\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 11 Fonctions et probabilités (2h)}{}{T\up{ale} }{10 mars 2022}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
  \begin{exercice}
   
Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35\,\% des plants proviennent de l'horticulteur H$_{1}$, 25\,\% de l'horticulteur H$_{2}$ et le reste de l'horticulteur H$_{3}$. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
 
La livraison de l'horticulteur H$_{1}$ comporte 80\,\% de conifères alors que celle de l'horticulteur H$_{2}$ n'en comporte que 50\,\% et celle de l'horticulteur H$_{3}$ seulement 30\,\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. 

On envisage les événements suivants :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $H_{1}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{1}$ \fg, 
\item $H_{2}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{2}$ \fg, 
\item $H_{3}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{3}$ \fg, 
\item $C$\phantom{$_{3}$} : \og l'arbre choisi est un conifère \fg, 
\item $F$\phantom{$_{3}$} : \og l'arbre choisi est un arbre feuillu \fg.
\end{enumerate}

\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation. 
		\item Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H$_{3}$. 
		\item Justifier que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,525$. 
		\item L'arbre choisi est un conifère.
		 
Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H$_1$ ? On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}	 
\item On choisit au hasard un échantillon de $10$~arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $10$~arbres dans le stock.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
		\item Déterminez l'espérance de $X$ et donnez une interprétation dans le contexte de l'exercice.
		\item Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$~conifères? 

On arrondira à $10^{-3}$. 
		\item Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
		 
On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate} 
	\item Soit $n$ un entier, $n>1$. On choisit au hasard un échantillon de $n$ arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $n$ arbres dans le stok.
	
	On appelle $Y_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
\begin{enumerate}
 \item On note $A_n$ l'événement \og au moins un des $n$ arbres choisis est un conifère \fg.
 
 Montrer que $P(A_n)=1-0,475^n$
 \item Déterminez la valeur minimale de $n$ pour que $P(A_n)\geq 0,9999$.
 \item Déterminer la taille $n$ minimale de l'échantillon pour qu'en moyenne au moins 100 arbres sur les $n$ choisis soient des conifères. 
\end{enumerate}
	
	
\end{enumerate}

  \end{exercice}

 \newpage 
 \begin{exercice}
% antillesjuin 2012

\emph{Les parties B et C sont indépendantes.}

\medskip
 
On note $\R$ l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{x - 1} + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\oij$.

\medskip
\textbf{Partie A : étude de la fonction}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
 
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$, et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
 
Montrer que, pour tout réel $x,\: f^{\prime}(x) = (x + 1)\text{e}^{x - 1}$. 
\item Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation sur~$\R$.
\end{enumerate}

% \bigskip
 
\textbf{Partie B : recherche d'une tangente particulière}

\medskip
 
Soit $a$ un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$, qui passe par l'origine du repère.

% \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Tracer une telle tangente sur le graphique et conjecturer la valeur de $a$ ainsi qu'une équation de cette tangente. 
\item On appelle T$_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$. Donner une équation de T$_{a}$. 
\item Démontrer qu'une tangente à $\mathcal{C}$ en un point d'abscisse $a$ strictement positive passe par l'origine du repère si et seulement si $a$ vérifie l'égalité 

\[1 - a^2\text{e}^{a-1} = 0.\]
 
\item 
% \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}

% \medskip
 
En étudiant $\varphi(x) = 1 - x^2\text{e}^{x-1}$, démontrer que $1$ est l'unique solution sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation 

\[1 - x^2\text{e}^{x-1} = 0.\]
 
\item Donner alors une équation de la tangente recherchée.
\end{enumerate}


\textbf{Partie C : convexité}

\begin{enumerate}
 \item Calculer $f''(x)$
 \item Etudier la convexité de $f$ et l'existence eventuelle de points d'inflexion.
\end{enumerate}



\begin{center}
% \textbf{À rendre avec la copie}
% 
% \medskip
%  
% Courbe {\blue $\mathcal{C}$} représentative de $f$ 
% 
% \vspace{1cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.5)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-0.5)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-4}{1.6}{2.71828 x 1 sub exp x mul 1 add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](1.35,3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{exercice}
\end{empfile}
\end{document}


 
