\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm} % pour les fontes de maths
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 12 Fonctions (1h30)}{}{T\up{ale} }{23 mars 2022}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
  \begin{exercice}
  %septembre 2021 
\begin{center}\textbf{Partie I}\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x - \text{e}^{-2x}.\]

On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\oij$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie II}\end{center}


Dans le repère orthonormé $\oij$, on appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par:

\[g(x) = \text{e}^{-x}.\]

 La courbes $\mathcal{C}$ et la courbe $\Gamma$ (qui représente la fonction $f$ de la Partie I) sont tracées sur le \textbf{graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.}

\smallskip

Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe $\mathcal{C}$ le plus proche de l'origine O du repère et d'étudier la tangente à $\mathcal{C}$ en ce point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $t$, on note $M$ le point de coordonnées $\left(t~;~\E^{-t}\right)$ de la courbe $\mathcal{C}$.

On considère la fonction $h$ qui, au nombre réel $t$, associe la distance $OM$.

\begin{enumerate} 

\item Justifier que 

\[h(t) = \sqrt{t^2 + \E^{-2t}}\]

	
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $t$,

\[h'(t) = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \E^{-2t}}}.\]

où $f$ désigne la fonction étudiée dans la \textbf{Partie I}.
		\item Démontrer que le point A de coordonnées $\left(\alpha~;~\E^{-\alpha}\right)$ est le point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la longueur $OM$ est minimale.
		

Placer ce point sur le \textbf{graphique donné en annexe, à rendre avec la copie}.
	\end{enumerate}
\item On appelle $T$ la tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $\alpha$ le coefficient directeur de la tangente $T$, puis donner une vecteur directeur de $T$.
		

		\item Démontrer que la droite $(OA)$ et la tangente $T$ sont perpendiculaires. 
		
Tracer ces droites sur le \textbf{graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
 
\psset{unit=1.75cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1,-0.75)(3.25,2.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.08pt](-1,-1)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.99,-0.75)(3.25,2.6)
\uput[l](1.5,1.5){\red $\Gamma$}\uput[ur](-0.75,2){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-1}{3.25}{x 1 2.71828 2 x mul exp div sub}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1}{3.25}{1 2.71828  x  exp div}
\end{pspicture*}
\end{center}



\end{exercice}

\begin{exercice} On pose pour tout entier naturel $n$ non nul :
\[
I_n=\int_1^\E x^2(\ln x )^n \,dx
\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in [1;\E]$ on a 
\[
 x^2(\ln x )^{n+1} < x^2(\ln x )^{n}
\]

\item En déduire que $(I_n)$ est décroissante.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n\in \N$, $I_n>0$.
\item En déduire que $(I_n)$ est convergente. On note $\ell$ la limite de $(I_n)$.
\end{enumerate}
\item On admet (jusqu'à la prochaine question) que pour tout entier naturel $n$ :
\[
3I_{n+1} + (n+1)I_n=\E^3
\]

En déduire que $\limn I_n =0$

\item \ding{84} En utilisant une intégration par parties, démontrer l'égalité de la question précédente, c'est-à-dire, pour tout $n$ :
\[
3I_{n+1} + (n+1)I_n=\E^3
\]
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
%  \textbf{Partie A}
%  
% On considère l'algorithme suivant :
% 
% Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\
% \begin{center}
% \fbox{\begin{minipage}{9cm}
% \textbf{Entr\'ee}
% 
% Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\
% 
% \noindent \textbf{Traitement}\\
% Affecter à $U$ la valeur -6\\
% Pour $k$ allant de 1 à $N$ (inclus)\\
% 
% \noindent Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{4}U+3$\\
% \noindent Afficher $U$\\
% Fin pour\\
% 
% %\noindent \textbf{Sortie}\\
% %\noindent Afficher $U$
% \end{minipage}}
% \end{center}
% \medskip
% 
% Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 2$ ? (justifier sommairement)
% 
% \bigskip
% \textbf{Partie B}
% 
% \medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_1=-6$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+3$.
\begin{enumerate}
%\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
%\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
\item Sur le graphique ci-joint, représenter les premiers termes de la suite $(u_n)$ sur l'axe des
  abscisses. En déduire une conjecture sur la monotonie de $(u_n)$ et sur son éventuelle limite.
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel non nul $n$, par $v_n = u_n - 4$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que  $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire celle de $(u_n)$.
        
        pour tout entier naturel $n$.
        \item En déduire la limite de $(u_n)$.
	\end{enumerate}
	\item Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n>3,999$.
%\item Déterminer la somme $S=u_1+u_2+\cdots+u_{10}$.

%    
%\item \begin{enumerate}
%      \item Montrer que $(u_n)$ est une suite croissante sur $\N$.
%	  \item Déterminer \`a l'aide de la calculatrice le plus petit entier $n$ tel que $u_n \geqslant 3,99$.
%	  \item Modifier l'algorithme pour qu'il affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant 3,99$.
%	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{emp}(0,0)
u:=.5cm;
repere(-10,10,u,-5,5,u);
  pair O,I,J;
  path d_[];
  O=_c(0,0);I=_c(1,0);J=_c(0,1);
  draw quadrillage(1,1) withcolor 0.8white  withpen pencircle scaled 1;
  draw axes(0,0) withpen pencircle scaled 1.2;
  draw base(O,i,j);
%   nomme.llft(O);nomme.lft(J);
%   nomme.bot(I);
  draw cadre withpen pencircle scaled 1;
fin
\end{emp}
\end{center}
 
\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}


 
