\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 7 : Ln et compagnie (2h)}{}{T\up{ale} }{20 décembre 2021}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 \begin{exercice}[(9 points)]
  % Asie_spe_J2_8_06_2021_DV
  
Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = x - \ln (x - 1).\]

On considère la suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0 = 10$ et telle que $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.

\bigskip

\textbf{Partie I :}

\medskip

La feuille de calcul ci-dessous a permis d'obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B\\ \hline
1 &$n$&$u_n$\\ \hline
2 &0&10\\ \hline
3& 1&\np{7,80277542}\\ \hline
4& 2&\np{5,88544474}\\ \hline
5& 3&\np{4,29918442}\\ \hline
6& 4&\np{3,10550913}\\ \hline
7& 5&\np{2,36095182}\\ \hline
8& 6&\np{2,0527675}\\ \hline
9& 7&\np{2,00134509}\\ \hline
10& 8&\np{2,0000009}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre le calcul des valeurs approchées de $\left(u_n\right)$ par recopie vers le bas ?
\item À l'aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II :}

\medskip

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = x - \ln (x - 1).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$. On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout $x \in ]1~;~ +\infty[$,\,  $f'(x) = \dfrac{x - 2}{x - 1}$.
		\item En déduire le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$, complété par les limites.
		\item Justifier que pour tout $x
\geqslant  2$,\,  $f(x) \geqslant  2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que $u_n \geqslant  2$ pour tout entier naturel $n$.
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
\item 
%On admet que $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$. 
Donner la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}
 \end{exercice}



 \begin{exercice}[(7 points)]
 %TS_EDS_1_15_mars_2021_DV_2
  
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) = x + 4 - 4 \ln (x) - \dfrac{3}{x}\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$, on veillera à établir auparavant que pour $x>0$, on a :

\[f(x) = x + 4 - \dfrac{1}{x}(4x \ln (x) + 3)\]
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a :

\[f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2}.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
		
On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
		
% On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
		\item Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \dfrac{5}{3}$.
		\item Montrer que l'équation $f(x)=\E$ admet une unique solution $\alpha$ dont vous donnerez un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave. 

On justifiera que la courbe $\mathcal C$ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.
\end{enumerate}
 \end{exercice}

\begin{exercice}[(4 points)]\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)}

\medskip


\emph{Pour chaque question, des affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.\\
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci.\\
{ \bf Aucune justifiacation n'est demandée.} Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.}
 
 
 
\begin{enumerate}
 \item On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f''}$ représentant la fonction dérivée seconde $f''$  d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[-3,5~;~6]$.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(7,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-3)(7,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{6}{x 3 exp 0.1 mul  x dup mul 0.4 mul sub 1.1 x mul sub 3 add}
\uput[u](6.8,0){$x$} \uput[r](0,4.8){$y$}
\uput[u](1.5,4.5){Courbe de la fonction dérivée seconde $f''$}
\end{pspicture}
\end{center}
\textbf{a.} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-3~;~3]$.

\textbf{b.}  La fonction $f$ admet trois points d'inflexion.

\textbf{c.} La fonction dérivée $f'$ de $f$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~2].


\item  On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 - 17n + 20$. 

\textbf{a.} La suite $\left(u_n\right)$ est minorée.

\textbf{b.} La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

\textbf{c.} L'un des termes de la suite $\left(u_n\right)$ est égal à \np{2021}.
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$,\,

 $u_{n+1} = 0,75u_n +5$.

On considère la fonction \og seuil \fg{} suivante écrite en Python :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def seuil {} :\\
\quad u = 2\\
\quad n = 0\\
\quad while u < 45 :\\
\qquad u = 0,75*u + 5\\
\qquad n = n+1\\
\quad return n\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Cette fonction renvoie :

\textbf{a.} la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant  45$ ;
 
\textbf{b.} la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n  < 45$ ;
 
\textbf{c.} la plus grande valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant 45$.



\item On considère la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\e^{-2x}.\]

On note $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$.

Quel que soit le réel $x$, \,$f''(x)$ est égal à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(1 - 2x)\e^{-2x}$& \textbf{b.~~} $4(x - 1)\e^{-2x}$&\textbf{c.~~} $4\e^{-2x}$&\textbf{d.~~}
$ (x+2)\e^{-2x}$
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

 
\end{exercice}




\end{empfile}
\end{document}


 
