\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{gfsartemisia}  % pour la fonte

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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}


\devpers{Devoir n\up{o} 1 : Révisions et récurrence (1h30)}{}{T\up{ale} }{21 septembre 2021}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 
 

\begin{exercice}[(2 points)]

Calculer et simplifier l'expression des dérivées des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 %itemsep=5.4cm,
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}]
          
%   \item $-2x^5-3x^2-5x+2$        
% \item $(2-5x)^7$
% \item $\sqrt{x}(4x-3)$
% \item $\sqrt{x}-2+\dfrac{4}{x}$
% \item $\dfrac{-2x+1}{3x-5}$

% \item $ \dfrac{4x^2-x+3}{2x-1}$
% \item $\sqrt{3x^2+5x+7};$
           
% \item $3x^2\E^{4x+7}$                 

% \item $(2x-3)(7x^2+x)$
\item $(x+x^2)\E^{3x}$;
\item $\dfrac{\E}{(4x^2+1)^2};$
  

\end{enumerate} 
\end{multicols}
% \vspace{5cm}
\end{exercice}



  
  
\begin{exercice}[(4 points)] Résoudre les équations et inéquations suivantes

 \begin{colenumerate}[label=$(E_\arabic*) :$,align=right,widest=7,topsep=5pt, itemsep=1em]{1}
      \item $(\E^{3x}-\E^2)(\E^{2x}-\sqrt{\E})=0$
      \item $\E^{\frac{1}{x}}>\E^2$
      \item $x-\sqrt{x}-6=0$ {\itshape on pourra poser $X=\sqrt{x}$}
   \end{colenumerate}
\end{exercice}



  
  \begin{exercice}[(4 points)] 
   Soit $f$ définie sur $\R$ par 
   \[
    f(x)=2x\E^{-x}-(1-x)^2
   \]

   \begin{enumerate}
    \item Montrer que pour $x\in \R$
    \[
     f'(x)=2(1-x)(1+\E^{-x})
    \]
% \item Etudier le signe de  $1-\E^{-x}$.
\item En déduire le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\calc$ au point d'abscisse 0. 
   \end{enumerate}

  \end{exercice}

  
  \newpage 
    \begin{exercice}[(2 points)] 
     Les suites suivantes sont définies pour $n\in\N$. Dire lesquelles sont arithmétiques ou géométriques (en justifiant) et préciser le cas échéant la raison et le premier terme.
     \begin{enumerate}
      \item $u_n=3n-7$
      \item $v_n=4^{n-3}$
      \item $w_{n+1}=\dfrac{w_n^2-1}{w_n+1}$ avec $w_0=-4$.
      \item $x_n=n^2-3n$
     \end{enumerate}

    \end{exercice}

    
  \begin{exercice}[(5 points)] 
   
%  
%  Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.\par
% Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec 115 oiseaux.\par
% Les spécialistes prévoient que 40\,\% des oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier d'une année restent présents le 1\up{er} janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux
% sont accueillis dans le centre chaque année.\par
% On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier des années suivantes. \par
% La situation peut être modélisée par une suite $(u_{n})$ admettant pour premier terme $u_0 = 115$, le terme $u_{n}$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013~+~n$ est alors donné par la formule 

On considère une suite $(u_{n})$ définie par $u_0 = 115$ et la relation de récurrence suivante pour $n\in\N$ 
\[
 u_{n+1}=0,4 u_n+120
\]

 

\begin{enumerate}[itemsep=0.8em]
	\item Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, un seul permet d'afficher la valeur finale $u_N$ lorsque $N$ est saisi. Lequel ?
\medskip

\hspace{-1.cm}
\begin{small}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{algorithme 1} && \textbf{algorithme 2} && \textbf{algorithme 3}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables : } && \textbf{Variables : } && \textbf{Variables :} \\
$U$ est un nombre réel && $U$ est un nombre réel && $U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers && $i$ et $N$ sont des nombres entiers && $i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
&&&&\\ 
\textbf{Début :}&&\textbf{Début :}&& \textbf{Début :}\\ 
Saisir une valeur pour $N$ && Saisir une valeur pour $N$ && Saisir une valeur pour $N$\\
Affecter 115 à $U$ && Pour $i$ de 1 à $N$ faire && Affecter 115 à $U$\\ 
Pour $i$ de 1 à $N$ faire && \hspace{0.2cm} Affecter 115 à $U$ && Pour i de 1 à N faire \\
\hspace{0.2cm} Affecter $0,4 \times U + 120$ à $U$ && \hspace{0.2cm} $0,4 \times U + 120$ à $U$  && Affecter $0,4 \times U + 120$ à $U$\\
\hspace{0.2cm} Afficher $U$  && Fin Pour && Fin Pour\\ 
Fin Pour && Afficher $U$ && Afficher $U$\\  
Fin && Fin && Fin\\ 
\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabular}
\end{small}
\medskip
 
% 	\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
	
	\item
On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$. 

\medskip
	 Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
	 
	 \medskip
	\item Exprimer, pour tout entier naturel $n, \:v_{n}$ en fonction de $n$. 
	\item En déduire pour tout entier naturel $n$, l'expression explicite de la suite $(u_{n})$. 
	\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
% 	\item La capacité d'accueil du centre est de $200$~oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.
% 	\item Comment transformer l'algorithme pour qu'il affiche le plus petit entier $n$ tel que $u_n>199,99$.\par
% 	      A l'aide de la calculatrice, déterminer cet entier $n$.
	
	
% \item Chaque année, le centre touche une subvention de $20$~euros par oiseau présent au 1\up{er} janvier.\par
%       Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. 
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[(3 points)] 
  On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :

\[
 u_{n+1}=2u_n- n+1 
\]


Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N$  : $u_n=2^n+n$.
\end{exercice}


\begin{exerciced} Résoudre
\[
 4^{x+1}-33\times2^x+8=0
\]

 
\end{exerciced}



\begin{exerciced} 
Montrer par récurrence que pour tout $n\in \N^\star$ :
\[
 \dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+\dots +\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{n}{2n+1}.
\]


 
\end{exerciced}
\end{empfile}
\end{document}


 
