\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 10 : Suite et Espace (1h30)}{}{T\up{ale} }{17 février 2022}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 \begin{exercice}[(6 points)]
% metropole 8 juin 2021

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1}  = \dfrac{4u_n}{u_n + 4}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item ~

\parbox{0.7\linewidth}{
La copie d'écran ci-contre présente les valeurs, calculées à l'aide d'un tableur, des
termes de la suite $\left(u_n\right)$ pour $n$ variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient 
$\dfrac{4}{u_n}$,  (avec, pour les valeurs de $u_n$, affichage de deux
chiffres pour les parties décimales).

À l'aide de ces valeurs, conjecturer l'expression de $\dfrac{4}{u_n}$  en fonction de $n$.

Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question \textbf{5.}), et d'en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ (question \textbf{6.}).}\hfill
\parbox{0.25\linewidth}{
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
n&u_n&\dfrac{4}{u_n}\\ \hline
0 &1,00 &4\\ \hline
1 &0,80 &5\\ \hline
2 &0,67 &6\\ \hline
3 &0,57 &7\\ \hline
4 &0,50 &8\\ \hline
5 &0,44 &9\\ \hline
6 &0,40 &10\\ \hline
7 &0,36 &11\\ \hline
8 &0,33 &12\\ \hline
9 &0,31 &13\\ \hline
10 &0,29& 14 \\ \hline
11 &0,27& 15 \\ \hline
12 &0,25 &16\\ \hline
\end{array}$}

\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n > 0$.
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\item Que peut-on conclure des questions \textbf{2.} et \textbf{3.} concernant la suite $\left(u_n\right)$ ?
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n = \dfrac{4}{u_n}$.

Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique. 

Préciser sa raison et son premier terme. 

En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\newpage

 
 \begin{exercice}[(6 points)]
% asie juin  2021

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 8 cm et de centre $\Omega$.

Les points P, Q et R sont définis par $\vect{\text{AP}} = \dfrac{3}{4}\vect{\text{AB}},\, \vect{\text{AQ}} = ~\dfrac{3}{4}\vect{\text{AE}}$ et $\vect{\text{FR}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{FG}}$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ avec : $\vect{\imath} = \dfrac{1}{8}\vect{\text{AB}},\, \vect{\jmath}= \dfrac{1}{8}\vect{\text{AD}}$ et 

$\vect{k} = \dfrac{1}{8}\vect{\text{AE}}$.

\begin{center}
\psset{unit=0.85cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(11,12)
%\psgrid
\pspolygon(0,1.7)(6.5,0)(6.5,7.2)(0,8.9)%BCGF
\uput[d](0,1.7){B}\uput[d](6.5,0){C}\uput[u](6.5,7.2){G}\uput[u](0,8.9){F}
\psline(6.5,0)(10,2.6)(10,9.8)(6.5,7.2)%CDHG
\uput[r](10,2.6){D}\uput[u](10,9.8){H}
\psline(10,9.8)(3.5,11.5)(0,8.9)%HEF
\uput[u](3.5,11.5){E}
\psline[linestyle=dashed](0,1.7)(3.5,4.3)(3.5,11.5)%BAE
\uput[d](3.5,4.3){A}\uput[r](5,5.73){$\Omega$}
\psline[linestyle=dashed](3.5,4.3)(10,2.6)%AD
\psline[linestyle=dashed](3.5,4.3)(6.5,7.2)%AG
\psline[linestyle=dashed](3.5,11.5)(6.5,0)%EC
\psdots(0.88,2.35)(3.5,9.7)(5,5.73)(1.625,8.475)
\uput[u](0.88,2.35){P}\uput[l](3.5,9.7){Q}\uput[u](1.625,8.475){R}
\uput[u](3.0625,3.975){$\vect{\imath}$}\uput[u](4.3125,4.0875){$\vect{\jmath}$}
\uput[l](3.5,5.2){$\vect{k}$}
\psline{->}(3.5,4.3)(3.0625,3.975) \psline{->}(3.5,4.3)(4.3125,4.0875) \psline{->}(3.5,4.3)(3.5,5.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point R sont (8~;~2~;~8). 

Donner les coordonnées des points P et Q.
\item Montrer que le vecteur $\vect{n}(1~;~-5~;~1)$ est un vecteur normal au plan (PQR).
\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (PQR) est $x - 5y + z - 6 = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On note L le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan (PQR).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont (4~;~4~;~4).
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ perpendiculaire au plan (PQR) et passant par $\Omega$.
\item Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac{14}{3}~;~ \dfrac{2}{3}~;~\dfrac{14}{3}\right)$
\item Calculer la distance du point $\Omega$ au plan (PQR).
\end{enumerate}

\end{exercice}
\end{empfile}
\end{document}


 
