begin{exercice}[(8 points)]
On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête de longueur 1, dont la figure est donnée ci-dessous.

On note $I$ le milieu du segment $[EF]$, $J$ le milieu du segment $[EH]$ et $K$ le point du segment $[AD]$ tel que $\vect{AK}=\dfrac{1}{4}\vect{AD}$.

On note $\mathcal{P}$ le  plan passant par $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.


On munit l'espace du repère orthonormé $\reperetd{A}{AB}{AD}{AE}$.

\begin{enumerate}
\item Donner, sans justifier, les coordonnées de tous les points de la figure.



% \item Démontrer que les vecteurs $\vect{AF}$, $\vect{BG}$ et $\vect{IJ}$ sont coplanaires.


\item \begin{enumerate}
    \item Déterminer les réels $a$ et $c$ tels que le vecteur $\vec{n}\smallce{a}{4}{c}$ soit un vecteur normal au plan $(FHK)$.
    

    
    \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est : $4x+4y-3z-1=0$.

    
    \item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.

    
    \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(AE)$.
  

    \item Calculer les coordonnées du point $M$, point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $(AE)$.
    

    \item  Placer le point  $M$ puis tracer le plan $\calp$ sur la figure ci-dessous.
  \end{enumerate}

  \item On note $\Delta$ la droite passant par le point $E$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    \item Calculer les coordonnées du point $L$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $\calp$.
    \item Calculer la distance du point $E$ au plan $\calp$.
    \item Les droites $\Delta$ et $(BF)$ sont-elles sécantes ? Qu'en est-il des droites $\Delta$ et $(CG)$ ? Justifier.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\bigskip

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
repere(-1,14,0.6cm,-1,13,0.6cm);
 pair A,B,C,D,E,F,G,H;
 pair I,J,K,L,M;
 numeric a,k;
 a=30;k=0.65;
 A=(0,0);B=(8,0);F=(8,8);E=(0,8);
 D=(8*k*cosd(a),8*k*sind(a));C=B+D;
 H=E+D;G=B+E+D;
 I=0.5[E,F];J=0.5[E,H];
 K=0.25[A,D];
 nomme.llft(A);nomme.lrt(B);
 nomme.lrt(C);nomme.ulft(D);
 nomme.ulft(E);nomme.ulft(F);
 nomme.urt(G);nomme.ulft(H);
 draw B--C--G--H--E--A--B--F--E epaisseur 1;
 draw F--G epaisseur 1;
 draw A--D--H dashed evenly epaisseur 1;
 draw C--D dashed evenly epaisseur 1;
 nomme.bot(I);nomme.ulft(J);
 nomme.ulft(K);
fin;
\end{emp}
\end{center}

 \end{exercice}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{exercice}[(4 points)]
  
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle 
$[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{- x}.\]


\end{exercice}

% 
% \textbf{Partie A}
% 
% \medskip
%  
% On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle 
% $[0~;~+ \infty[$ par 
% 
% \[f(x) = x\text{e}^{- x}.\]
% 
% \index{fonction exponentielle}
%  
% \begin{enumerate}
% \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
% \item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.
% \end{enumerate}
% 
% \bigskip
%  
% On donne en \textbf{annexe}  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La droite $\Delta$ d'équation $y = x$ a aussi été tracée.
% 
% \bigskip
%  
% \textbf{Partie B}
% 
% \medskip

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.
\index{suite}
\medskip
 
\begin{enumerate}
% \item Placer sur le graphique donné en \textbf{annexe}, en utilisant la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$. Laisser les tracés explicatifs apparents. 
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} > 0$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Soit $\ell$ sa limite. 
		\item Montrer que $\ell$ est solution de l'équation $x\text{e}^{- x} = x$. 

Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%  
% \bigskip
%  
% \textbf{Partie C}
% 
% \medskip
%  
% On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
%  
% \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\]
%  
% Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe} afin qu'il calcule $S_{100}$. 
% \index{algorithme}
%  
% \vspace{0,5cm}
% 
% \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
%  
% \textbf{Commun à tous les candidats}
% 
% \medskip
%  
% On considère l'équation $\left(E_{1}\right)$ : 
% 
% \[\text{e}^x - x^n = 0\]
% 
% où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.
% 
% \medskip
%  
% \begin{enumerate}
% \item Montrer que l'équation $\left(E_{1}\right)$ est équivalente à l'équation $\left(E_{2}\right)$ : 
%  
% \[\ln (x) - \dfrac{x}{n} = 0.\] 
% \index{fonction logarithme népérien} 
% \item Pour quelles valeurs de $n$ l'équation $\left(E_{1}\right)$  admet-elle deux solutions ?
% \end{enumerate}
% %\vspace{0,5cm}
% 



\begin{exercice}[(4 points)]
 
% antilles-Guyanne Juin 2006



On définit les suites $(a_n)$ et $(n_n)$ pour tout entier naturel $n$ par : 

\[
a_{n+1}=\dfrac{2a_{n}+b_{n}}{3}. \text{~~~~et $a_0=0$}
\]

et 

\[
 b_{n+1}=\dfrac{a_{n}+3b_{n}}{4} \text{~~~~et $b_0=12$}
\]



\noindent \textbf{Partie A}



\begin{enumerate}
\item On consid\`ere la suite $(u_{n})$ d\'efinie, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=b_{n}-a_{n}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_{n})$ est g\'eom\'etrique. En pr\'eciser la raison.
\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$.
\item D\'eterminer la limite de $(u_{n})$. 
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que la suite $(a_{n})$ est croissante (on pourra utiliser le signe de $u_{n}$).
\item \'Etudier les variations de la suite $(b_{n})$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item On consid\`ere la suite $(v_{n})$ d\'efinie, pour tout entier naturel $n$, par 
\[
v_{n}=3a_{n}+4b_{n}.
\]
 Montrer que la suite $(v_{n})$ est constante.
 
\item En déduire les formes explicites de $(a_{n})$ et $(b_{n})$.
\end{enumerate}
 
\end{exercice}




\end{empfile}
\end{document}


 
