\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

\geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}



\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 2 : Récurrence (20 min)}{}{T\up{ale} }{27 septembre 2021}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 

\begin{exercice}
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : 

\[u_{0} = 2\quad  \text{et pour tout entier naturel } n,\: u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ 2}{2u_{n} + 1}.\] 


\medskip
 
\begin{enumerate}
 \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, u_{n} > 0$.


\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3} $. On pourra en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
		\item Vérifier que si $n$ est l'un des entiers 0, 1, 2, 3 alors $u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$. 
		\item Établir que pour tout entier naturel $n$, 
		\[u_{n+ 1} - 1 = -\dfrac{u_{n} - 1}{ 2u_{n} + 1}\]
		\item En déduire à l'aide d'une démonstration par récurrence que pour tout entier naturel $n, \:u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$	
	\end{enumerate} 
		\end{enumerate} 
\end{exercice}


\begin{exerciced} 

 Montrer que la somme en degrés des angles d'un polygone convexe à $n$ côté ($n\geq 3$) est égale à $180(n-2)$.
 
 {\itshape On dit qu'un ensemble est convexe dés lors que si deux points sont dans cet ensemble alors le segment délimité par ces 2 points est aussi dans cet ensemble. Le symbole pacman n'est pas convexe, un triangle ou un disque le sont.} 
\end{exerciced}
\end{empfile}
\end{document}


 
