\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 6 : TVI et continuité (2h)}{}{T\up{ale} }{22 novembre 2021}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 
 

\begin{exercice}[(8 points)]
 On considère la fonction $f$ définie sur $\R_+$ par $f(x)=\text{e}\sqrt{x}$ et 
 la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$, et pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1} = f(u_n).\]

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Déterminer les variations de $f$.

\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

\[1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant  \text{e}^2.\]
\item En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.

\item  Déterminer la limite de $(u_n)$.

\item  Dans cette question, on s'interroge sur le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ si l'on choisit d'autres valeurs que 1 pour $u_0$.
	
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en
justifiant.
	
	\medskip
	
\textbf{Affirmation 1} : \og Si $u_0 = \np{2021}$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \fg
	
\textbf{Affirmation 2} : \og Si $u_0 = 2$, alors pour tout entier naturel $n$,\: $1 \leqslant u_n \leqslant  u_{n+1} \leqslant \text{e}^2$. \fg
	
\textbf{Affirmation 3} : \og La suite $\left(u_n\right)$ est constante si et seulement si 
$u_0 = 0$. \fg
\end{enumerate}

\end{exercice}



 \begin{exercice}[(12 points)]
 
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Donner le tableau de variations de $g$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution. On note $\alpha$ cette solution. 
		\item On souhaite déterminer un encadrement de  $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ par balayage à l'aide d'un programme pyhon. Compléter le programe suivant (ligne 1,4,5).
		
		\begin{lstlisting}[language=python]
			h= ...
			a=0
			while g(a)*g(a+h)>0:
			  ....
			print(  .... ,"< alpha <", ...)
			\end{lstlisting}
			
			
			
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
		\item Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1. 
\item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$.

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\oij$.

La figure est donnée ci-dessous.
 
Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] $M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$,
\item[ ] $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$,
\item[ ] $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$. 

On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1. 
\item Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$.
 
La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?
 
\end{enumerate}




\begin{center}
\psset{unit=2.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(4,3)
\uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,2.9){$y$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2.5,0.3){\blue $\mathcal{C}$}
\psgrid[subgriddiv=6,gridcolor=orange,gridlabels=0](-1,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(4,3)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 2.71828 x exp 1 add div}

\end{pspicture}
 \end{center}
 \end{exercice}
 


\begin{exerciced}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour les entiers naturels non nuls par :
\[
 u_n=E\left(\dfrac{n^2-1}{n^2}\right)
\]
où $E$ représente la fonction partie entière.

La suite $(u_n)$ converge-t-elle ? Si oui, déterminer sa limite.

\end{exerciced}


\end{empfile}
\end{document}


 
