\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 4 : Suites (2h00)}{}{T\up{ale} }{13 octobre 2020}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 

\begin{exercice}[(10 points)]
% mars 2021

La suite $\left(u_n\right)$ est définie sur $\N$ par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n+1} = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1.\]


\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.
\end{enumerate}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{L'extrait, reproduit ci-contre, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\cellcolor{lightgray}{} 	& \cellcolor{lightgray}A&\cellcolor{lightgray}B \\ \hline
\cellcolor{lightgray}1	&$n$&$u_n$\\ \hline
\cellcolor{lightgray}2 	&0	&1\\ \hline
\cellcolor{lightgray}3 	&1	&1,75\\ \hline
\cellcolor{lightgray}4 	&2	&\np{2,5625}\\ \hline
\cellcolor{lightgray}5 	&3	&\np{3,421875}\\ \hline
\cellcolor{lightgray}6 	&4	&\np{4,31640625}\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip


\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B ?
		\item Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
	
 \item \label{Q} Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.
\item
	\begin{enumerate}
		
		\item Ecrire l'inégalité de la question \ref{Q} au rang $n$ ainsi  qu'au rang $n+1$. 
		
		En déduire, le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Démontrer à l'aide de la question \ref{Q} que :
		
\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 1.\]

	\end{enumerate}
\item  On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n = u_n - n$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,on a : $u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + n$.
		\item Retrouver alors la limite de la suite $(u_n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}


  \begin{exercice}[(3 points)] 
  % antilles sept 2019
Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

\emph{Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte, une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(p_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par 

\[p_n = n^2 - 42n + 4.\]

\textbf{Affirmation 1} : La suite $\left(p_n\right)$ est strictement décroissante.

\item Soit $a$ un nombre réel. On considère les suites $\left(u_n\right)$ et 
$\left(v_n\right)$ définies par :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $U_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\sqrt{u_n^2 + 8}$ ;
\item[$\bullet~~$]$v_n = u_n^2 - 1$ pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{Affirmation 2} : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
\item On considère une suite $\left(w_n\right)$ qui vérifie, pour tout entier naturel $n$,

\[n^2 \leqslant (n+1)^2w_n \leqslant n^2 +n.\]

\textbf{Affirmation 3} : La suite $\left(w_n\right)$ converge.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\newpage  
  
\begin{exercice}[(10 points)] 
% métropole septembre 2019
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par $f(x) = \dfrac{2 + 3x}{4 + x}.$

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

\[u_0 = 3 \; \text{et pour tout entier naturel }\; n,\;  u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

On admet que cette suite est bien définie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~4].
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,

\[1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 3.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
		\item On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ; On admet que $\ell  = \dfrac{2 + 3\ell}{4 + \ell}$.

		 Déterminer la valeur de la limite $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par : $v_0 = 0,1 \; \text{et pour tout entier naturel }\; n,\; v_{n+1} = f\left(v_n\right).$

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On donneci-dessous, la courbe représentative, $\mathcal{C}_f$,  de la fonction $f$ et la droite $D$ d'équation $y = x$. Placer sur l'axe des abscisses par construction géométrique les termes $v_1$, $v_2$ et $v_3$. Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite
$\left(v_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,
		
\[1 - v_{n+1} = \left(\dfrac{2}{4 + v_n} \right) \left(1 - v_n\right).\]
		
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
		
\[0 \leqslant 1 - v_n \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.\]
		
 	\end{enumerate}
\item  La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{minipage}{11cm}
 \begin{center}

\psset{unit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.15,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.15,1.1)
\psline(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.15}{3 x mul 2 add x 4 add div}
\uput[d](0.8,0.8){$D$}\uput[u](0.8,0.92){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
 


\begin{exerciced}[Nombre de Chapernowne] On considère la suite définie par : $u_0=0$, $u_1=0,1$, $u_2=0,12$, $u_3=0,123$, $u_4=0,1234$, etc \dots. 

La suite $(u_n)$ converge-t-elle ?

 
\end{exerciced}



\begin{exerciced} 
Soit $(u_n)$ définie pour $n\in \N$ par $u_n=n2^n$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout $k\in \N$ : 
 \[u_{k+1}-u_k=(k+2)2^k\]
 \item En déduire 
 \[
  S_n=\sum_{k=0}^{n} (k+2)2^k
 \]

\end{enumerate}

\end{exerciced}
\vspace{3cm}

\end{minipage}

\end{empfile}
\end{document}


 
